高数C6-5一二阶常系数齐次ppt课件

1、 第五节第五节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数线性微分方程的定义一、二阶常系数线性微分方程的定义二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法三、小结与练习三、小结与练习一、二阶常系数线性微分方程的定义一、二阶常系数线性微分方程的定义0.ypyqy 二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式:( ).yp yq yf x 二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式:二、二阶常系数齐次线性微分方程解法二、二阶常系数齐次线性微分方程解法-解法解法: :特征方程法特征方程法,rxye 将

2、其代入上方程将其代入上方程, 得得2()0rxrprq e 0,rxe 故有故有20 (2)rprq特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 (1)ypyqy 设设1. 1. 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr 11r xye, 22r xye, 两个线性无关的特解为两个线性无关的特解为故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为1212r xr xyC eC e; )0( 特征根为特征根为2. 2. 有两个相等的实根有两个相等的实根11r xye, ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为112;()r xyC

3、C x e 222yyy ， ，, 0)()2(1211 uqprrupru0,u 知知( ),u xx 取取12r xyx e, 12( ),r xyu x e 特征根为特征根为将将代入原方程代入原方程,并化简得并化简得:设另一特解为设另一特解为那么那么3.3.有一对共轭复根有一对共轭复根1,ri 2,ri()()1ixx ixyee()()2ixx ixyee )0( 重新组合重新组合1121()2yyy cos,xex 2121()2yyyi sin,xex 故得齐次方程的通解为故得齐次方程的通解为12(cossin).xyeCxCx 特征根为特征根为iecosi sin (欧拉公式欧拉

4、公式,第九章介绍第九章介绍)(cossin),xexix (cossin),xexix 定义定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法确定其通解的方法称为特征方程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例15.60yyy 求求方方程程的的通通解解2560rr, 1223r,r 2312xxyC eC e. 2.50yyy 求求方方程程的的通通解解解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得 1 212ri , ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 综上所述，求解二阶常系数

5、齐次线性微分方程的综上所述，求解二阶常系数齐次线性微分方程的步骤如下：步骤如下：（一写出微分方程1的特征方程20rp rq; 12r ,r ;特征方程（特征方程（2 2）的两个根）的两个根 微分方程（微分方程（1 1）的通解）的通解两个不相等的实根两个不相等的实根两个相等的实根两个相等的实根一对共轭复根一对共轭复根12r ,r12rrr 1212r xr xyCeC e 12()r xyCC x e 12(cossin)xyeCxCx 12r ,ri （二求出特征方程（二求出特征方程2 2的两个根的两个根（三根据根的不同情况，写出微分方程（三根据根的不同情况，写出微分方程1 1的通解的通解: :三、内容小结三、内容小结求二阶常系数齐次微分方程通解的一般步骤求二阶常系数齐次微分方程通解的一般步骤: :（1写出相应的