变量间的相互关系

1、探究探究：年龄年龄脂肪脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年龄年龄脂肪脂肪5833.56035.26134.6如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系吗？之间有怎样的关系吗？ 从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一起，就体现出一起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律这一规律. .表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数表中各年

2、龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数. .我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断的印象和判断. . 下面我们以年龄为横轴，下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，角坐标系，作出各个点，称该图为散点图。称该图为散点图。510152025303540O202530 35 4045 50 55 60 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成

3、正相关位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：但有的两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高度如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越海拔高度越高，含氧量越少。少。 作出散点图发现，它们散作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车的载重和汽车每消耗车每消耗1 1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，称它们成负相关平均路程，称它们成负相关. .O基础知识框图表解基础知识框图表解变量间关系变量间关系函数关系函数关系相关关系相关关系

4、 散点图散点图线形回归线形回归线形回归方程线形回归方程1 1、相关关系、相关关系（1 1）定义：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定）定义：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。（2 2）相关关系与函数关系的异同点。）相关关系与函数关系的异同点。相同点：两者均是指两个变量间的关系。相同点：两者均是指两个变量间的关系。不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系；不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因果系； 相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系（但可能是伴随

5、关系）。可能是伴随关系）。（3 3）相关关系的分析方向。）相关关系的分析方向。 在收集在收集大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，大量数据的基础上，利用统计分析，发现规律，对它们的关系作出判断。对它们的关系作出判断。2、两个变量的线性相关、两个变量的线性相关 （1 1）回归分析）回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确回归分析。通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。定关系的某种确定性。 （2 2）正相关）正相关 负相关负相关O20 25 3035 40 455055

6、6065年龄年龄脂肪含量脂肪含量O.方案：先画出一条直线，测量出各点与它的距方案：先画出一条直线，测量出各点与它的距 离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。测出它的斜率和截距，得回归方程。脂肪含量脂肪含量202530 35 4045 50 55 60 65年龄年龄0510152025303540如图如图 ：3 3、回归直线方程、回归直线方程 （1 1）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分）回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的布在一条直线的附近，就称两个变量

7、之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。关系，这条直线叫做回归直线。（2 2）最小二乘法）最小二乘法(3)(3)利用回归直线对总体进行估计利用回归直线对总体进行估计xbyaxnxyxnxxxyyxxbniiniiiniiniiiy,)()(1221121例例1 1 下列两个变量之间的关系下列两个变量之间的关系, ,哪个不是函数关系哪个不是函数关系( ).( ).A.A.角度和它的余弦值角度和它的余弦值 B.B.正方形边长和面积正方形边长和面积C.C.正正n n边形的边数和内角度数之和边形的边数和内角度数之和 D.D.人的年龄和身高人的年龄和身高D画图1求回归直线方程的步骤：求回归直线方程

8、的步骤：第一步：列表第一步：列表第二步：计算：第二步：计算：第三步：代入公式计算第三步：代入公式计算b b，a a的值的值第四步：列出直线方程。第四步：列出直线方程。i iy x ixiyniiiniiniiyxyxyx11212,iiiiyxyx,例例2 2 观察两相关量得如下数据观察两相关量得如下数据: :x x-1-1-2-2-3-3-4-4-5-55 53 34 42 21 1y y-9-9-7-7-5-5-3-3-1-11 15 53 37 79 9101022110,0,110,330,110.iiiiiixyyyxx求两变量间的回归方程求两变量间的回归方程. .解：列表：解：列表

9、：i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 x x-1-1-2-2-3-3-4-4-5-55 53 34 42 21 1y y-9-9-7-7-5-5-3-3-1-11 15 53 37 79 9x xi iy yi i9 91414151512125 55 51515121214149 9计算得：计算得：1011022110110100111010010iiiiix ybyxxx000aybxb.yx所求回归直线方程为所求回归直线方程为4 4、利用回归直线方程对总体进行估计、利用回归直线方程对总体进行估计 例例5 5 炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直炼

10、钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间冶炼时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量X与冶与冶炼时间炼时间y（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如（从炉料熔化完毕到出刚的时间）的一列数据，如下表所示：下表所示：x x（0.01%0.01%）10104 418180 019190 017177 714147 713134 415150 019191 120204 412121 1Y Y（minmin）10100 020200 021210 018185

11、515155 513135 517170 020205 523235 512125 5（1 1）作出散点图，找规律。）作出散点图，找规律。（2 2）求回归直线方程。）求回归直线方程。（3 3）预测当钢水含碳量为）预测当钢水含碳量为160160时，应冶炼多少分钟？时，应冶炼多少分钟？画图3 解解: (1) : (1) 作散点图作散点图从图可以看出从图可以看出, ,各点分布在一条直线附近各点分布在一条直线附近, ,即它们线形相关即它们线形相关. .(2)(2)列出下表列出下表, ,并计算并计算i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 x xi i104104180180190190177177147147134134150150191191204204121121y yi i100100200200210210185185155155135135170170205205235235125125x xi iy yi i104104000036036000003993990000327327454522722785851801809090255255000039139155554794794040151151252510101022111159.8,172,265448,312350,287640iiiiiiixyyyxx ybxa1021()iiiQyb