高考数学复习 第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质课件 文

1、第五节直线、平面垂直的判定与性质总纲目录教材研读1.直线与平面垂直考点突破2.直线与平面所成的角3.二面角的有关概念考点二面面垂直的判定与性质考点二面面垂直的判定与性质考点一直线与平面垂直的判定与性质4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理考点三平行与垂直的综合问题考点三平行与垂直的综合问题1.直线与平面垂直直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条任意一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.教材研读教材研读 文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 l性质定理垂直于同一个平面的两条直线

2、平行平行 abababOlalb 、ab(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理直线与平面垂直的判定定理及性质定理与与“直线与平面垂直直线与平面垂直”有关的结论有关的结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用,即a,bab.(2)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.2.直线与平面所成的角直线与平面所成的角(1)定义定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一

3、条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0的角.如图所示,PAO就是斜线AP与平面所成的角.(2)线面角线面角的范围的范围: .0,23.二面角的有关概念二面角的有关概念(1)二面角二面角:从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理平面与平面垂直的判定定理与性质定理 1.给出下列四个命题:垂直于同一直线的两个平面互相平行;垂直于同一平面的两个平面互相平行;若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行

4、,那么这两个平面相互平行;若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案答案B正确.B2.(2015北京延庆期末)已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个 B.至多有一个C.有一个或无数个 D.不存在答案答案 B若mn,则过直线n存在一个平面与m垂直;若m不垂直于n,则不存在这样的平面,故选B.B3.(2016北京朝阳期末)已知m,n表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,且m,n,则下列说法正确的是()A.若,则mn B.若m,则C.若m,则 D.若,则mn答案答案B对于A,两

5、个平行平面内的直线可能平行,可能异面;B正确;对于C,当m平行于平面、的交线时,也有m,但平面与平面相交;对于D,m与n也可能平行、斜交或异面.B4.(2015北京丰台期末)设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件为()A.ac,bc B.,a,bC.a,b D.a,b答案答案 C对于选项A,若ac,bc,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交;对于选项B,若,a,b,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交;对于选项C,若a,b,则ab;对于选项D,若a,b,则根据线面垂直的性质定理可知ab.故选C.C考点一直线与平面垂直的判定与性质考点一直线与平面垂直的判

6、定与性质考点突破考点突破典例典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CDAE;(2)证明:PD平面ABE.证明证明(1)在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAAC=A,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.E是PC的中点,AEPC.由(1)知,AECD,又PCCD=C,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是AD,又ABAD,ABPD.又ABAE

7、=A,PD平面ABE.方法技巧方法技巧(1)证明直线和平面垂直的常用方法:利用判定定理;利用面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证明线线垂直,而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.1-1 (2016北京丰台一模)已知在ABC中,B=90,D,E分别为边BC,AC的中点,将CDE沿DE翻折后,使之成为四棱锥C-ABDE(如图).(1)求证:DE平面BCD;(2)设平面CDE平面ABC=l,求证:ABl;(3)若CDBD,AB=2,BD=3,F为棱BC上一点,设=,当为何值时,三棱锥C-ADF的体积是1? BFFC解析解析(1)证

8、明:B=90,D,E分别为BC,AC的中点,DEAB.CDDE,BDDE,又CDBD=D,DE平面BCD.(2)证明:DEAB,DE平面CDE,AB 平面CDE,AB平面CDE,又AB平面ABC,平面ABC平面CDE=l,ABl.(3)CDBD,CDDE,EDBD=D,CD平面BDE.=,C DFBDFSSC FFB1SCDF=SBCD.又BD=3,AB=2,VC-ADF=1,VC-ADF=VA-CDF=VA-CDB=VC-ADB=CDSADB=1.解得=2.111111111331典例典例2如图,四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,

9、AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE平面PAD;(2)求证:平面EFG平面EMN.考点二面面垂直的判定与性质考点二面面垂直的判定与性质证明证明 (1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EHAB,EH=AB.12又ABCD,CD=AB,所以EHCD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD,CE 平面PAD,因此,CE平面PAD.12又EFFG=F,EF平面EFG,FG平面EFG,因此AB平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MNCD.又ABCD,所以MNAB.因此MN平面EFG.又MN平面EMN,所以平面EFG平面EM

10、N.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EFPA.又ABPA,所以ABEF.同理可证ABFG.方法指导方法指导证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(不常用);(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.一般方法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决(常用方法).2-1如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-

11、ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积. 63解析解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.又BDBE=B,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD= .因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=ACGDBE=x3=,解得x=2.322x3222131262463从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积

12、均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.655典例典例3 (2017北京海淀一模)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是PB,PD的中点.(1)求证:PB平面FAC;(2)求三棱锥P-EAD的体积;(3)求证:平面EAD平面FAC.考点三平行与垂直的综合问题考点三平行与垂直的综合问题命题角度一平行与垂直关系的证明命题角度一平行与垂直关系的证明解析解析(1)证明:连接BD,与AC交于点O,连接OF,在PBD中,O,F分别是BD,PD的中点,所以OFPB,又因为OF平面FAC,PB 平面FAC,所以PB平面FAC.(2)因为PA平面ABCD

13、,AB、AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因为ABAD,PAAB=A,所以AD平面PAB,在直角PAB中,PA=AB=2,E为PB的中点,所以SPAE=1,所以VP-EAD=VD-PAE=SPAEAD=.(3)证明:因为AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,在等腰直角PAB中,AEPB,又AEAD=A,AE、AD平面EAD,所以PB平面EAD,又OFPB,所以OF平面EAD,又OF平面FAC,所以平面EAD平面FAC.命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题1323典例典例4 (2018北京东城期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PAD是等边三角形,E为AD中点,四边形ABCD

14、为直角梯形,ABCD,ABAD,ABAP,CD=AD=2AB=2.(1)求证:平面PAB平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积;(3)在棱PB上是否存在点M,使得EM平面PCD?说明理由. 解析解析(1)证明:因为ABAD,ABAP,ADAP=A,所以AB平面PAD.因为AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)连接PE.因为PAD为等边三角形,E为AD中点,所以PEAD.因为AB平面PAD,所以ABPE.因为ABAD=A,所以PE平面ABCD.在等边PAD中,PE=PAsin 60=,S梯形ABCD=3,所以VP-ABCD=S梯形ABCDPE=3=.3(12)22131333(3

15、)棱PB上存在点M,使得EM平面PCD,此时点M为PB中点.取BC中点F,连接MF,ME,EF.因为E为AD中点,所以EFCD.因为EF 平面PCD,所以EF平面PCD.因为M为PB中点,所以MFPC.因为MF 平面PCD,所以MF平面PCD.因为MFEF=F,所以平面MEF平面PCD.因为ME平面MEF,所以ME平面PCD.命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题典例典例5 (2016北京海淀二模)已知长方形ABCD中,AD=,AB=2,E为AB的中点,将ADE沿DE折起到PDE,所得四棱锥P-BCDE如图所示.(1)若点M为PC的中点,求证:BM平面PDE;

16、(2)当平面PDE平面BCDE时,求四棱锥P-BCDE的体积;(3)求证:DEPC. 2解析解析(1)证明:取DP的中点F,连接EF,FM.因为在PDC中,点F,M分别是DP,PC的中点,所以FMDC,且FM=DC.又EBDC,所以FMEB,所以四边形FEBM是平行四边形,所以BMEF,又EF平面PDE,BM 平面PDE,1212所以BM平面PDE.(2)在PDE中,作PODE于O,因为平面PDE平面EBCD,平面PDE平面EBCD=DE,所以PO平面EBCD.在PDE中,DPPE,PD=,PE=1,则DE=,所以PO=.所以VP-BCDE=(1+2)=.(3)证明:在矩形ABCD中,连接AC

17、交DE于I,因为tanDEA=,tanCAB=,所以DEA+CAB=,23631312263332222所以DEAC,所以在四棱锥P-EBCD中,PIDE,CIDE,又PICI=I,所以DE平面PIC.因为PC平面PIC,所以DEPC.方法技巧方法技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识建点.(2)解决此类问题的关键是结合图形,弄清折叠前后变与不变的数量关系及位置关系.3-1 (2017北京丰台一模)如图1,平行四边形ABCD中,ACBC,BC=AC=1,现将DAC沿AC折起

18、,得到三棱锥D-ABC(如图2),且DABC,点E为侧棱DC的中点.(1)求证:平面ABE平面DBC;(2)求三棱锥E-ABC的体积;(3)在ACB的平分线上是否存在点F,使得DF平面ABE?若存在,求DF的长;若不存在,请说明理由.解析解析(1)证明:在平行四边形ABCD中,AD=BC=AC,ADBC,因为ACBC,所以DAC=90.因为E为侧棱DC的中点,所以AECD.又因为ACBC,ADBC,且ACAD=A,所以BC平面ACD.又因为AE平面ACD,所以AEBC.因为BCCD=C,所以AE平面BCD,又因为AE平面ABE,所以平面ABE平面BCD.(2)因为VE-ABC=VB-ACE,BC平面