不等式综合问题

1、不等式综合问题一、问题背景不等式主要包括一元二次不等式、线性规划、基本不等式，不等式综合问题既有不等式内部知识的综合，又有不等式与其他数学分支的交汇.二、常见的思想方法主要思想：等价转化思想、化归思想等.具体方法包括恒等变形、“换元法”、构造函数方程等.三、范例24例1(1)已知正实数x,y满足x+3y+j=1。，则xy的取值范围为24X(2)已知正实数x,y满足x+2+3y+4=10,则的取值范围为Xyy-814【答案】(1)1,-；(2)-.323x一【思路】利用基本不等式构造关于xy和的不等关系，通过解不等式求范围.y解答(1)10=(x+f)+(2+3y)22.(x+f)(Z+3y)=

2、2j3xy+8+14,yxyxxy解得xy的取值范围为1,8.3(2)10=(x+3y)+(5-17【答案】,5.".42+4)>2,i'(x+3y)(2+-)=2)叟十久+14,xyxyixyx,一14解得一的取值范围为-,-.y23例2已知正实数x,y,z满足OMIogzxlogy+log2z<1，且x+yE2z,则必宜z的取值范围为xz-【思路】将条件转化为关于一，一的二兀关系，构造图形解题.yyxzzx11三UV三2【解答】由条件得1三年七2,令三=U,2=V,则«,y2yyV1<2Ux-yV-1建立坐标系UOV,则一y二可以看作点(U,V

3、)与(0,1)连线斜率.zU一、1,一17117-1两个极限位置：一是直线与V=相切，一是过点(21二一1),U42则x二丫的取值范围为J,5-、17,z42例3某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱.1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f(x)与时间x(小时)的关系可近似地表示为：2-x-6-0_x：36x31f(x)=6x3，只有当污染河道水中碱的浓度不低于-时，才能对污x31-3-x_66染产生有效的抑制作用.(1)如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？1.(

4、2)第一次投放1单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到-时，马上再投放1个3单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为g(x)，求g(x)的函数表达式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加)【思路】应用问题,【解答】依题意,依据题设条件建立不等关系，利用函数、不等式知识解决模型.0<x<33MxM6xx61或x1，解得1Ex<3或3<x£4,2-16x33.63即1MxM4.所以，能够维持有效的抑制作用的时间：4-1=3小时.由知，x=4时第二次投入1单位固体碱，显然g(x)的定义域为4<x<10x当4<xW6时，第一

5、次投放1单位固体碱还有残留，故gx=.1-三62-T6=11x_6(x4)+3_33x-1当6<xW10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，故当6<xE7时，g(x)=2当7<xM10时，g(x)=111x6§一§8x6所以g(x)=<35x3-6(x-4)66"(x-4)3x-45x=；6364_x_66<x<77<x_108x63-6-x-1当4MxW6时，g(x)=-Gx1+)<-272,当且仅当33x-13x-1x=1+36e(4,6)时等号成立；当6<xM10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，5x-

6、165xg(x)=(+)单倜递增；右7cxM10,g(x)=单调递减，故26x-136g(x)max1=g(7)-2又(犯一2五)也2二口号>0,所以当x=1+3后时，水中碱326610浓度的最大值为-2.2.3答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放1+3亚10小时后，水中碱浓度的达到取大值为2J2.3四、练习24题1(1)已知正头数x,y满足x+3y+=10,则xy的取值范围为24x,(2)已知正实数x,y满足x+3y+=10,则一的取值氾围为xyy一-8,“、14,【答案】(1)1；,一.323x一【思路】利用基本不等式构造关于xy和一的不等关系，

7、通过解不等式求范围.y解答(1)10=(x+4)十(2+3y)22j(x+W)(Z+3y)=2/3xy十且+14,yx.yx,xy8,解得xy的取值氾围为1,一.3(2)10=(x+3y)+(+)之2J(x+3y)(+，)=2I+14,xyxyxyx14解得一的取值范围为-,-.y23题2已知正实数x,y,z满足0Wlog2xlog?y+log2z<1,且x+yE2z,则x-yz的取值范围为15-J17【答案】,5".42xz.【思路】将条件转化为关于一，一的二兀关系，构造图形解题.yyxzzx1uv2【解答】由条件得1W等W2,*=U,2=V，则S,y2yyV1<2Ux

8、-yV-1建立坐标系UOV,则1可以看作点(U,V)与(0,1)连线斜率.111两个极限位置：一是直线与V='相切，一是过点(171二一1),U4，2则二二Y的取值范围为1,517.z42题3某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染.为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱.1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f(x)与时间x(小时)的关系可近似地表示为：1一时，才能对污32.二上0“3f(x)=6x3，只有当污染河道水中碱的浓度不低于1-3-x-6,6染产生有效的抑制作用.(1)如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制

9、作用的时间有多长？1.(2)第一次投放1单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到一时，马上再投放1个3单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为g(x)，求g(x)的函数表达式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加)【思路】应用问题，依据题设条件建立不等关系，利用函数、不等式知识解决模型.0<x：3【解答】依题意，x61"6一丁飞-31-即1WxE4.所以，能够维持有效的抑制作用的时间:1，解得1Ex<3或3工xE4,>-341=3小时.由知，x=4时第二次投入1单位固体碱，显然g(x)的定义域为4<x<10当4WxW6时，第一次投

10、放2-(x-4)11x(x-4)33-3-x-11单位固体碱还有残留，故g(x)=.16；E10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，故:xg(x)=2-<10时,g(x)=1(x-4)6x-48x6一?(x-4)336x-15x1133x-14<x<6所以x66x-17：二x_10一10x-16当4WxW6时，g(x)=-(+)33x-1x=1+3Ce(4,6)时等号成立；<-272,当且仅当3x-13x-1当6<x<10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，若6<x<7，/5,x-1g(x)=-(261=g(7)=二25x)单倜递增；右7cxM1

11、0,g(x)=单调递减，故g(x)max36又("叱廿立二叵9二蓬A。，所以当乂=1十3行时，水中碱浓度的最大值为-2J.3答：第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时；第一次投放1+3J2小时后，水中碱浓度的达到最大值为-242.3五、练习解答1.【思路】利用二次函数、二次方程、一元二次不等式等相关结论进行解题.，一，4由f(1)M4知，t=a+w4,8,a216a2,c所以a.c=a=L_2c4a2444t4(a)at2177因为g(t)=-在4,8递增，所以值域为,即取大为.4t244g(4)=k-：二0依题意，g(-1)=k>0,故kw(14)，所以k

12、=2,f(x)=x2x+2wI,收).则g(2)=k>02L(J=f(x)+2在f(x)=4取得最小值为史.f(x)f(x)2228ab=1-c222(3)由a+b+c=1，a+b+c=1,贝Ud(a+b)(a+b)2,ab二二c-c2.a,b为方程x2(1c)x+c2c=0的两个不相等的实根,22_11-A=(c-1)-4(c-c)>0=>-<c<1.-/12c:ab=2c：1c=c二一因为a>b>c,32(ca)(cb)0=3c-2c0=c：0,orc1一.一4、所以，一一<c<0,即a+b=1c=(1,),3377人212323.(4

13、)由f(1)=一得a+b+c=一，令x+=2x+2x+x=x=1,由f(x)<x+2x+一推得f(-1)&222223,2由f(x)孑2+1推得f(1)J,f(1)=223.勿驯证：-x+x+1Wx+2x+对xCR都成乂.,ab+c=3,2222525故2(a+c)=5,a+c=且b=1,.f(x)=ax2+x+(a)222521.依题,国：ax+x+(a)条+一对一切xCR成立，22.awl且=14(a1)(2a)wq得(2a3)2wqf(x)=-x2+x+1,2存在实数a=-,b=1,c=1,使得不等式：x2+l<(x)<x2+2x+-对一切xCR都成立.2222

14、.【思路】利用线性规划知识与基本不等式或者几何因素结合起来解题.'2xy+220【解答】(1)点P在平面区域x+y_2W0上,画2y-1.0出可行域x2+(y+2)2=1上，那么|PQ|的最小值圆上的-一，1-r一一，点到直线y=的距离，即圆心(0,2)到直线21,一，y=_的距离减去半径2作出可行域.(3)IOPIcoseOA-OP|OA|x2y,根据线性规划知识易得,z=x2十y2表示点(x,y)到原点距离的平方，其最大值为29.值的范围为0坐.5(4)设AB=c,AC=b,BC=a,-LbccosA=9由q=bcsinA=12,“4.八4A3,_tanA二一,sinA=,cosA=一，bc=15,355,sinB由=cosA=sinC根据余弦定理得,a=，b2+c2-2bccosA=4,AABC的周长为a+b+c=12.-121-、由2S+bc=3x+4y+5z=12,所以x+y+z=+(2x+y),553x4y-12x之0,由线性规划可得0WtW8,、.y之0一，.12,所以x+y+z的取值氾围为,4.53思路】本题在建立函数模型后，要解决该模型，可以运用函数知识或者基本不等式