二次函数与圆综合(压轴题例题巩固)

1、【例1】.如图，点M 4,0,以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A, B.已知抛物1 2y -x bx c过点A和B ,与y轴父于点C . 6 求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象.点Q 8, m在抛物线PQ PB最小值.1 2y 6xbx c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求CE是过点C的。M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式.【巩固】已知抛物线 y ax2 bx c与y轴的交点为 C,顶点为 M,直线CM的解析式y x 2并且线段CM的长为272(1)求抛物线的解析式。(2)设抛物线与x轴有两个交点 A (Xi , 0)、B (X2 , 0),且点A在B的左侧，求线段 AB

2、的长。(3)若以AB为直径作。N,请你判断直线 CM与。N的位置关系，并说明理由。【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点 C（0, 4）为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于 点A,AB是。C的切线.动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动， 点Q从O 点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动， 且动点P、Q从点A和点O同时出发， 设运动时间为t （秒）.当t 1时，得到P、Qi两点，求经过 A、P、Qi三点的抛物线解析式及对称轴 I;当t为何值时，直线 PQ与。C相切？并写出此时点 P和点Q的坐标；在的条件下，抛物线对称轴I上存在一点N ,使NP NQ最小，求出点 N的坐标并

3、说明理由.提示：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得Pi, Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线 的解析式.进而可求出对称轴 l的解析式.1（2）当直线PQ与圆C相切时，连接 CP, CQ则有RtACMPRtAQMC （ M为PG与圆的切点），因 此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP, OQ的长即PM , QM的长（切线长定理）.由 此可求出a的值.（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P的坐标，连接PQ,那么PQ上直线l的交点即为所求的 N点，可先求出直线 P Q的解析式，进而可求出 N点的坐标.【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点 。

4、，对称轴为y轴.一次函数y kx 1的图象与 二次函数的图象交于 A, B两点（A在B的左侧），且A点坐标为 4, 4 .平行于x轴的直线 l过0 , 1点.求一次函数与二次函数的解析式；判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；把二次函数的图象向右平移 2个单位，再向下平移t个单位t 0 ,二次函数的图象与 x 轴交于M, N两点，一次函数图象交 y轴于F点.当t为何值时，过F, M, N三点的圆的 面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1,。的半径为1,正方形ABCD顶点B坐标为5,0，顶点D在O。上运动. 当点D运动到与点 A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与。相切；

5、当直线CD与。相切时，求OD所在直线对应的函数关系式； 设点D的横坐标为x,正方形ABCD的面积为S ,求S与x之间的函数关系式， 并求出S 的最大值与最小值.【巩固】如图，已知点 A从1, 0出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O, A为顶点作菱形 OABC，使点B, C在第一象限内，且 AOC 60 ;以P 0, 3为圆心,PC为半径作圆.设点 A运动了 t秒，求：点C的坐标（用含t的代数式表示）； 当点A在运动过程中，所有使 e P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值.Ay【例4】已知：如图，抛物线y 1x2 23x m与x轴交于A, B两点，与y轴交于C点， 33AC

6、B 90 求m的值及抛物线顶点坐标；过A, B , C的三点的OM交y轴于另一点 D ,连结DM并延长交OM于点E ,过E点 的。M的切线分别交x轴、y轴于点F , G ,求直线FG的解析式； 在条件下，设 P为CBD上的动点（P不与C, D重合），连结PA交y轴于点H ,问是 否存在一个常数k ,始终满足 AH AP k ,如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请 说明理由.|y八G【巩固】如图，已知点 A的坐标是 1,0，点B的坐标是9, 0 ,以AB为直径作e O , 交y轴的负半轴于点 C ,连接AC、BC ,过A、B、C三点作抛物线.求抛物线的解析式；点E是AC延长线上一点，BCE的

7、平分线CD交e O于点D ,连结BD ,求直线BD的解析式；在的条件下，抛物线上是否存在点P,使得 PDB CBD ?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.，象限且 OAB为正三角 x轴于点D .ABCD的周长.试探究:课后作业: 1.如图，直角坐标系中，已知两点 O 0, 0 , A 2, 0 ,点B在第一 形， OAB的外接圆交y轴的正半轴于点 C,过点C的圆的切线交 求B , C两点的坐标； 求直线CD的函数解析式；设E , F分别是线段AB , AD上的两个动点，且 EF平分四边形 AEF的最大面积？参考答案例1解：(1)由已知，得A C2, 0) , B (6, 0)/

8、抛物线/+乐+ G过点当则612广一父2工+23+白=046解得?一 。二万8十6&十e=0e = 2.则抛犍装的解析式为；上在+263故 C (0, 2);(2)如，抛物线对称轴I是；x=4 Q - C CS= 0） i（3）.Y（Q，6），7（？，目） Q （S* 0） .二用物城篦析式为！此时对称轴L：工口，点F关于宜线1的对称点为F fO, E） , 则直状PF的解析式为！ ？”+，当工=1.时，y=-l+8=7 .因此忙点的坐标为111 7： .【巩固】把虫一小代人】3，一次图数的解析式为=-：* + 1；4国数图象的顶点在原点对称轴为rm 二设:欠图数解析式为V =仪m才Ej4（-

9、44H弋入了二 fix24函蟠析式为F二* 4解得，过48点分别作直线/的垂线垂足为RM15贝以=4 + 1 =1 =-.44.亘角梯形的中位线长为上1 = 28过B作8 H垂直于直线AW于点H,贝l8H = a!h = 54 = 4 一:二 4443 =.A8的长等于AB中点到直线/的距离的2倍, 以A3为直径的圆与直缜相切.平移后二函数解析式为y，工一 2产令尸=0,领了-2产一 r二口的二 2 ZM2 = 2 + 2V7.过FMN三点的园的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上点C为定点出要使圆面积最小r国半径应等于点厂到直缢=2的距离r此时半径为*面枳为4%设国心为CMN中点为瓦连CECM则

10、CE= L在二角形CTM中,ME= 72 = 5.A/N = 2：3而MN - |处Jti| = 4、3,1 =43_当二二时过FrMN二点圉圆面枳最小最小面积为4孔例3解：（1）四边形人设。为正方形;ADCD r小、5 D在同。直送上, 。口090二直线8与WQ唱切.（2 ）直送CD与oO相切分两种情况：如图1,设Di点在第二象限时，过A作打遂11 x轴于京区，设此时的正方形的边长为a ,则0 1）2 十- = 5?,解得a=4或a=-3 （舍去），由及A8CM - ZAZ）Q】，得三二旭二出，OA BA 0B343 4.。4=亍马耳=弓，4（一3?，4故百线0D的函数关系式为）=一工； 如

11、图2 ,设3在第四象限.辽2作3与轴于点当， 设此时的正方形的边长为b ,则0+1丫十产=5?,解得b=3或b=-4（舍去），由及，此皿殂，潺垩=2& =也，OA BA 0B43.OE2=-fD2E2 = j3故直送0D的函数解析式为丁 = -x(3)设口包孔)，则此二士W-r.由B ( 5,0 )，得口B = 1(5-4 +(1_1) = 26-101 r1口 1j.S=士步二 (26-10力= 13-5了 22，谶制=13+5 = 18, 昌小也=13-5=般【巩固】脾：（1）过1：作二口，描于）.vOA=l+t jj.OC = 1+t.二点c的频为fl1,:, (?P =0Ccas6Q,

12、 = , DC=.OCsin 60： =(”,（2）当。0与OC相切时（如囤1）,切点为C ,此时PC，。，r, OC = OP cos 3 0 r当。P与OA ,即与xifi相切时（B图2 ）,则切忌为。 POOP ,.、，Iki过P作PE_lOC于E ,则OEOJ广7byo 22q a，=3 君-1；国 2当。P与A斯在直线相切时（如图3 ）则 PFj_OC ,JFG-CD 三召”）r：PC 口尸&出押+屿j） r ?过C作CH,而于H r则尸叱=J 修川彗叼书/ 化商,得底41y - i8Aa+i）+27=o 癣得什1=975士仪同，,设切点为F , PF交。匚于G3C;, 再飞=9y3

13、 -1. rt 94 + 6 5/6 :所求的值是久1 ra v 图30 r1 .-1 351和9超+6加-1 *? XC1）日总宜前过力,国此（:点的受与为COrm： .OC = -mr眩目随AC阱，由于心ClAB ,周密罐卷可殍二0c2=04口白,USOA-Oftpj1-次方程用于审蚂关盂W d三此可用M关于讲财程 求He的 ,即耳踞式,恨抵二立屈嫩IS*即可骷其掘牲后.（2） 3700 MCD=,ORU%忙口士工句值相司,3J吉梢地匕埠寻，瓦品皿I注 及期旗T二U h H .国心C FG翌此可用二百法F$三敌m C的案辜拒日二畛侬良、球生和辛口巨氏BCR隹第M 轼展世2误二二生 丸且会於

14、1E点的堂看一 B： E. DC，* . C点9号但窗昱E点明好 ,通角三角辆W中.可版国，匚的氏来T匚E/土 ,也就话？=F三月皇后,陶百班E点的矍击即可定出直辨翎岬式.打左任冲 门 4|五运秆三U -用弓乐”上.盟卜.，乩,二明任嫉凝即工龌：（1）自抛物我可知,点C的坐后为（0 . m ）,且m =12 .悟设存在常数k ,满足AH+AP二k置tCP日垂役定理可知，.zP=zACH蹴.用上P=zABC=以匚口 ) r又上C AH二/PAC.-ACH-APC(AC _ AP丽.而,即匚2=AHAP,在RtWJC中,AC2=AO2+OC2=(行)2+ 2=12 ,j AH-AP=k=121*【

15、巩固】好：(1 ”.以A晒直径作0 r交V轴的负半轴于京JvOCB = 901X,OCB+zOBC=90s r;.zOCA=zOBC rX*.vA0C=/COB=900 f.-.AAOC- ACOB ,OA _0C友=丽，又;A (1,0).M 9,0 ),ac g解得oom(负值舍去)，.C (t) r -3 ) r端抛物析式为y” f a1) (x-9) f ,-3“0+l) (0-9),解得m=L 3，二函数的解析式为y) (x-9 ),即y=；N-1x-m ;(2).08为0的直径，且庆(-1,0) r B (9 r 0) fj.ocr=4,cr(4,o),二,点E是AC延长线上一点，

16、/BCE的平分线CD交。0于点D,1-2/BCE= L90。二4512连结OD交BC于点M ,贝IkBOD=2/BCD=2x45=90 , 00 = 4 , O,D=；AB=5 f ，D(4-5) r设直找BD的辞折式为y=kx+b ( 0 ) ,93=0,一”=_5.唠),直爱BD的斛折式为y=x-9 ;(3 )假设在抛物线上存在点P ,使得nPDB=nCBD ,设射爱DP交00于点Q ,则苑r分两种情况(如答案图1所示)：0(4,0) ,D(4,5) ,B(9,0) ,C(0,3),把点C、D绕点0逆时针旋转90、便点D与点B重合，则点C与点Qi重合， 因此，京Qi (7,-4)符合圆&

17、,.D(4,-5) ,Qi(7,-4),二用待定系数法可求出直送DQi蟀析式为y=b-吧， 3 3,点P1坐标为(9十闻,一29一衣1), 26坐标为(巴亚，“9 5)不行合题意,舍去, 26, -Ql ( 7 , -4 ) r，点Ql关于海对称的点的坐际为Qa (7 r4)也符合留=醴rvDf4r -5) &Q4) r，用待定条甥去可求出直送DQ2鲜忻式为片央17 ,解方程珥y=3z-17, i 3 a J33.点P?坐标为(14,25 ) r叱标七11 七：77在三乏点 至舌：，存合条件的总P有两个:Pi (9 + 41 -29 + E f P2(14,25),作业售：(1)ZQ)二Q4三2作 EG_LQ4 于G西为为正三隹形G = L 8G= 73，现L收)逢月C ,720。9。 ZJOT= ZA?O =0二 C =