中考复习轴对称之将军饮马问题

1、轴对称之“将军饮马”问题“将军饮马”的起源：早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.【图示】军营占军营才【分析】我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线1,军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题.即如下图：直线同侧有两点A,B,在直线上选取一点C,使得AC+BC最短.s.在思考这个问题之前，

2、我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：1、两点之间，线段最短.2、垂线段最短.请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得.如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A,B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？很简单，连接AB,与直线l的交点即为点C.理由，两点之间，线段最短.（当然也可以用三角形一边小于两边之和）那么回到原先的问题，即军营A,B在河的同侧，该如何思考就不难了.根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,与直线l的交点即为点C.s.【解答】如图BA【变式11若将军骑马从军

3、营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水,最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】【分析】我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角.问题即转化为，如下图：在/MON的部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得BAC周长最短./2N.s.若点C位置确定，要求AB+BC最短，同学们肯定已经知道，作点关于OM的对称点A',连接A'C即可，但现在点C的位置不确定，而若点B位置确定，要求AC+BC最短，则作点A关于ON的对称点A'',连接A''

4、B即可.想到这，分别作点A关于OM,ON的对称点，问题不就迎刃而解了吗？【解答】如图，作点A关于OM的对称点A',作点A关于ON的对称点A'',连接A'A''，与OM交于点B,与ON交于点C,连接AB,AC,ABC即为所求.【变式2】若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水,最后把马牵回马厩，步行回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？【图示】.s.【分析】首先，将问题转化为如下图：在/MON的部有点A和点B,在OM上找一点C,在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短.,V/XcHBDA'从马厩步行回军营，则必然“两点

5、之间，线段最短”，问题转化为求AC+CD+DB的最小值，方法与变式2类似，过点A作OM的对称点，过点B作ON的对称点即可.【解答】如图，作点A关于OM的对称点A',作点B关于ON的对称点B',连接A'B',与OM交于点C,与ON交于点D,连接AC,BD,AB,四边形ABCD即为所求.s.【总结&反思】我们已经知道，类似的“将军饮马”问题，最关键的就是要作对称,但怎么做，可能大家并不是十分明确，我们再来好好体会一下：首先，明确定点，定线，动点.军营，马厩，这些不动的点，即为定点.河边，草地边，这些不动的线，即为定线.河边的饮马点，草地边的吃草点等，这些不确

6、定的点，即为动点.1 .必然是作定点关于定线的对称点！2 .作的次数需要看动点个数！有几个动点在哪些定线上，那么相应的定点就要做关于这些定线的对称点.原题，只要在一条定线（河边）上找一个动点（饮马点），那只需作定点（军营A）关于定线（河边）的一个对称点.变式1,要在两条定线（河边）（草地边）找两个动点（饮马点）（吃草点），则需要作作定点（军营）关于定线（河边）（草地边）的两个对称点，即两次.变式2,要在两条定线（河边）（草地边）找两个动点（饮马点）（吃草点），则需要作作定点（军营）关于定线（河边）的对称点与定点（马厩）关于定线（草地边）的对称点，也是2个，即2次.3 .作完对称点如何连接也需看作对称次数！.s.1 .原题，把对称点直接连接另一个定点（军营B）,则连线与定线（河边）上的交点，即为动点（饮马点）.2 .变式1,把两个对称点连接，与定线（河边）（草地边）上的交点即为动点（饮马点）（吃草点），分别与定点（军营A）相连.3 .变式2,把两个对称点连接，与定线（河边）（草地边）上的交点即为动点（饮马点）（吃草点），分别与定点（军营）（马厩）相连.如果用口诀来总结，那就是：定点定线作对称，次数就看动点数.一次对称直连定，两次对称先相连.