§5.2 线性微分方程组的一般理论

1、5.2 线性微分方程组的线性微分方程组的一般理论一般理论齐线性方程组齐线性方程组非齐线性方程组非齐线性方程组上页上页 下页下页 返回返回2成为成为当当)14. 5(, 0)( tf(5.15)称为对应于称为对应于(5.14)的的齐线性方程组齐线性方程组(5.14)称为称为非齐线性方程组非齐线性方程组, 0)( tf当当xtAx)( (5.15)上页上页 下页下页 返回返回35.2.1 齐线性微分方程组齐线性微分方程组xtAx)( (5.15)Consider:定理定理2说明，说明，(5.15)的所有解的集合构成一个的所有解的集合构成一个线性空间。线性空间。问题问题：此空间维数是多少：此空间维数

2、是多少 ？上页上页 下页下页 返回返回4例如例如 0sin,0cos0122tt， 00,000012tt，线性无关线性无关线性相关线性相关时，时，当当),( t上页上页 下页下页 返回返回5上页上页 下页下页 返回返回6上页上页 下页下页 返回返回7/上页上页 下页下页 返回返回8上页上页 下页下页 返回返回9通解通解上页上页 下页下页 返回返回10上页上页 下页下页 返回返回11由定理由定理1*得，初值问题得，初值问题 )()15. 5()(0txxtAx的解为的解为 )()()(01ttt 上页上页 下页下页 返回返回12上页上页 下页下页 返回返回13解：解：是解矩阵是解矩阵)()(1

3、0110)1()(tteetetttt 是基解矩阵是基解矩阵又又)(011001)0(dett 上页上页 下页下页 返回返回145.2.2 非齐线性方程组非齐线性方程组 )()(tfxtAx (5.14)Consider:上页上页 下页下页 返回返回15上页上页 下页下页 返回返回16常用方法之一常用方法之一常数变易法常数变易法 假设假设(5.14)有解形如有解形如这里，这里，c(t)是待定的向量函数是待定的向量函数)()()(tctt (5.24)将将(5.24)代入代入(5.14)得得 )()()()()()()()(tftcttAtcttct )()()(ttAt )()()(tftct

4、 可逆可逆又又)(t )()()(1tfttc ttdssfstc0)()()(1(5.26) ttdssfstt0)()()()(1 上页上页 下页下页 返回返回17由定理由定理7、8得，初值问题得，初值问题 )()14. 5()()(0txtfxtAx的解为的解为 ttdssfstttt0)()()()()()(101 (5.27)常数变易公式常数变易公式上页上页 下页下页 返回返回18解：解： ttteteet0)(由例由例1知，对应齐线性方程组的基解矩阵为知，对应齐线性方程组的基解矩阵为ssssseseesees 1010)(21上页上页 下页下页 返回返回19 tssttttttds

5、eseeteeeteetx001010110)(代入常数变易公式，得代入常数变易公式，得 tstttttdseeteeeet0200)1( 0)1(0)1(221tttttteeteeeet 0)()1(21tttteeeet tttteeete)(21上页上页 下页下页 返回返回205.2.3 向向n阶线性方程的推广阶线性方程的推广)1(321, nnxxxxxxxx令令考虑考虑 n阶非齐线性方程阶非齐线性方程 )()()()()(1)1(1)(HNtfxtaxtaxtaxnnnn 及其对应的及其对应的 n阶齐线性方程阶齐线性方程 )(0)()()(1)1(1)(HLxtaxtaxtaxnn

6、nn 则则(NH)及及(LH)分别等价于下列分别等价于下列 n 阶线性方程组：阶线性方程组： 上页上页 下页下页 返回返回21)()()()()(,121113221NHtfxtaxtaxtaxxxxxxxnnnnnn )()()()(,121113221LHxtaxtaxtaxxxxxxxnnnnnn 以及以及上页上页 下页下页 返回返回22 nxxxx21 )()()(000010)(11tatatatAnn )(00)(tftf n 21记记则方程组可记为则方程组可记为 )()()(NHtfxtAx )()(LHxtAx 以及以及上页上页 下页下页 返回返回23上页上页 下页下页 返回返

7、回24上页上页 下页下页 返回返回25上页上页 下页下页 返回返回26 ttniiidssfsWsWtt01)()()()()( (5.29) ttdssfssssststt0)()()()()()()()()()(21212112 (5.31)常数变易公式常数变易公式上页上页 下页下页 返回返回27解：解：有两个线性无关解：有两个线性无关解：易知，易知，0 xxttxttxsin)(,cos)(21 1cossinsincos)()(),(21 tttttWtxtxW由由(5.31)得得 tsdsststt0tan)sincoscos(sin)( |tansec|lncossintttt |tansec|lncos)(tttt 或或上页上页 下页下页 返回返回28习题习题5.2 EttttAttAtdttdtdtd)()()()()()()()()(01001101011则则)()()