第1章-函数和极限ppt课件

1、 1.1 函数函数 1.2 极限极限 1.3 极限运算法则极限运算法则 1.4 极限存在准则、两个重要极限极限存在准则、两个重要极限 1.5 无穷小与无穷大、无穷小的比较无穷小与无穷大、无穷小的比较 1.6 函数的连续性函数的连续性 1.7 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1.1 函数一、集合一、集合1. 集合的基本概念与运算集合的基本概念与运算集合简称为集是数学的一个基本概念集合简称为集是数学的一个基本概念.集合通常理解为具有某种性质的事物的全体集合通常理解为具有某种性质的事物的全体. 集合中的每一个事物称为该集合的元素集合中的每一个事物称为该集合的元素. 某事物a与集合E具有下

2、列两种关系之一:(1) a是E的元素，记作aE; (2) a不是E的元素，记作aE. 由有限个元素组成的集合，可将它的元素一一列举出来. 这种表示法称为枚举法. 例如： 由元素a1，a2，an组成的集合A，记作 A = a1，a2，an. 性质描述法表示性质描述法表示:设设E是具有性质是具有性质P的元素的元素x的全体所组成的集的全体所组成的集合，就记作合，就记作 E = x | x具有性质具有性质P 或或 E = x | P(x). 通常，以通常，以Z、Q、R和和 C分别表示整数集、有理数集、实分别表示整数集、有理数集、实数集和复数集数集和复数集. 如果集合如果集合A的元素都是集合的元素都是集

3、合B的元素，即若的元素，即若x A，则必有则必有x B，就称，就称A是是B的子集，记作的子集，记作AB或或BA. 如果如果AB与与AB同时成立，则称同时成立，则称A与与B相等，记作相等，记作A=B. 例如，设有集合例如，设有集合A = -1，-2， B = x | x2+3x+2= 0，则，则A = B. 若若AB且且A B，则称，则称A是是B的真子集，记作的真子集，记作AB. 例如例如QR.不含任何元素的集合称为空集，记作不含任何元素的集合称为空集，记作. 如集合如集合 x | x R， x2 +1 = 0= .规定空集是任何集规定空集是任何集A的子集的子集, 即即 A.集合的基本运算有并、

4、交、差：集合的基本运算有并、交、差： 设设A和和B是两个集合是两个集合,由由A和和B的所有元素构成的集合的所有元素构成的集合,称为称为A与与B的并的并,记为记为AB,即即AB=x | xA 或或xB . 由由A和和B的所有公共元素构成的集合的所有公共元素构成的集合,称为称为A与与B的交的交,记为记为AB,即即AB=x | xA 且且xB . 由属于由属于A而不属于而不属于B的所有元素构成的集合的所有元素构成的集合,称为称为A与与B的差的差,记为记为AB,即即AB=x | xA 且且xB . 如果在某个过程中，我们所研究的对象同属于某一个如果在某个过程中，我们所研究的对象同属于某一个集合集合S,

5、 那么这个集合称为全集或基础集那么这个集合称为全集或基础集. 本书在一般情况下本书在一般情况下用实数集用实数集R当全集当全集. 一般地一般地, 设设A是全集是全集S的子集的子集,那么那么S中不属于中不属于A的元素全的元素全体组成的集合称为体组成的集合称为A的余集的余集,记为记为 ,即即 =S A.例如例如, 对于全集对于全集R, 子集子集A =x | 0 x 1的余集就是的余集就是 =RA =x | x 0或或x 1.AAA2. 邻域、开集、闭集、区间邻域、开集、闭集、区间 对于实数对于实数a及正数及正数 ，数集，数集x | |x - a| 称为称为a的的 (以点以点a为中心、以为中心、以 为

6、半径的为半径的) 邻域邻域,记作记作U(a; ) , 即即U(a; )= x | |x - a| . 如图如图1-1-1所示所示. 图1-1-1 数集数集x | 0 |x - a| 称为点称为点a的去心的去心 邻域，记邻域，记为为 (a; ). 当不强调当不强调 的大小时，的大小时，a的的 邻域和邻域和 去心去心邻域分别简称为邻域分别简称为a的邻域和去心邻域，并分别记作的邻域和去心邻域，并分别记作U(a) 和和 (a).UU 设设a与与b是两个不同的实数，且是两个不同的实数，且a b. 数集数集 x | a x b称为开区间，记作称为开区间，记作(a, b)，即，即(a, b) = x | a

7、 x b，其中其中a与与b称为开区间称为开区间(a, b)的端点的端点. 因而因而, 邻域是一个以邻域是一个以a为中心的开区间为中心的开区间, 即即U(a; ) = (a- , a+ ). 数集数集 x | a x b称为闭区间，记作称为闭区间，记作a, b， 即即a, b = x | a x b，其中，其中a与与b称为闭区间称为闭区间a, b的的端点端点. 数集数集a, b = x | a x b和和 a, b = x | a a , -, b ) = x | x b, -, + ) = x |- x + = R. a, + = x | x a，-, b = x | x b .这些区间在数轴

8、上表示如图这些区间在数轴上表示如图1-1-2.图1-1-2 对(a, b), -, b ), (a, +)和-, + )这四类区间做进一步的分析发现, 它们中的任何一点x0都至少存在一个邻域U(x0)使得U(x0)整个被包含于x0所在的区间. 一般地,设E是R的一个子集,若对任意x0E都存在U(x0)E,则称E是一个开集. 因而, 这四种区间都是开集,特别, 开区间和邻域U(a)都是开集. 设F是R的一个子集,若存在开集E使得F=RE, 则称F是一个闭集. 这就是说，闭集是开集的余集；反之，开集也是闭集的余集.于是，闭区间a, b, -, b 和 a, + 都是闭集. 二、函数的基本概念二、函

9、数的基本概念 1. 函数的定义函数的定义 在生产、生活或科学技术领域中，我们会遇到两在生产、生活或科学技术领域中，我们会遇到两种类型的量：一种是在一定条件下保持不变的量，称种类型的量：一种是在一定条件下保持不变的量，称为常量，如每天的时间总量为常量，如每天的时间总量T都是都是24小时，地面上重小时，地面上重力加速度力加速度g = 9.8m/s2，T和和g是常量；另一种是在一定是常量；另一种是在一定过程中变化着的量，称为变量，如运动的路程及花费过程中变化着的量，称为变量，如运动的路程及花费的时间，一天之中的气温等的时间，一天之中的气温等. 例例1 正方形的面积正方形的面积S与它的边长与它的边长a

10、之间的关系可用之间的关系可用S = a2来来表示，即对任意的表示，即对任意的a0，面积，面积S相应地有一个确定相应地有一个确定的值的值. 例例2 一个物体作匀加速直线运动，出发后经过一个物体作匀加速直线运动，出发后经过t秒时所走秒时所走过的路程过的路程s可按如下公式确定：可按如下公式确定： s = a t2， t 0，T (其中其中a是加速度，是加速度，T是最大运是最大运动时间动时间).21例例3 漳州是水仙花的故乡漳州是水仙花的故乡. 漳州市郊区农民近六年生产花漳州市郊区农民近六年生产花卉出口创汇日益增加卉出口创汇日益增加. 某村各年出口创汇的数量如下表所某村各年出口创汇的数量如下表所示示:

11、年度201920192019201920192019创汇金额（万元）20102240380590880 以上三个例子都反映了两个变量之间的联系，当其中以上三个例子都反映了两个变量之间的联系，当其中一个变量在某个数集内取值时，另一个变量在另一数集内一个变量在某个数集内取值时，另一个变量在另一数集内有唯一的值与之对应有唯一的值与之对应. 两个变量之间的这种对应关系反映两个变量之间的这种对应关系反映了函数概念的实质了函数概念的实质. 定义定义 设设D是实数集是实数集R的一个非空子集，若对的一个非空子集，若对D中的每一个中的每一个x，按照对应法则按照对应法则f ，实数集，实数集R中有唯一的数中有唯一的

12、数y与之相对应，我与之相对应，我们称们称f为从为从D到到R的一个函数，记作的一个函数，记作 f : D R y与与x之间的对应关系记作之间的对应关系记作y = f (x)，并称，并称y为为x的函数值；的函数值；D称为函数的定义域，数集称为函数的值域称为函数的定义域，数集称为函数的值域. 若把若把x，y看成看成变量，则变量，则x称为自变量，称为自变量，y称为因变量称为因变量. 当值域当值域f (D)仅由一个实数仅由一个实数C组成的集合时组成的集合时, f (x)称为常值称为常值函数函数. 这时这时, f (x)C, 也就是说也就是说,我们把常量看成特殊的因变我们把常量看成特殊的因变量量. 说明：

13、说明：(1) 为了使用方便并考虑传统的表示习惯，我们常用为了使用方便并考虑传统的表示习惯，我们常用“y = f (x)”表示函数，并称表示函数，并称“f (x)是是x的函数的函数(值值)”. 当强调定义域时当强调定义域时, 也常记作也常记作 y = f (x), x D.(2) 函数函数y = f (x)中表示对应关系的符号中表示对应关系的符号f也可改用其也可改用其它字母，如它字母，如“j”，“F等等等等. 这时函数就记为这时函数就记为y = j (x)，y = F (x)，等等，等等. (3) 用用y = f (x)表示一个函数时，表示一个函数时，f所代表的对应法则所代表的对应法则已完全确定

14、，对应于点已完全确定，对应于点x = x0的函数值记为的函数值记为f (x0)或或y|x=x0 .例如，设y = f (x) = ，它在点 的函数值分别为24x2, 0 xx0)2(4|, 204)0(|2220 xxyfy(4) 从函数的定义知，定义域和对应法则是函数的两个从函数的定义知，定义域和对应法则是函数的两个基本要素，两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应基本要素，两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应法则都相同法则都相同. (5) 在实际问题中，函数的定义域可根据变量的实际意在实际问题中，函数的定义域可根据变量的实际意义来确定；但在解题中，对于用表达式表示的函数，其义来确定；但在解

15、题中，对于用表达式表示的函数，其省略未表出的定义域通常指的是省略未表出的定义域通常指的是:使该表达式有意义的自使该表达式有意义的自变量取值范围变量取值范围. 例例4 求函数求函数 的定义域的定义域. 1021log1yxx 112Dxx解解: 要使函数式子有意义，要使函数式子有意义，x必须满足必须满足 ，于是，于是，所求函数的定义域为所求函数的定义域为 01012xx2. 函数的表示法函数的表示法 (1) 解析法解析法当函数的对应法则用数学式子表出时，这种表示函数的方当函数的对应法则用数学式子表出时，这种表示函数的方法称为解析法法称为解析法. 如如都是解析法表示的函数，这是我们今后表达函数的主

16、要形都是解析法表示的函数，这是我们今后表达函数的主要形式式. . 1|,11; 1, 3222xxyxxxy例例5 设设x为任一实数为任一实数. 不超过不超过x的最大整数称为的最大整数称为x的整数部的整数部分，记为分，记为y = x， 那么那么 . 这个函数称为取整函数这个函数称为取整函数. 56 . 4, 22, 3, 13, 043 一个函数也可以在其定义域的不同部分用不同的解一个函数也可以在其定义域的不同部分用不同的解析式表示，如析式表示，如:例例6 例例7 绝对值函数绝对值函数 . ).0 ,(,1, 0,21), 0(,2xxxxxy0,0,|xxxxxy例例8 . 易知，对于任何实

17、数易知，对于任何实数x，都有，都有x = (sgn x)| x |成立成立. 这个函这个函数称为符号函数数称为符号函数. 像例像例6、7、8这种形式的函数，称为分段函数这种形式的函数，称为分段函数. 0, 10, 00, 1sgnxxxxy(2) 列表法列表法 若函数若函数y = f (x)采用含有自变量采用含有自变量x的值与函数的值与函数f (x)对对应值的表格来表示，则称这种表示函数的方法为列表法应值的表格来表示，则称这种表示函数的方法为列表法. 如上述例如上述例3及通常所用的三角函数表、对数表等等，都及通常所用的三角函数表、对数表等等，都是用列表法表达函数的例子是用列表法表达函数的例子.

18、 (3) 图像法图像法 设函数设函数y = f (x)的定义域为的定义域为D. 那么，对于任意取定那么，对于任意取定的的x D，其对应的函数值为，其对应的函数值为y = f (x). 这样，以这样，以x为横坐为横坐标、标、y为纵坐标为纵坐标, 就在就在xOy平面上确定一点平面上确定一点(x, y). 当当x遍取遍取D上的每一个数值时，就得到平面点集上的每一个数值时，就得到平面点集C =( x, y)| y = f (x)，x D，称其为函数称其为函数y = f (x)的图像的图像. 采用图像给出函数的方法称采用图像给出函数的方法称为图像法为图像法. 图图1-1-3、图、图1-1-4与图与图1-

19、1-5就是用图像法分别就是用图像法分别表示的取整函数、绝对值函数和符号函数表示的取整函数、绝对值函数和符号函数. 图1-1-3图1-1-4 图1-1-5 三、函数的基本性质三、函数的基本性质 1. 函数的有界性函数的有界性 定义定义 设函数设函数y = f (x)在某一实数集在某一实数集D1上有定义即上有定义即D1是是f (x)的定义域的定义域D的子集），若存在常数的子集），若存在常数M或或m使得不等式使得不等式f (x) M (或或f (x) m)对所有对所有x D1都成立，则称函数都成立，则称函数y = f (x)在在D1有上界或有有上界或有下界），同时称下界），同时称M为为f (x)在在

20、D1的一个上界或的一个上界或m为为f (x)在在D1的一个下界）的一个下界）. 若若f (x)在在D1既有上界又有下界，则称既有上界又有下界，则称 f (x)在在D1有界，或有界，或f (x)在在D1是有界函数，否则，则称函数是有界函数，否则，则称函数f (x)在在D1上无界，或称在上无界，或称在D1上函数上函数f (x)是无界函数是无界函数. 2. 函数的单调性函数的单调性 定义定义 设函数设函数y = f (x)在某一实数集在某一实数集D上有定义上有定义. 若对于任意的若对于任意的x1，x2 D，当，当x1 x2时恒有时恒有(1) f (x1) f (x2)， 则称则称f (x)在在D上单

21、调减少上单调减少. 单调增加与单调减少的函数统称为单调函数单调增加与单调减少的函数统称为单调函数. 注：把注：把(1)中的条件改为中的条件改为f (x1) f (x2), 则称则称f (x)在在D上不减上不减; 把把(2)中的条件改为中的条件改为f (x1) f (x2)成立时，则称成立时，则称f (x)在在D上不上不增增. 不增与不减的函数统称为广义单调函数不增与不减的函数统称为广义单调函数. 3. 函数的奇偶性函数的奇偶性 定义定义 设实数集满足：设实数集满足：x D当且仅当当且仅当-x D，则称，则称D是一是一个对称集个对称集.设函数设函数y = f (x)的定义域是一个对称集且满足的定

22、义域是一个对称集且满足f (-x) = f (x)，x D，则称函数则称函数f (x)是偶函数；若且满足是偶函数；若且满足f (-x) = - f (x)， 则称函数则称函数f (x)是奇函数是奇函数. 偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称点对称.4. 函数的周期性函数的周期性 定义定义 设函数设函数y = f (x)的定义域为集的定义域为集D. 若存在一个非零的数若存在一个非零的数T，使得对于任意，使得对于任意x D，有，有xTD且且f (xT) = f (x),则称则称f (x)为周期函数，同时称为周期函数，同时称T为为f (

23、x)的周期的周期. 显然，若显然，若T为为f (x)的一个周期，则的一个周期，则2T，3T，4T，也也都是它的周期，故周期函数有无限多个周期都是它的周期，故周期函数有无限多个周期. 若在周期函数若在周期函数f (x)的所有正周期中有一个最小者，则称这个最小者为函的所有正周期中有一个最小者，则称这个最小者为函数数f (x)的最小正周期的最小正周期. 通常所说的周期就是指最小正周期通常所说的周期就是指最小正周期. 四、反函数四、反函数 定义定义 设已知函数设已知函数y = f (x)，x D 的值域为的值域为f (D). 若对于若对于f (D)中每一个值中每一个值y，D中有唯一确定的值中有唯一确定

24、的值x使得使得f (x) = y，就在，就在f (D)上定义了一个函数，称其为函数上定义了一个函数，称其为函数y = f (x)的反函数，记为的反函数，记为x = f -1(y)， y f (D). y = f (x)与与x = f -1(y)互为反函数互为反函数. 习惯上把自变量记为习惯上把自变量记为x，因变量记为因变量记为y， 所以反函数所以反函数x = f -1(y)也可写作也可写作y = f -1(x). 相相对于反函数对于反函数y = f -1(x)而言，原来的函数而言，原来的函数y = f (x)称为直接函称为直接函数数. 容易看出，在同一坐标平面上，反函数容易看出，在同一坐标平面

25、上，反函数 y = f -1(x)与直与直接函数接函数y = f (x)的图像关于直线的图像关于直线y = x对称对称. 如图如图1-1-8. 图1-1-8定理定理 单调函数必有反函数单调函数必有反函数. 单调增加的函数的反函数必单调增加的函数的反函数必单调增加，单调减少的函数的反函数必单调减少单调增加，单调减少的函数的反函数必单调减少. 例例9 函数函数y = x2 在在0，+上是单调增加的，它的反上是单调增加的，它的反函数函数 y =在其定义域在其定义域 0，+上也是单调增加的函数上也是单调增加的函数. 五、复合函数五、复合函数 例例10 某汽车行驶某汽车行驶10小时，每公里耗油量为小时，

26、每公里耗油量为0. 2公升，行驶速公升，行驶速度为每小时度为每小时60公里公里. 于是汽车在行驶过程中，耗油量于是汽车在行驶过程中，耗油量y是行驶是行驶距离距离s的函数的函数 y = f (s) = 0. 2 s， s 0，+，而行驶距离而行驶距离s又是行驶时间又是行驶时间t的函数的函数 s = g(t) = 60t， t 0，10. 因而，汽车的耗油量因而，汽车的耗油量y，通过中间变量，通过中间变量s与时间与时间t建立了函数关建立了函数关系系 y = 0. 2s = 0. 2 60t = 12t， t 0，10，在这个例子中，在这个例子中，y与与t的对应关系是由两个函数的对应关系是由两个函数

27、y = f (s)与与s = g(t)复合而成的复合而成的. 定义定义 已知两个函数已知两个函数y = f (u)， u E; u = g(x)， x D. 设设D1 = x | g(x)E，xD 是非空集，那么通过下式是非空集，那么通过下式y = f (g(x)， x D1. 确定的函数，称为是由函数确定的函数，称为是由函数u = g(x)与与y = f (u)构成的复构成的复合函数，它的定义域为集合函数，它的定义域为集D1，变量，变量u称为中间变量称为中间变量. u = g(x)与与y = f (u)构成的复合函数也常记做构成的复合函数也常记做f g，即即 y = (f g)(x) = f

28、 (g(x)， x D1.例例11 设函数设函数 ，而，而 u= 1- x2， x D = ( ) . 求复合函数求复合函数. 解解 设设f (u) = ，g(x) =1- x2. 那么那么 D1 = x | g(x)E，xD = x | 1- x20，x( ) = -1，1.因此得到的复合函数为因此得到的复合函数为 ，x -1，1. 21xyu), 0,Euuy六、初等函数六、初等函数1. 基本初等函数基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等反三角函数等. 着重介绍幂函数着重介绍幂函数. 函数函数 y =

29、 xm (其中其中m是常数是常数) 叫做幂函数叫做幂函数. 幂函数幂函数y = xm 的定义域根据的定义域根据m的取值而定的取值而定. 例如例如:当当m = 3时，时， y = x3的定义域是的定义域是(-，+); 当当m = 时，时， 的定义的定义域是域是0，+); 当当m = - 时，时， 的定义域是的定义域是 (0，+). 但无论但无论 m 取什么值，幂函数在取什么值，幂函数在(0，+)内总有定义内总有定义.21xxy2121xxy1212. 初等函数初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所得到的且可用一个式子表示的函数，称为

30、初等函数得到的且可用一个式子表示的函数，称为初等函数. 如：如：sin121xyx21,yx32arccos,1xyxx七、常用的经济函数七、常用的经济函数1. 需求函数需求函数 在经济学中在经济学中,某一商品的需求量是指关于一定的价格水某一商品的需求量是指关于一定的价格水平平,在一定的时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商在一定的时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商品量品量.通常用通常用Q表示商品的需求量表示商品的需求量, P表示它的价格表示它的价格, 在一定在一定条件下条件下, Q可视为可视为P的函数的函数, 记作记作Q = f (P)或或Q = Q (P), 并称并称之为需求函数之为需

31、求函数. 根据市场的统计数据构建数学模型时，常采用如下根据市场的统计数据构建数学模型时，常采用如下四种类型的函数四种类型的函数: 线性函数线性函数:Q = -aP+b, a0, b0; 幂函数幂函数: Q=kP-a , k 0, a0;指数函数指数函数:Q = ae-bP, a0, b0; 二次函数二次函数: Q = P(a bP), a0, b0.2. 供给函数供给函数 供给是与需求相对的概念，需求是就购买者而言，供供给是与需求相对的概念，需求是就购买者而言，供给是就生产者而言的给是就生产者而言的.供给量是指生产者在某一时刻内，在供给量是指生产者在某一时刻内，在各种可能的价格水平上，对某种商

32、品愿意并能够出售的商各种可能的价格水平上，对某种商品愿意并能够出售的商品数量品数量. 供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一定时供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一定时间范围内除价格而外的其他因素变化很小，则供给量间范围内除价格而外的其他因素变化很小，则供给量Q就就是价格的函数，称为供给函数是价格的函数，称为供给函数. 记作记作Q=Q(P)或或Q = f (P). 根据市场的统计数据构建数学模型时,常采用如下三种类型的函数: 线性函数:Q = aP-b, a0, b0; 幂函数: Q = kPa , k 0, a0;指数函数:Q = a ebP, a0, b0. 3. 成本函数成本函数

33、某产品的总成本某产品的总成本C是指一定数量的产品所需的全部资源是指一定数量的产品所需的全部资源投入的价格或费用的总额，它由固定成本投入的价格或费用的总额，它由固定成本C1和可变成本和可变成本C2组成组成. 其中其中C1为常数，为常数，C2即为产量即为产量Q的函数，常表示成的函数，常表示成C2 = C2(Q). 同时用同时用C = C(Q)表示总成本函数，于是，总成本函表示总成本函数，于是，总成本函数数 C = C(Q)= C1+ C2(Q). 经常还要研究由总成本函数派生的函数，如平均成本函数经常还要研究由总成本函数派生的函数，如平均成本函数 (Q): C12( )( )( )CC QC QC

34、 QQQQ4. 收益函数收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，因此总收益因此总收益R是出售量是出售量Q的函数，称为收益函数，记作的函数，称为收益函数，记作R=R(Q). 例如，当某产品的价格为例如，当某产品的价格为P，销售量为，销售量为Q时，则销时，则销售该产品的总收益为售该产品的总收益为R=PQ.5. 利润函数利润函数 利润利润L是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，若是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，若收益函数收益函数R=R(Q)，总成本函数，总成本函数C(Q)都是产量或出售量都是产量或出售量Q的的函数，则利润函数

35、，则利润L也是也是Q的函数，称之为利润函数的函数，称之为利润函数. 那么，那么， L(Q) = R(Q) -C(Q). 1.2 极限极限一、数列及数列的极限一、数列及数列的极限1. 数列极限的定义数列极限的定义数列是按次序排列的一列数数列是按次序排列的一列数 x1， x2，xn ，简记作简记作xn. 准确地说准确地说, 数列是定义在正整数集数列是定义在正整数集N上的函数上的函数 xn = f (n) ， n N,其中每一个其中每一个n表示项数表示项数, xn表示第表示第n项项; 因为项数因为项数n是一个变是一个变量量, 故故xn常称为数列的通项或一般项常称为数列的通项或一般项. 例例2 研究数

36、列研究数列 1，-1，1，-1， 的变化趋势的变化趋势.解解 该数列的通项为该数列的通项为xn = (-1)n+1. 当当n无限增大时，无限增大时， xn总在总在1和和 -1两个数值上跳跃，永远不会趋近于一个固定的数两个数值上跳跃，永远不会趋近于一个固定的数. 例例1 研究数列研究数列 的变化趋势的变化趋势. 解解 该数列的通项为该数列的通项为 . 当当n无限增大时，无限增大时，2n也无限增也无限增大，其倒数大，其倒数 会随之越变越小，无限地趋近于会随之越变越小，无限地趋近于0. ,21,81,41,21, 1nnnx21n21例例3 研究数列研究数列 的变化趋势的变化趋势. 解解 该数列的通

37、项为该数列的通项为 . 当当n无限增大时，数列的通项无限增大时，数列的通项xn将大于任意给定的正数将大于任意给定的正数. ,4, 3,2, 1nnxn 上述三个数列，当上述三个数列，当n无限增大时的变化趋势各不相同，无限增大时的变化趋势各不相同，可归纳为两种情形可归纳为两种情形. 第一种情形第一种情形: 数列数列xn随着随着n的无限增大而无限趋于某的无限增大而无限趋于某一个固定的常数一个固定的常数a；这时称；这时称xn为收敛数列，常数为收敛数列，常数a为该数为该数列的极限；列的极限；第二种情形第二种情形: 数列数列xn随着随着n的无限增大而不趋于任何确定的无限增大而不趋于任何确定的常数的常数.

38、 这时称这时称xn为不收敛为不收敛. 定义定义1 设设xn是一个数列是一个数列, a是一个常数是一个常数. 如果对任给的如果对任给的 0，总存在一个正整数，总存在一个正整数N，使得当，使得当n N时总有时总有| xn- a| N时总有时总有因而因而 . 12nx11lim22nnn 112Nnnnxn21212121n2121n111222nnxn11lim22nnn 2. 收敛数列的性质收敛数列的性质定理定理1 (唯一性唯一性) 若数列若数列xn收敛，则它只有一个极限收敛，则它只有一个极限. 对于数列对于数列xn，如果存在一个正数，使对一切，如果存在一个正数，使对一切nN，都有都有| xn

39、| M，就称，就称xn为有界数列，否则就称为有界数列，否则就称xn为无为无界数列界数列.定理定理2 (有界性有界性) 若数列若数列xn收敛，则它必为有界数列收敛，则它必为有界数列. 定理定理3 (保号性保号性) 假设假设 (或或aN时，都有时，都有xn 0 (或或xn 0，作平行于x轴的两条直线y =A- 与y =A+ ，总可找到点x0的一个 邻域，使得当 且 时，对应的函数值满足: A- f (x) X时，时，f (x)都满足不等式都满足不等式 ，则称当则称当x时，时，f (x)有极限收敛且有极限收敛且A为为f (x)的极限，的极限，记作记作 或或 . 如果满足上述条件的常数不存在，则称当如

40、果满足上述条件的常数不存在，则称当x时，时，f (x)的极限不存在不收敛）的极限不存在不收敛）. Axf Axfxlim xAxf例例7 证明证明 . 证证 对于任给对于任给 ，由于，由于只要取只要取 ，于是对于适合，于是对于适合|x|X的所有的所有x，不等式，不等式 成立成立. 所以所以 . 1lim0 xx0110 xx1X10 x1lim0 xx单侧极限单侧极限 定义定义4 设函数设函数f (x)在点在点x0的左侧有定义的左侧有定义,而而A是常数是常数. 如果如果对任给的正数对任给的正数 ，总有某一正数，总有某一正数 ，使得当，使得当时，时，f (x)都满足不等式都满足不等式 成立，成立

41、，则称当则称当x趋于趋于x0时，时，f (x)有左极限且有左极限且A为为f (x)的左极限，的左极限，记作记作 , f (x) Axx0-）或或 . fxA 0limxxf xA00fxA00 xxx类似可给出类似可给出 当当x趋于趋于x0时，时，A为为f (x)的右极限的定义，的右极限的定义，记作记作 , f (x) Axx0+）或或 . 0limxxf xA00fxA定理定理4 当当xx0时，函数时，函数f (x)极限存在的充要条件是当极限存在的充要条件是当xx0时，函数时，函数f (x)的左、右极限都存在且相等，即的左、右极限都存在且相等，即这里这里A是一个确定的数是一个确定的数. 00

42、0limlimlimxxxxxxf xAf xf xA例例8 设函数设函数 ，求，求 和和 . 00, 1,xxxxf xfx0lim xfx0lim解解 根据函数的定义知根据函数的定义知, f (x)当当x0时的左极限为时的左极限为 ；f (x) 当当x0时的右极限为时的右极限为 .由此可知，由此可知，f (x)当当x0时的极限不存在时的极限不存在. 0limlim00 xxfxx 11limlim00 xxxf定义定义5 设函数设函数f (x)当当 x 大于某一正数或小于某一负数大于某一正数或小于某一负数时有定义时有定义,而而A是常数是常数. 如果对于任给的正数如果对于任给的正数 ，总有某

43、一，总有某一个正数个正数X，使得对于当，使得对于当 x X或相应地或相应地x - X时，时，f (x)都满足不等式都满足不等式 | f (x) - A| 0. 由极限定义，存在由极限定义，存在 ，使得当，使得当 时，有时，有 ; 而当而当 时，时，有有 . 取取 ，则当，则当 时，总有时，总有 ,矛盾矛盾. 所以有所以有ab.axfxx)(lim00lim( )xxf xbba 0, 02110|0 xx2|)(|axf020 |xx|( )|2f xb12min , 00 |xx| |( )|( )|22abf xaf xbab证证 由于由于 ，所以对正数，所以对正数 ，存在正数，存在正数

44、，使，使得当得当x满足满足 时，都有时，都有于是，有于是，有记记M =1+| a |，则对任意满足，则对任意满足 的的x都有都有| f (x)| M. , 1|)(|0axfaxfxx)(lim0|00 xx|,|1|)(| )(|0aaaaxfxf|00 xx定理定理6 (局部有界性局部有界性) 假设假设 ，则存在正数，则存在正数M和和正数正数 ，使得当，使得当 时，都有时，都有axfxx)(lim0|00 xx.| )(|Mxf定理定理7(局部保号性局部保号性) 假设假设 且且a 0或或a 0（或（或f (x) 0. 由于由于 0，所以对正数，所以对正数 ，存在存在 0，使得当，使得当0

45、| x-x0| 时有时有 . 因而，因而， .对对a N0时，均有时，均有 ，那么那么 . .limlimayxnnnnnnnyzxaznnlim准则准则I(函数极限的夹逼准则函数极限的夹逼准则) 如果在如果在a的去心邻域有的去心邻域有 ，并且，并且 ，那么那么 . xhxgxf Axhxfaxaxlimlim Axgaxlim递增数列和递减数列统称为单调数列递增数列和递减数列统称为单调数列. 如果数列如果数列an满足条件满足条件 ，就称就称an是递增的或单调增加的是递增的或单调增加的; 如果数列如果数列an满足条件满足条件 ，就称就称an是递减的或单调减少的是递减的或单调减少的. 1321n

46、naaaaa1321nnaaaaa准则准则II(单调有界准则单调有界准则) 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 注注 与单调函数指严格单调函数不同，习惯上把广义与单调函数指严格单调函数不同，习惯上把广义单调数列称为单调数列单调数列称为单调数列.二、两个重要极限二、两个重要极限重要极限重要极限1: . （利用准则（利用准则I来证明）来证明）1sinlim0 xxx例例1 求求 .解解 . xxx3tanlim033cos1lim33sinlim33cos133sinlim33tanlim030300 xxxxxxxxxxxx例例2 求求 . 20cos1limxxx解解 因为因为 ，所以

47、所以 .22222222sin2122sin212sin2cos1xxxxxxxx20cos1limxxx2022sin21limxxx2112122sinlim21202xxx重要极限重要极限2: . （利用准则（利用准则II证明存在性）证明存在性）1lim 1nnen例例3 求求 . 解解 令令 ，那么，那么 时，时， . 于是于是 .2lim 1xxx2xtx t 222111lim11lim21limettxttttxx例例4 求求 .10lim 1 2xxx解解 令令t = 2x,那么当那么当x0 时有时有t0. 因而因而, .20lim 1ttt120lim1ttt1220lim

48、1ttte10lim 12xxx1.5 无穷小与无穷大、无穷小的比较无穷小与无穷大、无穷小的比较一、无穷小及其性质一、无穷小及其性质定义定义1 如果如果f (x)当当xx0 （或（或x）时以）时以0为极限，则称为极限，则称 f (x)是当是当xx0 （或（或x）时的无穷小量，简称无穷小）时的无穷小量，简称无穷小. 例如，当例如，当x1时，时，x1是一个无穷小是一个无穷小; 当当x时，时， 是一个无穷小等等是一个无穷小等等. 1x定理定理1 假设假设 ，那么，那么 是当是当 时的无穷小时的无穷小. 0 xx fxA 0limxxf xA 根据极限性质及四则运算法则，可以证明下列无穷小根据极限性质

49、及四则运算法则，可以证明下列无穷小的性质的性质1和和3）:(1) 有限个无穷小的代数和是无穷小有限个无穷小的代数和是无穷小. (2) 有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小. (3) 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小. 证明性质证明性质2）. 设在设在x0的某个去心邻域的某个去心邻域 ，g(x)为无为无穷小，穷小，f (x)为有界函数为有界函数. 那么存在常数那么存在常数M 0使得使得| f (x)| M在在 成立；同时，对任意成立；同时，对任意 0, 存在存在 0使得当使得当 时都有时都有| g(x) |K)时，都有时，都有| f (x)| M， 则

50、称则称f (x)是当是当xx0或或x)时的时的无穷大无穷大. 00 xxx2例例2 证明证明 是是 时的无穷大时的无穷大. 11x1x 证证 对任意给定的正数对任意给定的正数M，取正数，取正数 ，那么，当，那么，当 时有时有 ， 所以，所以， 是是 时的无穷大时的无穷大. 1M01x11Mx11x1x 定理定理2 在同一变化过程中，在同一变化过程中，(1) 若若f (x)为无穷大，那么为无穷大，那么 为无穷小为无穷小;(2) 若若f (x)为无穷小且为无穷小且f (x)0，那么，那么 为无穷大为无穷大. xf1 xf1例例3 求求 .2221lim32xxxx解解 当当x2 时分母的极限为时分

51、母的极限为0，不能直接应用商的极限运，不能直接应用商的极限运算法则算法则. 但是，由于分子的极限不为但是，由于分子的极限不为0，因而，因而, 可以先求原可以先求原式倒数的极限式倒数的极限 = 0，再利用无穷小与无穷大的关系，得再利用无穷小与无穷大的关系，得 = .2232lim21xxxx2221lim32xxxx三、无穷小的比较三、无穷小的比较定义定义 设设u，v是同一变化过程的两个无穷小，即是同一变化过程的两个无穷小，即 （如果（如果u，v是数列，是数列，lim应理解为应理解为 ，否则，否则，u，v是同一自变量的函数，则是同一自变量的函数，则lim应理解为应理解为 、 或其它单或其它单侧极

52、限过程）侧极限过程）.又设又设v 0,并用并用 表示这一变化过程的极表示这一变化过程的极限限.lim0v lim0,u limn0limxxlimxlimuv(1) 假设假设 ，则称，则称u为比为比v高阶的无穷小，记为高阶的无穷小，记为 ;(2) 假设假设 ，则称，则称u为比为比v低阶的无穷小低阶的无穷小;(3) 假设假设 ，则称，则称u与与v是同阶无穷小是同阶无穷小;特别地特别地, 假设假设 ，则称，则称u与与v是等价无穷小，记为是等价无穷小，记为u v. (4)如果存在正整数如果存在正整数k和常数和常数c 0,使得使得 ，则称，则称u是是v的的k阶无穷小阶无穷小.lim1uvlimuv l

53、im0ua avlim0uv vou cvuklim例如，例如， 由由 ， ， ， 知，当知，当x0时时 ， ; 当当x时，时， 与与 是同阶无穷小是同阶无穷小;当当x1时，时，x-1是是比比(x-1)2低阶的无穷小低阶的无穷小. 02lim20 xxx1sinlim0 xxx2111limxxx21211limxxxxox22xx sin1x121x例例4 证明：当证明：当x0时，时，tan x -sin x x3.21证证 利用三角公式变形得利用三角公式变形得: .由于由于 , 再由再由1.4例例2知知, . 故故由极限的四则运算法则得由极限的四则运算法则得 所以所以tan x -sin

54、x x3.3212tansinsin1 cos12cosxxxxxxxx0sinlim1xxx201 cos1lim2xxx32100002tansinsin1 cos1lim2limlimlim1 .cosxxxxxxxxxxxx12定理定理1 u 与与 v是等价无穷小的充分必要条件是是等价无穷小的充分必要条件是u = v +o(v).定理定理2 设设u u, v v且存在且存在 , 则存在则存在 且且 .limuvlimuvlimlimuuvv例例5 求求 .xxxx203tanlim解解 当当x0时时, tan x x, 无穷小无穷小3x2+x 与自身等价与自身等价, 所以所以 . 20

55、00tan1limlimlim13(31)31xxxxxxxxxx注意：记住一些常用的等价无穷小注意：记住一些常用的等价无穷小,这对于求极限运算常这对于求极限运算常带来许多方便带来许多方便. 同时应该注意同时应该注意, 等价无穷小只适用于代替分等价无穷小只适用于代替分子或分母的因子子或分母的因子, 不可随意代替非因子的式子不可随意代替非因子的式子. 比如比如,在例在例4求极限时求极限时, 若把分子若把分子tan x sin x分别用分别用tan x和和sin x的等价的等价无穷小代入无穷小代入, 将出现如下错误将出现如下错误:33110022tansinlimlim0 .xxxxxxxx1.6

56、 函数的连续性一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念 假定函数假定函数y = f (x)在点在点x0的某邻域内有定义，当自变的某邻域内有定义，当自变量从量从 x0变化到变化到x时，对应的函数值从时，对应的函数值从f (x0)变化到变化到f (x)，称，称x = x - x0为自变量为自变量x在点在点x0的改变量或增量的改变量或增量. 相应地，相应地，把把 y = f (x) -f (x0) 即即y = f (x0+x)- f (x0)称为函数称为函数y在点在点x0的改变量或增量应注意，自变量的增量的改变量或增量应注意，自变量的增量x和函数的增量和函数的增量y可以是正数也可以是负数或可以是正数

57、也可以是负数或0定义定义1 设函数设函数y = f (x)在点在点x0的某一邻域内有定义，假如的某一邻域内有定义，假如那么就称函数那么就称函数y = f (x)在点在点x0连续连续, 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 由于由于 等价于等价于 ， 等价于等价于 ，因此函数，因此函数y = f (x)在点在点x0连续等价于连续等价于 所以，函数所以，函数y = f (x)在点在点x0连续的定义又可叙述为：对任连续的定义又可叙述为：对任意的意的 ，总存在，总存在 ，使得当，使得当 时，有时，有 0 x0 xx 0y)()(0 xfxf)()(lim00 xfxfxx000 xx)()

58、(0 xfxf 假如假如 f (x)在区间在区间I的每一个点都连续，则称的每一个点都连续，则称y = f (x)在在I上连续或上连续或y = f (x)是是I上的连续函数，这里对于区间的端上的连续函数，这里对于区间的端点点(如果它属于如果它属于I的话的话)只要求单侧只要求单侧(左或右左或右)连续连续. 定义定义2 若函数若函数y = f (x)在点在点x0的某右左邻域内有定义，的某右左邻域内有定义，假如假如那么就称函数那么就称函数f (x)在点在点x0右左连续右左连续.)()(lim00 xfxfxx,)()(lim00 xfxfxx定理定理1 函数函数f (x)在点在点x0连续的充要条件是：

59、连续的充要条件是：f (x)在在x = x0既是右连续的，又是左连续的既是右连续的，又是左连续的例例1 证明正弦函数证明正弦函数y = sin x在在(-, +)上连续上连续证证 对任意对任意x0(-, +)，由和差化积公式得，由和差化积公式得 .因为因为 所以所以 故故y = sin x在在x0点连续，由点连续，由x0(-, +)的任意性可知，的任意性可知，y = sin x在在 (-, +) 连续连续2sin)2cos(2sin)sin(000 xxxxxxy, 02sinlim, 1| )2cos(|00 xxxx0lim0 xy 二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类 根据函

60、数根据函数y = f (x)在在x0点处连续的定义可知，函数点处连续的定义可知，函数f (x)在在x0点处连续必须且只需同时满足下面三个条件：点处连续必须且只需同时满足下面三个条件：(1) f (x)在在x0处有定义；处有定义；(2) 存在，即存在，即 存在且存在且相等；相等； (3)(lim0 xfxx)0()0(00 xfxf与)()(lim00 xfxfxx 如果这三个条件中有一个不满足，也就是说，假如如果这三个条件中有一个不满足，也就是说，假如f (x)在在x0无定义；或者无定义；或者 f (x)在在x0虽有定义但在虽有定义但在x0的极限的极限不存在；或者不存在；或者f (x)在在x0