第5节微分的概念及其应用ppt课件

1、二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 微分的概念及其应用20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一、微分的定义一、微分的定义引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问

2、此薄片面积改变了多少? 0 x变到变到,0 xx边长由边长由其其再如再如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分) )是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?定义定义如果如果在这区间内在这区间内及及

3、在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数,)(00 xxxxfy , )()()(00 xoxAxfxxfy .d),(dd,)(,)(),(00000 xAyxfyxxxfyxAxxfyxAxxxx 即即或或记记作作的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立由定义知由定义知: :;d)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xy ;)(d)2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxoyy ;d,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当yyA yyd xAxo )(

4、1).0(1x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(d,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当yyx )()()(00 xoxAxfxxfy ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处处可可导导在在点点数数函函可可微微的的充充分分必必要要条条件件是是在在点点函函数数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点设设xxf),( xoxAy 即即,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数 0)(lim0 xxxfyx. . 于于是是 )()(xo

5、xxfy , , 即即 )( xoxAy , , (2) 充分性充分性,)(0可导可导在点在点函数函数设设xxf)(lim00 xfxyx .)(0可可微微在在点点函函数数xxf可微可微可导可导 .)(d)(xxfyxfy 的的微微分分为为函函数数)(0 xfA.d)(dxxfy 例例1 1解解.02. 0, 23时时的的微微分分当当求求函函数数xxxy xxy )(d3.32xx 02. 02202. 023dxxxxxxy .24. 0.d,d,xxxxx 即即记记作作称称为为自自变变量量的的微微分分的的增增量量通通常常把把自自变变量量).(ddxfxy 导数也称为导数也称为“微商微商”.

6、二、微分的几何意义二、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTydy)( xo ）yxo x 几何意义几何意义:(如图如图).d,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当yy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 以直代曲以直代曲 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则xxfyd)(d 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, , 乘以自变量的微乘以自变量的微分分. .1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xxx

7、xxxxxxxCdtansec)(secddsec)(tanddcos)(sind0)(d2 xxxxxxxxxxxxxdcotcsc)(cscddcsc)(cotddsin)(cosdd)(d21 xxxxxxxaxxxaaaaxxd11)(arctandd11)(arcsinddln1)(logddln)(d22 2.2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2dd)(ddd)(dd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvuCCuvuvu xxxxxxxxxxxxd11)cotarc(dd11)(arccosdd1)(lndde)e (d22 结论：结论：的微分形式总是

8、的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx xxfyd)(d 3. 3. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则设设)(xfy 可可导导，则则xxfyd)(d 而而 ttgxd)(d , 因因此此又又有有 xxfyd)(d , , ttgxfyd)()(d 此性质称为一阶微分的形式不变性此性质称为一阶微分的形式不变性. . 若若又又有有)(tgx , ,g可可导导，则则复复合合函函数数)(tgfy 的的微微分分为为 例例2 2解法解法1.d, )eln(2yxyx求求设设 ,ee2122xxxxy .dee21d22xxxyxx 解法解法2)e(de1d

9、22xxxxy .dee2122xxxxx 分析分析xxfyd)(d 微分的计算微分的计算: : 计算函数的导数计算函数的导数, , 乘以自变量的微乘以自变量的微分分. .也可利用复合函数的微分法则也可利用复合函数的微分法则.例例3 3解解.d,cose31yxyx求求设设)(cosde)e (dcosd3131xxyxxxxxxxxd)sin(ed)e3(cos3131.d)sincos3(e31xxxx解解例例4 4.darctanyyxy求求，设设两边微分，两边微分，21dddyyyxxy.d)1(1)1(d22xyxyyy?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半

10、径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用1.1.函数的近似计算函数的近似计算有有很很小小时时且且处处的的导导数数在在点点若若,|, 0)()( 00 xxfxxfy 例例5 5解解,2rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米rr rrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00dxxxxyy )()()()(000 xxxfxfxf)(0 xx 例例6 6.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360 x，23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 49242356. 0精精确确值值常用近似公式常用近似公式)| (很很小小时时x;)(sin)4(为为弧弧度度xxx (1) 证证,e)(xxf设设,e)(xxf.1)0(,1)0(ff. )(tan)5(为弧度为弧度xxx ；xx )1ln()3(;1)1()2(xx ;1e)1(xx .1exx)| ()0()0()(很很小小时时特特别别地地，xxffxf. )(211cos)6(2为为弧弧度度x