第2讲数学物理方程的分类和行波法

1、第2讲数学物理方程的分类和行波法三类方程：n反映波动过程的波动方程波动方程n反映扩散过程的热传导方程热传导方程n反映稳定状态的PoissonLaplacePoissonLaplaceHarbin Engineering University定解条件： 初始条件 ：&初始条件的个数初始条件的个数：等于于方程中关于时间偏导数 的阶数。&必须给出全系统的初始状态，而不是系统中个别点必须给出全系统的初始状态，而不是系统中个别点的初始状态。的初始状态。 三类边界条件：&边界条件的个数：边界条件的个数：等于方程中关于空间变量偏导数的阶数。 &只需给出恰当说明边界上的物理状况

2、即可，而非整只需给出恰当说明边界上的物理状况即可，而非整个系统个系统 Harbin Engineering University练习： Harbin Engineering University第二讲：数学物理方程的分类和行波法2.1 2.1 数学物理方程的分类数学物理方程的分类一、一、 线性二阶偏微分方程线性二阶偏微分方程 Harbin Engineering University1110ijinnnijx xixjiia ubucuF（1）0F 齐次性： 时，无源物理场， 例子，不含点源所在位置的点源场 0F 非齐次： 时，有源物理场。 例如含点源的整个声场线性二阶偏微分方程：叠加原理 n

3、线性： Harbin Engineering UniversityijiabcF、 、 、 12,nx xx只是的 函数，而不是u, F ，或更复杂变量的函数，否则是非线性的。例1，理想、均匀介质，小振幅波动方程为线性的2( , )ttxxua uf x t线性的主要特征线性的主要特征：满足叠加原理叠加原理 灯泡、手榴弹声源特性时域波形 例2, 非线性的：非线性的：大振幅平面波波动方程，(非线性声学),波动方程的解不满足叠加原理 Harbin Engineering University()0uuuctx应用：灯泡声源、声弹 激波第一气泡脉冲激波海底反射波激波海面反射波激波第一气泡脉冲激波海底

4、反射波激波海面反射波激 波第 一 气 泡 脉 冲激 波 海 底 反 射 波激 波 海 面 反 射 波激 波第 一 气 泡 脉 冲激 波 海 底 反 射 波激 波 海 面 反 射 波二、叠加原理把线性偏微分方程统一写成算符形式： Harbin Engineering University L uf定义：n如果函数 使方程 恒成立，则称 是方程 的解。 Harbin Engineering Universityu L ufu L uf性质1 若1u和2u都是齐次方程 0L u 的解，即，10L u20L u，则它们的线性组合1 122cuc u也是齐次方程 的解。1 1220L cuc u性质2

5、若1u和2u都是非齐次方程 L uf的差12uu一定是相应齐次方程 的解。120L uc的解则它们线性偏微分方程性质：Harbin Engineering University性质3 若1u和2u分别满足非 齐次方程11L uf22L uf，则它们的线性组合1 122cuc u非齐次方程1 1221 122L cuc uc fc f和满足数理方程中的叠加原理n如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作是几部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程就行。n 包含源的叠加和边界条件的叠加包含源的叠加和边界条件的叠加Harbin En

6、gineering University源的叠加源的叠加 如果：则：其中： 如下方程的解： 物理解释物理解释：N个声源辐射的总声场，就是单个声源源辐射声场的叠加 Harbin Engineering University12.NFFFF12.Nuuuu1110ijinnnijx xixkjiia ubucuFku边界条件的叠加 边界条件的叠加：（以第一类边界条件为例）如果则),(| ),(000,000tzyxftzyxuzyx边界),(.),(),(00000020001tzyxftzyxftzyxfNNuuuu.21Harbin Engineering University边界条件的叠加续

7、边界条件的叠加续n其中：uk (k=1,N)为下面方程的解 边界条件为： 0111Fcuubuanixinjnixxijiji),(| ),(000,000tzyxftzyxukzyx边界Harbin Engineering University叠加原理(续) *注意注意：边界条件和源可以同时分解，并可以进行组合 :),(| ),(000,000tzyxftzyxukzyx边界0111knixinjnixxijFcuubuaijiNuuuu.21Harbin Engineering University三、两个自变数方程的分类 n双曲型：波动方程n抛物型：扩散方程、热传导方程n椭圆型：稳定场方

8、程，如稳定浓度分布，稳定温度分布场方程Harbin Engineering University2.2 2.2 行波法行波法 数理方程的解法：n行波法n分离变量法n格林函数法n积分变换法变分法 Harbin Engineering University行波法DAlembert公式 DAlembertDAlembert&法国著名的物理学家、数学家和天文学家，最著名的有八卷巨著数学手册、力学专著动力学、23卷的文集、百科全书的序言等等。他的很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点研究中。Harbin Engineering University行波法达朗贝尔公式(续)&难能可贵的是，在

9、宗教学校里受到了许多神学思想的熏陶以后，达朗贝尔仍然坚信真理、一生探求科学的真谛、不盲从于宗教的认识论。后来他自学了一些科学家的著作，并且完成了一些学术论文。 &达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。 DAlembertDAlembertHarbin Engineering University一、定解问题：222220,uuaxtx 泛定方程泛定方程: 定解条件定解条件: 00|( ),|( )tttuxxux （2）（3）Harbin Engineering University求通解求通解 0aaut

10、xtx（4）（2）式算符分解坐标变换：坐标变换： ()xat则：则： uutuxuuatxtx uutuxuuuuaatxtxtx （5）（6）Harbin Engineering University求通解续求通解续:20u （4）（5）（6）（7）0( )udf（8）212( )( )( )( )ufdfff（9）通解通解Harbin Engineering University求通解续求通解续:()xat() 2() 2xataxata选择：选择： xatxat1()212xta1212( )( )()()ufff xatfxat通解：通解： （10）进而进而 Harbin Engine

11、ering University解的物理意义讨论： 2():fxat代表以速度代表以速度 a沿沿x轴正向传播的波轴正向传播的波 t ： 0 T（单位时间） 2:f2( )fx2()fxaT2():fxat代表以速度代表以速度 a沿沿x轴负向传播的波轴负向传播的波 Harbin Engineering University求特解：把通解把通解（10）代入定解条件代入定解条件（3）00|( ),|( )tttuxxux 定解条件：定解条件：（3）012012|( )( )( )|( )( )( )tttuf xfxxuafxafxx（11）Harbin Engineering University

12、求特解续：01210201( )( )( )()()xxf xfxdf xfxa （12）012121020( )( )( )1( )( )( )()()xxf xfxxf xfxdf xfxa （13）001102021020111( )( )( )()()222111( )( )( )()()222xxxxf xxdf xfxafxxdf xfxa （14）Harbin Engineering University求特解续：代入通解代入通解（10）12()()uf xatfxat00111()()( )( )222x atx atxxxatxatddaa （10）11()()( )22x

13、atx atuxatxatda DAlembert DAlembert 公式公式 Harbin Engineering University例题：例例 1初始速度为零，初始位移如下（教材172页） ： 图1 初始位移分布图 ( )0 xHarbin Engineering University例题：代入达朗贝尔公式： 11( , )()()22u x txatxatHarbin Engineering University例题：例2 求定解问题：220( ,0)sin( ,0)ttxxtua uu xxu xx解：由达朗贝尔公式：211sin()sin()22x atx atuxatxatda

14、22 2sincos(3)3txatxa t驻波形式Harbin Engineering University行波法小结： 它基于波动的特点。它基于波动的特点。引入了坐标变换来简化方程引入了坐标变换来简化方程优点：求解方式易于理解，求解波动优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便方程十分方便缺点：通解不易求，是之有局限性缺点：通解不易求，是之有局限性%现实中，无限长的弦根本不存在，所谓无限长的弦当然只是一个理想化的抽象。它恰恰就是表示：在我们所考察的时间和空间范围内，端点的影响可以忽略不计的情况 。Harbin Engineering University端点的反射 _半无限长弦的自由振动Harbin Engineering University参见教参参见教参174页页端点固定时，端点固定时，端点的影响