初一几何难题练习题含答案

1、学习资料收集于网络，仅供学习和参考，如有侵权，请联系网站删除1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。例 1.已知：如图 1 所示，AABC中，/C = 90。AC= BC, AD = DB, AE = CF。求证：DE=DFAEC FB图1分析：由AABC是等腰直角三角形可知， /A =/B =45。由D是AB中点，可考虑 连结CD,易得CD = AD , /DCF

2、=45口。从而不难发现 ADCF三ADAE证明：连结CDAC = BC.A = B丫 NACB =90°, AD = DB，CD=BD = AD, /DCB=/B=/A丫 AE=CF, /A = NDCB, AD = CD. ADE三 CDF DE = DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中， 更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G,使DG = DE,连结BG,证AEFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例 2.已知：如图 2 所示

3、，AB = CD, AD=BC, AE = CF。求证：/ E=/ FEAD. ' / I %/ “ /B 7 cF图2证明：连结AC在AABC和ACDA中，丫 AB = CD , BC = AD, AC = CA.ABC 三. ：CDA (SSS)B =/D; AB = CD , AE = CF BE = DF在ABCE和ADAF中，BE = DF丫 2B =/D、BC = DABCE = QAF (SAS) E =/F说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：(1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量；(2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形

4、。2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、 三角形中位线定理证明。 证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90。，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3.如图3所示，设BP、CQ是AABC的内角平分线，AH、AK分别为A至U BP、CQ 的垂线。求证：KH / BCA/7QPK H.Jr1Pj-k" I 、/ J一、B M NC图3分析：由已知，BH平分/ ABC ,又BHXAH ,延长 AH交BC于N ,则BA = BN , AH =HN。同理，延长 AK交

5、BC于M ,则CA=CM , AK = KM。从而由三角形的中位线定理， 知 KH / BC。证明：延长AH交BC于N,延长 AK交BC于M BH 平分/ ABC:./ ABH = / NBH又 BH XAH:./ AH B= / N H B=90°BH = BHABH 三：NBH (ASA), BA = BN, AH =HN同理，CA = CM , AK = KM,KH是AAMN的中位线.KH / /MN即 KH/BC说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。 我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。例 4.

6、已知：如图 4 所示，AB = AC, /A = 90*, AE = BF, BD=DC。求证：FDXEDA/TxEF 2 3 /_1B DC图4证明一：连结AD丫 AB = AC, BD = DC二 / 1 + / 2 = 90口，/ DAE = / DAB丫 / BAC =90) BD = DCBD = AD:./ B = / DAB = / DAE在AADE和ABDF中，丫 AE = BF, / B = / DAE, AD = BD ADE 三. BDF.3-/1 32 =90FD_ED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示

7、，延长 ED到M ,使DM = ED,连结FE, FM , BMAFE/ I/BDC、I /x - zM图5BD = DC/BDM =/CDE, DM = DEBDM 三 CDE, CE = BM, CC =/CBM.BM /AC . A =90.ABM 9 00 AAa AB = AC, BF = AE,AF = CE = BM：AEF 三.汨FM,FE = FMDM = DEFD_ED说明：证明两直线垂直的方法如下：(1)首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证 二。(2)找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。(3)证明二直线的夹角等于 90&#

8、176;。3、证明一线段和的问题(一)在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。(截长法)例5.已知：如图6所示在AABC中，/B=60°, / BAC、/ BCA的角平分线 AD、CE 相交于O。求证：AC=AE + CD分析：在 AC 上截取 AF = AE。易知 &AEO 与 AAFO ,1 =/2。由 / B = 60" ,知 N5 + N6 = 60,，Z1 =60) /2+/3 = 120口。二/1 =N2 = N3 = N4 = 60"得:FOC 与 ADOC,FC = DC证明：在AC上截取AF = AE丫/BAD=

9、/CAD, AO = AO AEO 三 AFO SAS. 4 二/2又.B =60.5 . 6 = 60 1 = 60.2 . 3 = 120- Z1 =/2 =/3 =/4 = 60FOC = - DOC (AAS) FC = DC即 AC = AE CD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段， 证明 该线段等于较长线段。（补短法）例6.已知：如图7所示，正方形 ABCD中，F在DC上，E在BC上，/ EAF = 45*。求证：EF=BE+DF分析：此题若仿照例1,将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G,使 BG= DF。证明：延长CB至G

10、,使BG = DF在正方形 ABCD 中，/ABG=ND=901 AB = ADABG 三 ADF (SAS): AG = AF,21 二/3学习资料学习资料收集于网络，仅供学习和参考，如有侵权，请联系网站删除又.EAF =45.2 . 3 = 45.2 . 1 =45即 / GAE = / FAEGE = EF.EF = BE DF4、中考题：如图8所示，已知 AABC为等边三角形，延长 BC至ij D,延长BA至ij E,并且使AE = BD,连结 CE、DE。求证：EC = EDEA/ J F/ J / ABCD图8证明：作DF/AC交BE于F丫 AABC是正三角形二ABFD是正三角形又

11、 AE = BDAE =FD = BF.BA = AF = EF即 EF= ACAC/FDEAC = EFDEAC 三 DFE (SAS)EC = ED题型展示:证明几何不等式：例题：已知：如图9所示，21=/2, ABaAC。A小1 2IC B DE图9证明一：延长AC至ij E,使AE=AB ,连结DE在AADE和AADB中，; AE = AB, /2 =N1, AD = ADADE = ADB: BD = DE, NE =NB.DCE . BDCE E: DE >DC,二 BD > DC证明二：如图10所示，在AB上截取AF = AC,连结DFA /) 1 2 / J / F

12、 3 / 3 4B D C图10则易证 ADF三；：ADC: /3 =/4, DF = DC丁 BFD >/3, /4 >/BBFD BBD DFBD DC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。【实战模拟】1.已知：如图11所示，AABC中，/C =90*, D是AB上一点，DE，CD于D,交BC1 于 E,且有 AC = AD = CE。求证：DE =-CD2C/ / EL2AdB图112 .已知：如图12所示，在 &ABC中，/A = 2/B, CD是/C的平分线。求证：bc = ac + adBC图123 .已知：如图13所示，

13、过 MBC的顶点A,在/ A内任引一射线，过 B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP = MQ图131 ,4 . AABC 中，/BAC =90*, AD_LBC 于 D,求证：AD < ( AB + AC + BC ) 4【试题答案】1 .证明：取CD的中点F,连结AFC kv. 4 1F 3 EADBAC = AD AF_CD .AFC = . CDE = 90又21+N4=90) /1+/3 = 90口.4 u/3AC =CEACF 三.：CED (ASA)CF = ED1 DE = CD 22 .分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。E I AD< BC证明：延长CA至E,使CE=CB,连结ED在ACBD和ACED中，CB = CE.T/