【高中数学】利用导数解决函数的单调性问题

1、第二节 利用导数解决函数的单调性问题最新考纲1.了解函数的单调性和导数的关系2能利用导数研究函数的单 调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不会超过三次）夯实区础知识 课前自主顾 扫除双基盲点匚必备知识填充n函数的单调性与导数的关系条件结论函数y=/U）在区间（。，份上可导f W>o儿丫）在（小/力内单调递增f (x)<0/U）在（小）内单调递减f W=o兀丫）在（小。）内是常数函数1 .在某区间内，（x）O（f （x）VO）是函数J（x）在此区间上为增（减）函数的无 全丕必一斐圭仕,2 .可导函数/（X）在（，上是增（减）函数的充要条件是对b）,都有 f。*。仁 a）wo）

2、且/ 5）在9，位上的任何子区间内都不恒为零.:学情自测验收n一、思考辨析（正确的打“ J”，错误的打“X”）（1）若函数兀）在（小）内单调递增，那么一定有r。）0.（）（2）如果函数/U）在某个区间内恒有r a）=o,则«0在此区间内没有单调性.（）（3）在（小3内广（x）WO且，0） = 0的根有有限个，则/在（小一内是减函 数（）|答案（1）X （2）7 J二、教材改编1 .如图是函数y=/（x）的导函数），=/'。）的图象，则下面判断正确的是（）A.在区间（一3,1）上段）是增函数B.在区间（1,3）上/是减函数C.在区间（4,5）上/U）是增函数D.在区间（3,5）

3、上/是增函数C 由图象可知，当x£（4,5）时，（x）。，故JU）在（4,5）上是增函数.2 .函数Ax）=cosxx在（0,兀）上的单调性是（）A.先增后减B.先减后增C.增函数D.减函数D 因为/ （x）=-sinx-l0,在（0,兀）上恒成立所以八x）在（0,兀）上是减函数，故选D.3 .函数火x）=xlnx的单调递减区间为.（0,1函数於）的定义域为山0,由/ （x）=l ,W0,得OVxWl, X所以函数火X）的单调递减区间为（0.4 .已知火、）=丁_内在口，+8）上是增函数，则实数。的最大值是3 f （x） = 3/一即又因为x£l, +8）,所以“W3,即的

4、最大值是3.总结常考考点 课堂考点探究 破解高考疑难与考点1不含参数函数的单调性 唳通法求函数单调区间的步骤（1）确定函数/U）的定义域.（2）求，（x）.（3）在定义域内解不等式/。）0,得单调递增区间.（4）在定义域内解不等式广（x）V0,得单调递减区间. 歌典即1.函数於）=l+xsinx在（0,2兀）上是（） A,单调递增B.单调递减C.在（0, 71）上增，在（7T, 2兀）上减D.在（0,兀）上减,在（71, 2兀）上增A （x）=l cosx。在（0,2兀）上恒成立，所以於）在（0,2兀）上单调递增.2.函数），=52 Ex的单调递减区间为（）B. (0JD. (0, +

5、6;0)A. (-1JJC. 1, 4-oo)B Vy=x2In xt由）/ wo可解得ovxWi,/.y=rInx的单调递减区间为（0,故选B.3.已知定义在区间（一兀，兀）上的函数J（x）=xsinx+cosx,则/（x）的单调递增 区间是.（一花， 果和0,| /' （x） = sin a+acos %sin a=acos xy令 f（X）=XCOS x0,则其在区间（一兀，7T）上的解集为（一兀，一野和（。，3即Ax）的单调递增区间为（一兀，一9和（。，.!5点讲求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错.每考点2含参数函数的单调性喉通法研究含参数的函数的单调性

6、，要依据参数对不等式解集的影响进行 分类讨论.1 1如例 已知函数/（x） = lnx+£且"0）,讨论函数於）的单调性. 1解 依题意得，r a）=-（xo）,当"vo时，r a）o恒成立，函数火X）在（0, +8）上单调递增./r 1当。时，由/ （幻=兀？一。得人了得 OVxV，,函数人x)在？，+8)上单调递增，在(0,詈上单调递减.综上所述，当“V0时，函数应¥)在(0, +8)上单调递增；当4。时，函数Ax)在?，+8)上单调递增，在(0, 0上单调递减.0点评含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的 解，在划分函数的单调

7、区间时，要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间 断点."典期 已知函数/(xXMnx+RaWR且W0),讨论函数/的单调性.解|函数/的定义域为(0, +8).,_a Zr+tt因为/(工)=4111工+/，所以/ (x)= + 2x =：一.XX当。时，fr (x)0,所以函数/U)在(0, +8)上单调递增.当4V0时，令/ (x) = 0,解得X=当 OVxV一5时，f Cv)<0,上单调递减;所以函数/(x)在0,当一;时，f(A)>0,所以函数人x)在-5，+sj上单调递增.综上所述，当。0时，函数式x)在(0,+8)上单调递增;上单调递减,当«0

8、时，函数一果+sj上单调递增.考点3已知函数的单调性求参数混通法根据函数单调性求参数的一般方法利用集合间的包含关系处理：(=%)在(a, b)上单调,则区间(a, b)是相 应单调区间的子集.(2»a)为增函数的充要条件是对任意的xem,与都有广 力。且在3, b) 内的任一非空子区间上，,不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略， 否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.典例已知函数/(x) = lnx,(1)若函数力。)=/*)一g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数力(工)=/5)一冢工)在1,4上单调递减，求”的取值范围.解 (x)

9、= ln x一2x, x£(0, +°°),所以"'(X)= L4K2,由于，7(x)在(0,+8)上存在单调递减区间， X所以当x£(0,+8)时，一“氏一2Vo有解，x1 2即“>?一:有解.1 2设 G(x)=7-7,所以只要4>G(X)min即可.而 G(x) = (：T)2f所以 G(A)min = - 1 .所以4>一1,又因为C/W0,所以”的取值范围是(一l,0)U(0,+8).(2)由力。)在1,4上单调递减得，当 x£l,4时，h' (x)='-4x-2W0 恒成立，.X1

10、 2即"N二一一'恒成立. 入 x2 所以“2 G（A）max，而 G（X）= （； 1） - 1 ,因为x£l,4,所以工£，L 4 ? J7所以G(X)maK=一记(此时X = 4),所以心一击，因为W0,所以4的取值范围是一工 0 ) U(0, +8).16/母题探究1 .(变问法)若函数力(x)=/(x)g(x)在1,4上单调递增，求”的取值范围.解由/©)在1,4上单调递增得，当x£l,4时,一(x)NO恒成立,所以当.£1,4时，aW±恒成立,又当仲1,4时，一焉产一1(此时x=l),所以。 一1 ,即4

11、的取值范围是(一8 , 1 .2 .(变问法)若函数力(x)=/(x)ga)在1,4上存在单调递减区间，求。的取值 范围.解|力(x)在1,4上存在单调递减区间，则'(x)VO在1,4上有解,所以当x£l,4时，4白一：有解，又当 X£l,4时，d)min=-l,所以4一1,又因为4#0,所以"的取值范围是(一 1,O)U(O, +8).3 .(变条件)若函数/心尸外)一4。)在14上不单调，求。的取值范围.解因为力(X)在14上不单调，所以/?'。)=0在(1,4)上有解，12即。=?一；有解，人12令心,)=7-：, x£(l,4),

12、7则一1 V?(x) V 一不，所以实数。的取值范围为(一1,一印LIS点评a次X)在。上单调递增(减)，只要满足r a)2o(wo)在。上恒成立 即可.如果能够分离参数，则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.(2)二次函数在区间D上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数的图象的对 称轴与区间。的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.3x对典题 已知函数"v)="-2%2+m x在区间1上为单调函数，求。的取 值范围.31解/(x)=-4x+;,若函数兀、)在区间L2上为单调函数，即在1,2上,3131r (x)=-4x+；力0 或r。)=/-4工+(

13、<0,3131即4x+;N0或1一4x+;W0在1,2上恒成立，31 .31即一 24x 或一 <4x一二 ax ax令/?Cv)=4a因为函数(x)在1,2上单调递增， 人333 15 3所以力(2)或力(1),即2三或1W3,2.解得«<0或或修考点4利用导数比较大小或解不等式混通法用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求 解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或 解不等式.常见构造的辅助函数形式有：(1 游)g(x)f 尸(冷=/)一 g(x);(2闪“ a)+/a)fM(x)' ；(3讨“(x)j(x)

14、f华'； 人(4/ a)+/a)feyu)'；(5/ (x)JU)岑'.典例(1)已知函数/U)是定义在R上的偶函数，设函数人工)的导函数为 r(、)，若对任意工>。都有4+07。,)>。成立，则(A. 4/(-2)<9/(3)B. 4«-2)>9A3)C 贺3)>浜-2)(2)设/U)是定义在R上的奇函数，人2)=0,当x>0时，有位一V0 恒成立，则不等式逐幻>0的解集是.(1)A (2)(8, -2)U(0,2) (D根据题意,令 g(x)=(x),其导致 g' (x) =2xf'(x)+x2f,

15、 (x),又对任意x>0都有(工)>0成立，则当x>0时，有 gr (x)=x(2f(x)+xf' W)>0恒成立，即函数g(x)在(0, +8)上为增函数，又由 函数/是定义在R上的偶函数，则/(-x)=y(x),则有g(-x) = (-x)2f(-x) =%) =g(x),即函数g(x)也为偶函数，则有g(2)=式2),且g(2)Vg(3),则有g(2) Vg(3),即有侦一2)<浜3).故选A.(2)令 9。)=尊，* 当 x>。时， 丁 1 <0,夕(幻=一/在(0, +8)上为减函数，又夕(2)=0, 人在(0, +8)上，当且仅当0VxV2时，夕(x)>0,此时直工)>0.又/U)为奇函数，."?(幻=逐幻也为奇函数.故巾刈>0的解集为(一8, -2)U(0,2).3点话 如本例(1)已知条件*)>o”,需构造函数且。)=逐犬), 求导后得x>0时，g1(A-)>0,即函数g(x)在(0, +8)上为增函数，从而问题得 ©以解决.而本例(2)则需构造函数9(x)= X解决.典时定义在R上的函数/(X)满足：/ (X)>/U)恒成立，若X!<X2,则 </(%)与e/(Z)的大小关系为()