数据模型与决策多目标规划学习教案

1、会计学1数据模型与决策数据模型与决策(juc) 多目标规划多目标规划第一页，共24页。2第1页/共24页第二页，共24页。 例例: :某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可能少生产；乙的销路较好，可以(ky)(ky)扩大生产。试建立此问题的数学模型。扩大生产。试建立此问题的数学模型。12070单件利润3000103设备台时2

2、00054煤炭360049钢材资源限制乙甲 单位 产品资源 消耗第2页/共24页第三页，共24页。4设：甲产品设：甲产品(chnpn) x1 ，乙，乙产品产品(chnpn) x2 一般一般(ybn)有：有：maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0同时同时(tngsh)：maxZ1=70 x1 + 120 x2 minZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 显然，这是一个

3、多目标规划问题，用线性规划方法显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法很难找到最优解。很难找到最优解。第3页/共24页第四页，共24页。 目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标函数转化为目标约束。目标规划通过引入目标值和偏差变量，可以将目标函数转化为目标约束。 目标值是指预先给定的某个目标的一个期望值。目标值是指预先给定的某个目标的一个期望值。 实现值或决策值是指当决策变量实现值或决策值是指当决策变量xj xj 选定以后选定以后(yhu)(yhu)，目标函数的对应值。，目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）是指实现值和目标值之间的差异偏差变量（事先无法确定的未知数）是指

4、实现值和目标值之间的差异, ,记为记为 d d 。 正偏差变量表示实现值超过目标值的部分，记为正偏差变量表示实现值超过目标值的部分，记为 d d。 负偏差变量表示实现值未达到目标值的部分，记为负偏差变量表示实现值未达到目标值的部分，记为 d d。第4页/共24页第五页，共24页。在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到目标值，故有目标值，故有 d d d d0 0，且，且d d0, d0, d00完成或超额完成规定完成或超额完成规定(gudng)(gudng)的指标则表示：的指标则表示：d d0, d0, d0 0未完成规定未完成规定(gud

5、ng)(gudng)的指标则表示：的指标则表示： d d0, d0, d00恰好完成指标时则表示：恰好完成指标时则表示： d d0, d0, d0 0 d d d d 0 0 成立。成立。第5页/共24页第六页，共24页。7 引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题有了新的限制，即目标约束。引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题有了新的限制，即目标约束。 目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起作用。目标约束是目标规划中特有目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起作用。目标约束是目标规划中特有(t yu)(t yu)的，是软约束。的，是软约束。 绝对约束（系统约束）是指必

6、须严格满足的等式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。2 2、目标、目标(mbio)(mbio)约束和绝对约束约束和绝对约束第6页/共24页第七页，共24页。8 例如：在例中，规定例如：在例中，规定Z1 的目标值为的目标值为 50000,正、负偏正、负偏差为差为d、d ,则目标函数可以转换则目标函数可以转换(zhunhun)为目标为目标约束，即约束，即 70 x1 + 120 x2 50000 同样，若规定同

7、样，若规定 Z2200， Z3250 则有则有 11dd200221ddx250332ddx)3 . 2 . 1( 0,jddjj 若规定若规定(gudng)3600(gudng)3600的钢材必须用完，原式的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 9 x1 +4 x2 36003600则变为则变为0, 360049444421ddddxx第7页/共24页第八页，共24页。 达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数，记为 minZ = f（d、d），又称为准则函数。），又称为准则函数。 一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一：一般说来，有以下

8、三种情况，但只能出现其中之一： 要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽可要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽可能小，则能小，则minZ = f（d d）。）。 要求不超过要求不超过(chogu)目标值，即允许达不到目标值，目标值，即允许达不到目标值，也就是正偏差变量尽可能小，则也就是正偏差变量尽可能小，则minZ = f（d）。）。 要求超过要求超过(chogu)目标值，即超过目标值，即超过(chogu)量不限量不限，但不低于目标值，也就是负偏差变量尽可能小，则，但不低于目标值，也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f（d）。）。第8页/共24页第九页，共24页。 优先因

9、子优先因子Pk Pk 是将决策目标按其重要程度排序是将决策目标按其重要程度排序(pi x)(pi x)并表示出来。并表示出来。P1P2PkPk+1PK P1P2PkPk+1PK ，k=1.2Kk=1.2K。 权系数权系数k k 区别具有相同优先因子的两个目标的差别，决策者可视具体情况而定。区别具有相同优先因子的两个目标的差别，决策者可视具体情况而定。 前面的目标可以保证实现或部分前面的目标可以保证实现或部分(b fen)(b fen)实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分(b fen)(b fen)实现，有些可能就不能实现。实现，有些可能就不能实现

10、。第9页/共24页第十页，共24页。 若在例一中提出下列要求：若在例一中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标、完成或超额完成利润指标 50000元；元； 2、产品甲不超过、产品甲不超过(chogu) 200件，产品乙不低于件，产品乙不低于 250件；件； 3、现有钢材、现有钢材 3600吨必须用完。吨必须用完。试建立目标规划模型。试建立目标规划模型。 分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。 第一目标：第一目标： 第二目标：有两个要求即甲第二目标：有两个要求即甲 ，乙，乙 ，但两个，但两个具有相同具有相同(xin tn)的优先因子，因此需要确定

11、权系数的优先因子，因此需要确定权系数。本题可用单件利润比作为权系数即。本题可用单件利润比作为权系数即 70 :120，化简为，化简为7:12。11dP32 dd)127( 322ddP第10页/共24页第十一页，共24页。12第三第三(d sn)目标目标：)(443 ddP)4 . 3 . 2 . 1( 0 ., 03000 10 3 2000 5 4 36004 9 250 200 5000012070)()127(min2121214421332221112144332211jddxxxxxddxxddxddxddxxddPddPdPZjj目标目标(mbio)规划模型为：规划模型为：第11

12、页/共24页第十二页，共24页。 某厂生产某厂生产(shngchn)、两种产品，有关数据两种产品，有关数据如表所示。试求获利如表所示。试求获利最大的生产最大的生产(shngchn)方案？方案？拥有量原材料2111设备(台时)1210单件利润810 在此基础上考虑：在此基础上考虑： 1、产品、产品的产量不低于产品的产量不低于产品的产量的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班、充分利用设备有效台时，不加班(ji bn)； 3、利润不小于、利润不小于 56 元。元。解解: : 分析分析(fnx) (fnx) 第一目标：第一目标： 即产品即产品的产量不大于的产量不大于的产量。的产量。 第二目标：第二

13、目标：11dP)(222ddP第12页/共24页第十三页，共24页。14第三第三(d sn)目标：目标：33dP规划规划(guhu)模模型：型：)3 . 2 . 1( 0 ., 011 256108102 0 )(min21213321222111213322211jddxxxddxxddxxddxxdPddPdPZjj第13页/共24页第十四页，共24页。)2 .1( 0 .n)1.2(j 0)2 .1( ).()2 .1( )(min1111LlddxmibxaLlqddxcddPZlljnjijijnjllljkjKkLllkllklk第14页/共24页第十五页，共24页。16建模的步骤

14、建模的步骤(bzhu) 根据要研究的问题所提出的各目标根据要研究的问题所提出的各目标(mbio)(mbio)与条件，确定目标与条件，确定目标(mbio)(mbio)值，列出目标值，列出目标(mbio)(mbio)约束与绝对约束；约束与绝对约束； 可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标(mbio)(mbio)约束约束, ,只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可; ; 给各目标给各目标(mbio)(mbio)赋予相应的优先因子赋予相应的优先因子 Pk Pk（k=1.2Kk=1

15、.2K）; ; 对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的不同，赋予相应的权系数对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的不同，赋予相应的权系数 。klkl和和第15页/共24页第十六页，共24页。17 根据决策者要求，按下列情况之一构造一个根据决策者要求，按下列情况之一构造一个由由 优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实现极小，要求实现极小(j xio)(j xio)化的目标函数，即达化的目标函数，即达成函数。成函数。llddldld. .恰好恰好(qiho)(qiho)达到目标值，取达到目标值，取 。. .允许允许(ynx)

16、(ynx)超过目标值，取超过目标值，取 。. .不允许超过目标值，取不允许超过目标值，取 。第16页/共24页第十七页，共24页。1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑(kol)正负偏差变量）在坐标平面上表示出来；正负偏差变量）在坐标平面上表示出来；2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向；、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向；3、求满足最高优先等级目标的解；、求满足最高优先等级目标的解；4、转到下一个优先等级的目标，在不

17、破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解；、转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解；5、重复、重复4，直到所有优先等级目标都已审查完毕为止；，直到所有优先等级目标都已审查完毕为止；6、确定最优解和满意解。、确定最优解和满意解。第17页/共24页第十八页，共24页。19例一、用图解法求解目标规划例一、用图解法求解目标规划(guhu)问题问题)2 . 1(0, 08 2 102 5 .621210)(min21212221112122111lddxxxddxxddxxdPddPZll第18页/共24页第十九页，共24页。2001 2

18、3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 Ax2 x1B1d1d2d2dC B (0.6250 , 4.6875) C (0 , 5.2083) B (0.6250 , 4.6875) C (0 , 5.2083) ， B B、C C 线线段上的所有点均是该问题段上的所有点均是该问题(wnt)(wnt)的解（无穷多最优解的解（无穷多最优解）。）。)2 . 1(0, 08 2 102 5 .621210)(min21212221112122111lddxxxddxxddxxdPddPZll第19页/共24页第二十页，共24页。21 例二、已知一个生产例二、已知一个生产(shngchn)计划

19、的线性规划模计划的线性规划模型为型为 01006014021230max21212121xxxxxxxZ)( )( )( 丙丙资资源源乙乙资资源源甲甲资资源源 其中目标函数为总利润其中目标函数为总利润(lrn)(lrn)，x1,x2 x1,x2 为产品为产品A A、B B产量。现有下产量。现有下列目标：列目标： 1 1、要求总利润、要求总利润(lrn)(lrn)必须超过必须超过 2500 2500 元；元； 2 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，、考虑产品受市场影响，为避免积压，A A、B B的生产量不超过的生产量不超过 60 60 件和件和 100 100 件；件； 3 3、由于甲资源供应

20、比较紧张，不要超过现有量、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。试建立目标规划模型，并用图解法求解。第20页/共24页第二十一页，共24页。22 解：以产品解：以产品 A A、B B 的单件利润比的单件利润比 2.5 2.5 ：1 1 为权系数为权系数(xsh)(xsh)，模型如下：，模型如下： )4 . 3 . 2 . 1(0, 010060140225001230)5 . 2(min21442331222111212343211lddxddxddxddxxddxxdPddPdPZll 第21页/共24页第二十二页，共24页。230 x2 0 x11401201008060402020 40 60 80 1002d2d1d1d3d3d4d4dABCD 结论结论(jiln)(jiln)：C(60 ,