5.3多元复合函数与隐函数的求导法则

1、 5.3多元复合函数与隐函数的求导法则教学目的：通过讲授，使学生掌握多元复合函数及隐函数的求导法则教学重点：多元复合函数的求导教学难点：隐函数的求导课堂安排：复习1.偏导数及高阶偏导数2. 全微分一复合函数的求导法则1 定义 设函数Z二f (u,v)，而u、v均为x、y的函数，即U二u(x, y),v = v(x, y),则函数z = fu(x, y),v(x, y)叫做x、y的复合函数.其中u、v叫做中 间变量，x、y叫做自变量.2.定理 如果函数u =u(x,y)， v=v(x, y)在点(x,y)处都具有对x及对y的 偏导数，函数Z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数，则复合

2、函数 Z - fu(x, y), v(x, y)在点(x, y)处存在两个偏导数，且具有下列公式:Z: Z ；U； z : v=r :x :u :x:v :x：Z _ :Z : u ；Z :v:y :u :y v : y多元复合函数的求导法则可以叙述为：多元复合函数对某一自变量的偏导数，等于函数对各个中间变量的偏导数与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘 积之和.这一法则也称为锁链法则或链法则.注：一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘.例 1 设 z =sin u 2v , u =ex y , v = x2

3、-y2，求,ex dy解 因为cos u 2v ; = 2cos u 2v-u:v.:u；:x.exy.:u:y.exy二 2y所以Z = ex y cos u 2v i亠 4xcos u 2v = cos ex y 2x2 2y2 ex y 4x .x ex y cos u 2v 4y cos u 2v = cos ex y 2x2 - 2y2 ex y 4y -:y3. 半抽象复合函数的偏导数例2设z = f u , v的偏导数存在，又u二sinx , v二x2y3，求一，一. dx dy解 因为 dU = cosx ,、v = 2xy3 ,= 3x2y2dx:x:y.r.r.|l、L、L

4、、.z_zdu；z:v:zZ3所以cosx 2xy.x； udx: v: x: u:v:z: z jv:z 2 23x y.:y: v :y:vf u,v可导， 又 u = ln(x2 +1), v = cosx，dz求dx.z du .z dv . z 2x ；：z2sin xdxI2 i.u dx :v dx : u x 1: vf x , u 的偏导数存在，又 u = arctan*，求三，三 yex cy解:z：f .;:f- f :fy攻；:x；:ufx:x- 2:u xy2:z:z-：uz -xy；:u:y- 2 ；u xy2通过上面的例题我们可以看到，在利用复合函数的求导法则对复

5、合函数求 导数时，搞清楚变量之间的关系是关键练习P83 A 14. 复合函数的高阶偏导数复合函数的偏导数仍然为复合函数，所以求高阶偏导时让按复合函数的求导法则求得.例女口函数 z = f (u,v) , u =u(x,y) , v = v(x, y)，贝U = -si:x；u ；x :v ；x所以2 2 2 2 2 z :z :u :z ：v z .:u :z u z ：v :z v2 2 2 .:x；:u ；:x ；:v ；:x x :：U-：X ；:x ；:u ；:x ；：V-：x ；:x :v :x隐函数求导公式1.定理 设函数F(x,y,z)在点P(xo，yo，Zo)的某一邻域内有连续

6、的偏导数,F(Xo,y,Zo) =0， Fz(x),yo,Zo) = 0则方程F(x,y,z) =0在(xo，yo)的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连 续偏导数的函数z = f(x, y)，它满足方程F(x, y, z)=0及条件z0 = f(x0,y0)，其偏导数可由.F F . zF F - z 小0和0.x ； z ；:x: y : z : y；F:F.z：x 和:：z -.釣.x：F；:y:F:z:z来确定.2.这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导中去由F (x, y) =0所确定的一元隐函数y = f (x)的导数是dydxFx-x(Fy=0)Fy由F(x, y,z

7、,u) = 0所确定的三元隐函数u二f (x, y,z)的偏导数是:u例5求由方程siny x? _ y? =0所确定的隐函数y = f x的导数.令 F x , y i=sin y x2 - y2则 Fx =2x , Fy = cosy -2y2xdxFycosy-2y6求由方程x2 2y2 -z2 xyz = 2所确定的隐函数z = f x , y的偏导数.:z 2z和2.x令 F x , y , z = x2 2y2 - z2 xyz - 2贝U Fx =2x yz , Fy =4y xz , Fz = xy _2z所以二=Fx2x yz 2x yzFzxy - 2z 2z - xy；：2z2x yz?x yzx 2z-xy - 2x yz 2z - xy x.x22z-xy 22 + y j(2z-xy)-(2x+yz(2散丿.z-y i:x2z-xy22x yz2+导严叫22x yz、2z-xy 72z-xy 2例7求由2x y f x 2z所确定的隐函数z = f x , y的偏导数.解令 Fx,y,z =2x y z-fx 2z , u=x 2z则Fx=2 _ fu ,Fy =1