第六节 双曲线

1、栏目索引理数课标版第六节双曲线栏目索引1.双曲线的定义双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a、c为常数且a0,c0.教材研读教材研读(1)当2a|F1F2|时,P点不存在.栏目索引2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质栏目索引栏目索引1.双曲线的方程为x2-2y2=1,则它的右焦点的坐标为()A.B.C.D.(,0)答案答案 C原方程可化为-=1,a2=1,b2=,c2=a2

2、+b2=,右焦点的坐标为.2,025,026,02321x212y12326,02栏目索引2.(2015福建,3,5分)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3答案答案 B|PF1|=30,b0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1答案答案 A由题意可得解得a=2,则b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A.22xa22yb524x24y2320 x235y235x2320y221,25,0,0,baabab24x

3、栏目索引4.若双曲线-=1的离心率e(1,2),则m的取值范围为.答案答案(0,15)解析解析e=,12,即55+m20,故0m0,b0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.1435344522xa22yb216x29y考点突破考点突破栏目索引答案答案(1)C(2)-=1解析解析(1)双曲线方程可化为-=1,a=b=,c=2.24x23y22x22y2由得|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理得cosF1PF2=.故选C.(2)由题意易得椭圆焦点为(,0),离心率为,在双曲线中,有a2+b2=7且e=,结合a2+b2=c2,解得a2=4,b2=3

4、,双曲线的方程为-=1.1212| 2 2,| 2|PFPFPFPF22222121212|2| |PFPFFFPFPF34774ca7224x23y栏目索引方法技巧方法技巧(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一个常数,且该常数必须小于两定点间的距离”.若去掉定义中的“绝对值”,则点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.(2)求双曲线方程时,一是注意标准形式的判断;二是注意a、b、c的关系.栏目索引1-1(2016课标全国,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1

5、,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)22xmn223ymn33答案答案A原方程表示双曲线,且焦距为4,或由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A.22220,30,34,mnmnmnmn22220,30,(3)()4,mnmnmnmn栏目索引1-2 (2016河北唐山统一考试)焦点在x轴上,焦距为10,且与双曲线-x2=1有相同渐近线的双曲线的标准方程是.答案答案-=1解析解析设所求双曲线的标准方程为-x2=-(0),即-=1,则有4+=25,解得=5,所以所求双曲线的标准方程为-=1.24y25x220y24y2x24y25x220y栏目索引变式变式1-3若将本例(1)中的条件“

6、|PF1|=2|PF2|”改为“F1PF2=60”,则F1PF2的面积是多少?解析解析不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2=,所以|PF1|PF2|=8,所以=|PF1|PF2|sin60=2.2222121212|2| |PFPFFFPFPF1212F PFS123栏目索引考点二双曲线的几何性质考点二双曲线的几何性质命题角度一双曲线的离心率问题命题角度一双曲线的离心率问题典例典例2 (2016课标全国,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=,则E的离心

7、率为()A.B.C.D.2答案答案 A解析解析解法一:由MF1x轴,可得M,|MF1|=.由sinMF2F1=,可得cosMF2F1=,又tanMF2F1=,=,b2=ac,c2=a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-ac=0e2-e-1=0,e=.22xa22yb1323232,bca2ba1321132 23112|MFFF22bac22bac132 232222222栏目索引故选A.解法二:由MF1x轴,得M,|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sinMF2F1=a2=b2a=b,e=.故选A.2,bca2ba2ba12|MFMF222babaa13

8、222aba2栏目索引命题角度二双曲线的渐近线问题命题角度二双曲线的渐近线问题典例典例3 (2016广东广州模拟)已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,则其渐近线方程为()A.2xy=0B.x2y=0C.4x3y=0D.3x4y=0答案答案 C解析解析设右焦点为F(c,0),且F与双曲线一条渐近线y=x的距离为d,则d=b,易知右焦点到左顶点的距离为a+c,又右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,所以a+c=2b.平方得(a+c)2=4b2=4(c2-a2),则a=c,b=c,双曲线的渐近线方程为y=x=x,即4x3y=0.故选C.22xa22y

9、bba22|bcab3545ba43栏目索引命题角度三离心率与渐近线的综合问题命题角度三离心率与渐近线的综合问题典例典例4设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案答案 D解析解析设双曲线的方程为-=1(a0,b0),设F(c,0),B(0,b),则kBF=-.又双曲线渐近线的斜率k=,直线BF与一条渐近线垂直,-=-1,b2=ac.又a2+b2=c2,c2-ac-a2=0,e2-e-1=0,e=,又e1,e=,故选D.2331251222xa22ybbcbabcba152512栏目索引规律总结规律总结(1

10、)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法:一种是直接建立e的关系式求e或e的范围;另一种是建立a,b,c的齐次关系式,将b用a,c表示,令两边同除以a或a2化为e的关系式,进而求解.(2)方程-=1与-=1,当a1+b1=a2+b2时焦距相等,当=时渐近线相同.(3)双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为-=0.21xa21yb22xa22yb11ab22ab22xa22yb22xa22yb栏目索引2-1点F是双曲线-=1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()22xa22ybA.(

11、1,+)B.(1,2)C.(1,1+)D.(2,1+)答案答案B不妨设点A在x轴上方,如图,由题意知A点的纵坐标为,若ABE是锐角三角形,则必有AEF45,tanAEF=1,则c2-ac-2a20,e2-e-20,-1e1,1e0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1答案答案 D由题意知,双曲线的渐近线方程为y=x,即bxay=0,因为双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以=,由双曲线的一个焦点为F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|=,所以b2=3,所以a2=1,故

12、双曲线的方程为x2-=1,故选D.22xa22yb29x213y213x29y23x23yba22|2 |bab3323y栏目索引2-3 若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=2xB.y=xC.y=xD.y=x答案答案 B由离心率为,可知=,c2=a2+b2,b=a,因此双曲线的渐近线方程为y=x=x,故选B.22xa22yb3212223ca32ba2栏目索引考点三直线与双曲线的位置关系考点三直线与双曲线的位置关系典例典例5已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).(1)求该双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+与双曲线C左支有两个不同的交点A,B,

13、求k的取值范围.解析解析(1)由题意设双曲线方程为-=1(a0,b0).由已知得a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线C的方程为-y2=1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),将y=kx+代入-y2=1,3222xa22yb323x223x栏目索引得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由题意知解得k1.k的取值范围为k0,b0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.22xa22yb3333OMONOD栏目索引解析解析(1)由题意知a=2,一条渐近线的方程为y=x,即bx-2y=0,=,结合a2+b2=c2,解得b2=3,双曲线