英语常微分方程数值解PPT学习教案

1、会计学1 什么叫微分方程数值解q. ,:( )kybxax就是求微分方程在区间上的一系列离散点就是求微分方程在区间上的一系列离散点解函数解函数012nxxxxab(1, )()kkykny x 上函数值的近似值，上函数值的近似值，ky称 为问题的称 为问题的数值解数值解。 哪些微分方程的数值解？q.0( , )( )yf x yaxby ay 一阶方程初值问题一阶方程初值问题0( , ,)( ),( )yf x y yaxby ayy a 高阶方程初值问题高阶方程初值问题11121012212202( ,)()( ,)()yfx yyyxyyfx yyyxy 方程组初值问题方程组初值问题解析解

2、 微分方程存在的条件q.第1页/共44页f x yGx yxa b y在在( , )( , )| , ,(,) 定理 若连续，并且关于y满足Lipschitz条件，即存在常数L使对于12 , ,xa by yR 都都有有1212|( ,)( ,)|f x yf x yL yy L为Lip常数则问题(1)有唯一解y=y(x)且y(x)在a,b上连续，在(a,b)上可微，且连续依赖与初值。 初值有微小的变化而引起解的变化也是微小的，即问题是良态的。本章总假设(1)满足定理中的条件。第2页/共44页1 欧拉方法0( )(0( , )( )?,)knyf x yaxyy xxanhbbahNyyNay

3、n 已知初值问题已知初值问题 ，求其解函数在等距节点上的近似值求其解函数在等距节点上的近似值一 问题一 问题第3页/共44页二 方法二 方法1.Euler方方法法Tarloy( )nyyxx 将初值问题的解函数在点展开，有：将初值问题的解函数在点展开，有：2( )( )()()()()2!nnnnyy xy xy xxxxx ( , )yf x y 而，而，()(, ()nnny xf xy x 所以 ，代入上式：所以 ，代入上式：2( )( )()(, ()()()2!nnnnnyy xy xf xy xxxxx 1:nxx 令令2111()()()(, ()()()2!nnnnnnnnny

4、y xy xf xy xxxxx 21()()(, (),2!(,)nnnnnnnyy xf xy xhhxx 其中其中21(),2!nyTh 截去截去11()nnyy x 得的近似值满足：得的近似值满足：1(,)nnnnyyhf xy 0( , )( )yf x yaxby ay Euler 公式公式显式公式显式公式第4页/共44页解解2( , ),xf x yyy000,10,1,1xanby由题意知：由题意知：Euler根据公式：根据公式：1(,)nnnnyyhf xy 2()nnnnxyh yy(1,2,10)n 010002()xyyh yy2 010.1(1)1 1.1 12111

5、2()xyyh yy2 0.11.10.1(1.1)1.1 1.1918 带入数据：带入数据：依次类推 .依次类推 .12yx注 方程的精确解：注 方程的精确解：Euler例例1 1 用用公公式式求求解解初初值值问问题题201xyyxy (0)1y 0.1h （）（）第5页/共44页()例1 续例1 续201xyyxy (0)1y 0.1h （）（）第6页/共44页1ny .Euler方法的几何意义方法的几何意义ny2y1y 1ny x ny x 2y x 1y x.0y1nx nx2x1x0 x.第7页/共44页2.Euler后退的方法后退的方法1Tar(o)l ynxyy x 将在点展开：

6、将在点展开：21111( )( )()()2()!nnnnyy xy xxyxxxx 111211(,( )()()()2()!nnnnnyy xxf xy xxxx :nxx 令令211111()()()(, ()()()2!nnnnnnnnnyyy xf xy xxxxxx 21111()()(, ()(,),2!nnnnnnnyy xhhxf xy xx 其中其中22(),2!nyTh 截去截去()nnxyy得的近似值满足：得的近似值满足：111(,)nnnnyyhf xyEuler 后退公式后退公式:即即2111()()()(, ()2!nnnnnhyy xy xhf xy x 隐式公

7、式隐式公式第8页/共44页12()()()(, ()2!nnnnnyhy xy xhf xy x 1222()2)!(2!nnyTyThh 注意注意符符要：和的要：和的号号 相反相反1121()()(, ()2!nnnnny xy xhf xy xyh 12TT所以，两式相加并截去+得：所以，两式相加并截去+得：111(,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy3.梯梯形形公公式式隐式公式隐式公式 梯形公式梯形公式第9页/共44页1Eulerny 梯形公式为，求解时往往需要求解非线性方程，实际计算梯形公式为，求解时往往需要求解非线性方程，实际计算中通常由公式对进行预测，利用梯形公式进行中通

8、常由公式对进行预测，利用梯形公式进行隐式公式隐式公式 校正校正1(,)nnnnyhf xyy 111 (,)(,)2nnnnnnhyyf xyyf x 4.Euler改改进进的的公公式式Euler 改进的公式改进的公式将其改写为112()2kkhyyKK 1(,)kkKf xy 211(,)kkKf xyhK )(00 xyy 第10页/共44页例例2 2 求求解解初初值值问问题题201xyyxy (0)1y 0.1h （）（） Euler公式公式Euler 改进公式改进公式1(,)nnnnyyhxfy 2()nnnnxyh yy解解2( , )yxfyyx2(,)nnnnnxf xyyy1(

9、,)nnnnyyhf xy 1nKyh11(,)nnxfy 1112nnnxyhKyhK 2K112()2nnhyKKy 1K1112nnnxyy 第11页/共44页三 局部截断误差和方法的阶数三 局部截断误差和方法的阶数局部截断误差局部截断误差=11( )()nnTyyxy x 将方程精确解代入数值求解公式左右两端，将方程精确解代入数值求解公式左右两端，左右两左右两局局端之差端之差部截部截为方法的为方法的断误差断误差。方法的精度方法的精度1()pThpOp 若，则称此方法具有 阶精度或称方法是 阶的。若，则称此方法具有 阶精度或称方法是 阶的。Euler的局部截断度的局部截断度公式公式误差与

10、精误差与精第12页/共44页111()nnyyxT 1()ny x 211()()()()()2!nnnnnnnyxy xy xxxxx 2()()()2!nnnyxy xy xhh 2()2!nyxh 2()O h 22()()2!nyxO hh 局部截断误差首项为：局部截断误差首项为：11()( )nny xy xx 解函数在点解函数在点：处的精确值；处的精确值；11():nnny xy 假设第 步没有误差的条件下，代入假设第 步没有误差的条件下，代入 数值公式后得到的的近似值。数值公式后得到的的近似值。 一阶一阶方法具有方法具有 精度。精度。1.Euler公式：公式：1(,)nnnnyy

11、hf xy ()(, ()nnny xhf xy x()()nny xhy x ()()nny xhy x 第13页/共44页112()nnyyxT 1()ny x 211()()()()()2!nnnnnnnyxy xy xxxxx 2()()()2!nnnyxy xy xhh 2()2!nyxh 2()O h 22()()2!nyhO hx 局部截断误差首项为：局部截断误差首项为：2.Euler后退的公式：后退的公式：111(,)nnnnyyhf xy2()()()()2!nnnnyxy xh y xyxhh 一阶一阶方法具有方法具有 精度。精度。11()(, ()nnny xhf xy

12、x1()()nny xhy x 第14页/共44页111(,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy3.梯形公式:梯形公式:11()nny xyT 111()(, ()(, ()()2nnnnnnhy xf xy xxyy xfx 22()()()()2!3!nnnnyxyxy xy xhhh 3()12nyxh 3()O h 33()()12nyxhO h 局部截断误差首项为：局部截断误差首项为： 二阶二阶方法具有方法具有 精度。精度。2()()()()()22!nnnnnyxhy xy xy xyxhh 11()()(2nnnnhy xy xy xy x 第15页/共44页4.Eule

13、r改进的公式：改进的公式：1111(,) (,)(,)2nnnnnnnnnnyyhf xyhyyf xyf xy 11()nny xyT 3()12nhyx 11(,)(, ()()nnnnnf xyf xh y xhy x 22()()()()2nnnhy xhyxyxo h( , ),ffyf x yyyxy其中其中23()()()()26nnnnyxyxy xy xhhh 22()()()()()()22nnnnnyxhy xy xy xyxhho h 3()O h 二阶二阶方法具有方法具有 精度。精度。第16页/共44页111(3)2nnnnhyyyy 求求差差分分格格式式 的的局局部

14、部截截断断误误差差首首项项及及方方法法的的阶阶。练习11112(,)(,),00.3()0(0)1.1nnnnnnnnyyhf xyyyhf xyyxyxyh 求求 预预测测- -校校正正 系系统统： 的的局局部部截截断断误误差差首首项项及及方方法法的的阶阶，并并由由此此求求解解初初值值问问题题： 33221235()(),212()(),12(0.1)1.12(0.2)1.2642(0.3)1.1.435262nnhyxO hhyxO hyyyyyy 答案： 阶方法； 答案： 阶方法； 2.2.阶方法阶方法，第17页/共44页例 求差分格式11114 (,)2 (,)(,)6nnnnnnnn

15、yyhf xyf xyhfxy 的局部截断误差首项及其阶数。第18页/共44页对于初值问题对于初值问题0( , )( )yf x yaxby ay 1( ),nnyy xxx 对其精确解在上利用微分中值定理，得对其精确解在上利用微分中值定理，得11()()()()nnnnny xy xyxx 1(,)nnnxx 其中其中即即：1()( ),nnnyy xxx 可可以以看看作作在在上上的的平平均均斜斜率率3 龙格-库塔公式()ny 下面给出平均斜率的几种近似表达式。下面给出平均斜率的几种近似表达式。K()nKy 1()()()nnny xy xhy 第19页/共44页K1.( )ny xx以在处

16、的斜率作为平均斜率的近似：以在处的斜率作为平均斜率的近似：(, ()nnf xy x (,)nnf xy 得得1(,)nnnnyyhf xy Euler 方方法法12.( )ny xx 以在处的斜率作为平均斜率的近似：以在处的斜率作为平均斜率的近似：11(, ()nnf xy x 11(,)nnf xy 得得111(,)nnnnyyhf xyEuler-后后退退的的方方法法()()nnyy x 取取1()()nnyy x 取取1KK2K第20页/共44页13.( )nny xxx 以以在在和和处处近近似似斜斜率率的的平平均均值值作作为为平平均均斜斜率率的的近近似似 111(, ()(, ()2

17、nnnnf xy xf xy x 11()()()2nnnyy xy x 取取 111(,)(,)2nnnnf xyf xy得得 111(,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy-梯梯形形公公式式4.Euler改改进进的的公公式式 1111(,)(,)(,)2nnnnnnnnnnyyhf xyhyyf xyf xy 1211(,),(,)nnnnkf xykf xyhk 记记 121()2nykk 取取， 1122nnhyykk 得得K1K2K第21页/共44页 1222113331132211,11(,)(,),().,()nnnnnnmnmnmm mmkf xykf xa h yhb

18、 kkfxa h yh b kb kkfxa h yh b kbk 5.推推广广1,()nnnxxmy 在在内内取取个个点点近近似似斜斜率率的的加加权权平平均均近近似似代代替替平平均均斜斜率率，即即11122()nnmmyyh c kc kc k 令令：,niijixTaylora bc 将将其其在在点点展展开开，为为使使方方法法的的阶阶数数高高，令令展展开开式式前前面面尽尽可可能能多多的的项项的的系系数数为为零零，从从中中解解出出。mRunge-Kutta级级公公式式第22页/共44页R-K二二. . 二二阶阶公公式式12221111122(,)(,)()nnnnnnkf xykf xa h

19、 yb hkyyh c kc k 22112,abc c下下面面确确定定系系数数使使其其精精度度尽尽可可能能高高。考考虑虑局局部部截截断断误误差差：11()nnTy xy12(),Taylornnnyy xkkx 设设将将在在点点展展开开：1(, ()()nnnkf xy xy x 2221(, ()()nnnkf xa h y xb hy x 3221(, ()()()nnxnyf xy xa hfb hy xfo h11122()()nnyy xh c kc k 12()()()nny xcc hy x 2322221()()xnyc a h fc b hy xfo h第23页/共44页2

20、31()()()()()2nnnnhy xy xhy xyxo h 11122321222()1()()1()()()2nnnnxnyy xycchy xbhyxc afy xfO ha 令令1221222(1()()01()()02nnxnyccy xbyxc afy xfa 1221221()01()()2naxnyccbyxc afy xfa 得得故故12212221()()1/ 2xnynccbfy xfyxac a 2121ba 1222212112/1ccc aba 综综上上可可得得：第24页/共44页122211(1).,12ccab 时时 121112(,)(,)/ 2nnnn

21、nnkf xykf xh yhkyyh kk Euler 改改进进的的公公式式122211(2).0,1,2ccab取取时时12112(,)1(,)22nnnnnnkf xyhkf xyhkyyhk Euler-变变形形的的公公式式1222212112/1ccc aba 12221111122(,)(,)()nnnnnnkf xykf xa h yb hkyyh c kc k 第25页/共44页)4(63211KKKhyynn),(111nnyxfK)2,2(1112KhyhxfKnn)2(,(12113KKhyhxfKnn)(00 xyy 三、三阶Runge-Kutta方法第26页/共44页

22、)22(643211KKKKhyynn),(111nnyxfK)2,2(1112KhyhxfKnn),(3114hKyhxfKnn)(00 xyy )2,2(2113KhyhxfKnn四、四阶Runge-Kutta方法第27页/共44页,1,2,3,41,5,6,72,8mmPmmmm 所以大于4阶的公式较少使用.可以证明m级显式R-K公式的精度为：第28页/共44页 4 常微分方程组和高阶 微分方程的数值解法一、常微分方程组的数值解法00212002212210012111)(),()(),()(),(nnnnnnnyxyyyyxfyyxyyyyxfyyxyyyyxfy下列包含多个一阶常微分

23、方程的初值问题-(1)称为常微分方程组的初值问题第29页/共44页(1)式具有n个未知函数做如下假设12,nyyyy12( , )( , )( , ),( , )nf x yfx yf x yfx y101020200000()()()()nny xyyxyyy xyxy则(1)式化为00( , )()yf x yy xy-(2)第30页/共44页只要将以前所介绍的各种求解方法中的函数转化为函数向量,即可得到相应的常微分方程组的数值解法例：建立求下面方程组的Euler公式0000( )( , , ), ()( )( , , ), ()u xx u v u xuv xx u v v xv解：,(

24、 , )( ,)TTyu vf x y 令则上述方程组可表示为：00( , )()yf x yy xy第31页/共44页则Euler 公式为00( , )()yf x yy xy1(,)nnnnyyhf xy11(,)(,)nnnnnnnnnnuuxu vhvvxu v第32页/共44页 )1(00)1(0000)()()(NNyxyyxyyxy 高阶微分方程的初值问题可通过变量代换为一阶微分方程组的初值问题.设有N阶常微分方程初值问题引入新变量 Z=(Z1 , Z2 , , ZN)二、高阶常微分方程的数值解法简介()( )( , ,)Nnyf x y yy 第33页/共44页作变换得:12(

25、1)NNzyzyzy 令令1223111( ,)NNNNzzzzzzzf x zz 可用方程组的方法求解100200(1)00()()()NNzxyzxyzxy 第34页/共44页例2. 求下列高阶微分方程的数值解03 yyyy1)0(, 1)0(,0)0( yyy)20( x解:显然yyyy 3假设yy 1yy2yy 3则21yy 23yy 33213yyy y 123(0)0,(0)1,(0)1yyy 第35页/共44页即二阶问题化为微分方程组的初值问题21yy 32yy 12333yyyy1)0(, 1)0(,0)0(321 yyyGaojiefangcheng.mgaojie.mfun

26、ction z=gaojie(x,y)z=y(2);y(3);y(1)*y(2)+3*y(3);第36页/共44页 x y 0 0 0.1000 0.0945 0.2000 0.1754 0.3000 0.2381 0.4000 0.2765 0.5000 0.2822 0.6000 0.2436 0.7000 0.1451 0.8000 -0.0342 0.9000 -0.3230 1.0000 -0.7586function gaojiefangcheng()xspan=0:0.1:1;y0=0,1,-1;x,y=ode45(gaojie,xspan,y0);x,y(:,1)plot(x,

27、y(:,1)xlabel(x)ylabel(y)第37页/共44页00.20.40.60.81-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6xy第38页/共44页5 收敛性和稳定性收收敛敛性性qq00,().lim( ).nnnxxyxxxhyy xn 设设是是求求解解区区间间中中任任一一点点是是用用某某种种数数值值方方法法求求得得的的在在 处处的的近近似似解解 步步长长如如果果则则称称该该数数值值方方法法是是收收敛敛的的稳稳定定性性qq,(),.nnmyymn 若若某某种种数数值值方方法法在在上上有有误误差差由由此此引引起起以以后后各各节节点点上上近近似似解解误误差差均均不不超超过过则则称称该该