第九次 孤立奇点分类 留数

1、第九讲第九讲 孤立奇点孤立奇点 无限远点无限远点& 1.孤立奇点的概念孤立奇点的概念& 2.可去奇点可去奇点& 3. m阶极点阶极点& 4. 本性奇点本性奇点3.8 孤立奇点孤立奇点1. 孤立奇点定义孤立奇点定义处不可导，而在该点的在点若函数azzf)(是内解析，则称心邻域azaz0的一个孤立奇点。)(zf例如：例如：的一个孤立奇点；是1)(1zezfzz.101sin)(1zzezzzfz与有两个孤立奇点,2,1,11sin1)(nnzzzf有孤立奇点.0z非孤立奇点2. 孤立奇点分类孤立奇点分类（1） 可去奇点可去奇点的孤立奇点，且是若)(zfaz有限值，)

2、(limzfaz.)(的可去奇点是则称zfaz.sin)(0的可去奇点是zzzfz例如：例如：.221)(12的可去奇点是zzzfz.12cos)(02的可去奇点是zzzfz（2） 极点极点的孤立奇点，且是若)(zfaz，)(limzfaz.)(的极点是则称zfaz.cos)(0的极点是zzzfz例如：例如：.221)(12的极点是zzzfz.)1()(12的极点是zezfzz（2） 本性奇点本性奇点的孤立奇点，且是若)(zfaz无定值，)(limzfaz.)(的极点是则称zfaz.1sin)(0的本性奇点是zzfz例如：例如：.221cos)(12的本性奇点是zzzfz.11sin)(2的本

3、性奇点都是zzfiz3. 孤立奇点与洛朗级数的关系孤立奇点与洛朗级数的关系命题命题1 （可去奇点与洛朗级数的关系）（可去奇点与洛朗级数的关系）的的可去奇点，则在点是若azzfaz)(的洛朗级数展开式内去心邻域)(0zfaz中没有负幂项，即,)()(0nnnazczf.)(lim0azzfc且证明：证明：的可去奇点，是)(zfaz内解析，的某个去心邻域在点azazzf0)(朗级数可在此邻域内展开为洛故)(zf,)()(nnnazczf.)()(211dzazzficnn其中有限值，)(limzfaz.,2,1,0ncn.)(lim,)()(00czfazczfaznnn且因而，命题命题2),()

4、()()(zgazzmzazm阶零点，如果的是函数称说明：说明：.)(,0)(处解析在点且其中azzgag阶零点的是mzaz)(.0)(,0)()()()()()1(aaaaazzmm而处解析，且在例如：例如：.42)(0732的二阶零点是zzzzz.)1cos()1()(12的二阶零点是zzzz.)1sin()1()(12的三阶零点是zzzz命题命题3 （极点与洛朗级数的关系）（极点与洛朗级数的关系）的的极点，则在点是若azzfaz)(的洛朗级数展开式内去心邻域)(0zfaz，即中仅包含有限个负幂项,)()(mnnnazczf.)()(211dzazzficnn其中证明：证明：（见教材）说明

5、：说明：的的极点，若在点是设azzfaz)(的洛朗级数展开式内去心邻域)(0zfaz,0,)()(mmnnncazczf.sin)(2型的奇点，并判断它的类求出函数zzzf.)(阶极点的是则称mzfaz例例1答案：答案：.,0 是一阶极点孤立奇点z例例2.)1()(12的几阶极点是判断zezfzz答案：答案：.2阶极点命题命题4 （极点与零点的关系）（极点与零点的关系）)(1)()(zzfazmzaz是阶零点，则的是若阶极点；的m,0,)(1)()(azazzfzazmzfaz是阶极点，则的是若.阶零点的m证明：证明：（略）说明：说明：判断函数极点的方法判断函数极点的方法方法一：方法一：展开成

6、的孤立奇点，则将是设)()(zfzfaz)(,0mncan果系数为中心的洛朗级数，如以.)(,0阶极点的是则而mzfazcm方法二：方法二：的孤立奇点，若是设)(zfaz,0)()(limmmazczfaz.)(阶极点的是则mzfaz方法三：方法三：),()()(1)(zgazzfzfazm的孤立奇点，若是设是则处解析，且在点其中azagazzg,0)()(.)(阶极点的mzf例例3.,sin1)(2并判断它们的阶数的极点求函数zzzf答案：答案：；阶极点03z),2,1(,1nnz阶极点命题命题5 （本性奇点与洛朗级数的关系）（本性奇点与洛朗级数的关系）的本性奇点是)(zfaz内的洛朗级数展

7、开式中在azzf0)(.有无穷多个负幂项证明：证明：（略）例如：例如：的孤立奇点，是zezfz1)(0,!1!211121nzznzze因为.)(01的本性奇点是所以zezfz例例4阶数。的极点，并指出它们的求函数)2(2)(3izzizzf答案：.0,2ziz三阶极点一阶极点例例5阶数。的极点，并指出它们的求函数zzfsin1)(答案：.,2,1,0,nnz一阶极点& 1.无限远点的奇点分类无限远点的奇点分类& 2.无限远点与洛朗级数的关系无限远点与洛朗级数的关系3.9 无限远点无限远点*无限远点是任何一个函数的奇点。无限远点是任何一个函数的奇点。*无限远点的邻域：无限远点的

8、邻域：,zR.azR或1. 无限远点的分类无限远点的分类（1）定义）定义内解析，则称在无限远点的邻域若zRzf)(.)(的孤立奇点是无限远点zfz注：注：),()1()(,1fzfz令的孤立奇点，那么是则若无限远点)(zfz）的孤立奇点。（是0（2）定义）定义的可去奇点；是）的可去奇点，则称（是若)(0zfz),()1()(,1fzfz设阶极点；的是阶极点，则称）的（是若mzfzm)(0的本性奇点；是）的本性奇点，则称（是若)(0zfz例例6，如果是极点，是下列函数的奇点类型判断无限远点z.说明极点的阶数答案：.)()3(,sin)()2(,1)()1(12zezfzzfzzzf一阶极点；)1

9、(本性奇点；)2(.3可去奇点）（2. 无限远点与洛朗级数的关系无限远点与洛朗级数的关系命题命题6内的可去奇点，则在是若zRzfz)(的洛朗级数展开式)(zfnnnzczf)(中没有正幂项，且.)(22100zczcczczfnnn内阶极点，则在的是若zRmzfz)(的洛朗级数展开式)(zfnnnzczf)(项正幂项，且中含有m即,)(lim0czfz即,)(limzfz.)(2210111zczcczczczczczfmmmmnmnn内的本性奇点，则在是若zRzfz)(的洛朗级数展开式)(zfnnnzczf)(，且中含有无穷多个正幂项无定值。)(limzfx注：注：式为为中心的洛朗级数展开以

10、0)()1(zzf,)0()(nnnnnnzczczf中三个洛朗级数展开式，可知命题且洛朗级数展开式唯一6内的洛朗级数展为中心在区域以也是zRzzf0)(式为中心的洛朗级数展开内以在故而开式0)(.zzRzf式。为中心的洛朗级数展开内以在也称为zzRzf)(),()1()(,1)2(afzfaz若作变换一样讨论，可得则可如同命题6式为中心的洛朗级数展开内以在azRazRzf21)(式。为中心的洛朗级数展开内以在也是zazRzf)(例例7zzzzzf内以在区域求11)2)(1(1)(.式为中心的洛朗级数展开答案：.)1()(2nnzzf例例8.)(1式为中心的洛朗级数展开以求zezfz答案：.!1)(0nnznzf3. 附附刘维尔定理：)1(为可去间断点，则且在整个复平面上解析，若zzf)(是一个常数。)(zf整函数：)2(函数；内解析的的函数称为整在整个复平面（不包括)z超越函数：)3(是超越函数；的本性奇点，则称是整函数若)()(zfzfz有理整函数：)4(是有理整函数；阶极点，则称的是整函数若)()(zfmzfz亚纯函数：)5(为亚纯函数；极点，则称的所有有限远奇点都是若)()(zfzf有理函数：)6(为有理函数；有限多个极点，则称的复平面）