圆锥曲线的离心率问题高考优化训练

1、1.离心率的值圆锥曲线离心率高考优化训练22例1 ：设F1, F2分别是椭圆C:xT 4 1 a a b0的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F2 30 ,则椭圆的离心率为（B 3B.6C.从而PF2本题存在焦点三角形 PF1F2,由线段PFi的中点在y轴上，O为F1F2中点可得PFJ/y轴,F1F2,又因为PF1F230，则直角三角形 PF1F2 中，|PF1|：|PF2：|F1F22:1: J3,且 2a PFi| PF2I，2c 怛怎|,所以2cF1F2I近2a |PFiPF23,故选A.2.离心率的取值范围22例2:已知F是双曲线与 a bE是该双曲线的右顶

2、点，过点 F且垂直于的直线与双曲线交于A, B两点，若A.1,B.1,2的左焦点,0,b 02,12率e的取值范围为（【解析】从图中可观察到若 ABE为锐角三角形，只需要 AEB为锐角.由对称性可得只需AEF即可.且AF , FE均可用c表示，|AF是通径的一半，得:AF ； FE所以tan AEFAFb2FE a a cca 1a，即e 1,2 ,故选B.对点增分集训、单选题21.若双曲线C: a2与1 a 0,b 0的一条渐近线经过点 b2,则该双曲线C的离心率为（8A.J0B. ,5C.13-2-D. _52【解析】Q双曲线的渐近线过点代入b-x ,可得: ae1 3D.2 .倾斜角为的

3、直线经过椭圆 4右焦点F ,与椭圆交于A、B两点，且uurAFuuu2FB ,则该椭圆的离心率为（B 2B.2C.D. -J2所以ti化简得设直线的参数方程为t228c2 . c t2-It2，代入椭圆方程并化简得2 2t . 2b ct0,2 2b2c-2TT a bt1 t22b422 一a bi2 ，b二3uur 由于AF.故选A.3 .九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,还提出了是双曲线uur2FB ,即 t1第九章“勾股”，次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾” “股”22 I 1 a 0,b 0 ,的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若a b“勾” “股”，且

4、 PE PF2B.3即 |pfJ2代入上述韦达定理,讲述了 “勾股定理”及一些应用,Fi、F2分别PF1I , PF2 分别是 RDFFF2 的4ab ,则双曲线的离心率为（C. 2D.由双曲线的定义得 PF1 PF22a ,所以PFi PF22 4a2,2PF22 PFJ |PF24a2 ,由题意得PF1222PF2,所以 |pfJ IPF2IF1F2I又 IPF1I |PF2 4ab,所以 4c228ab 4 a ,解得 b2a ,从而离心率D.24.已知双曲线G :三 a2上12 I ba 0,b 0的一个焦点F与抛物线C22:y 2Px p 0的焦点相同，匕们交于A, B两点，且直线

5、AB过点F ,则双曲线 G的离心率为（A. 2B. ,3【答案】CC.2 1D. 2【解析】设双曲线Ci的左焦点坐标为F' c,0,由题意可得:则 A 旦 p , Bp, p，即 A c,2c , B c, 2c , 22又：| AF 1 AF 2a , | AF 'F'F|2 |AF/ 2 2c 22c 272c ,据此有：2辰2c 2a,即22 1 c a,则双曲线的离心率：e5.已知点 P Xo,yo x012 2 12 X 在椭圆C:-2 a1 .本题选择2y2 1ab bC选项.0上，若点M为椭圆C的右顶点，且POPM ( O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的

6、取值范围是（）八3A.0,3B. 0,1C1,1D.呼为：X由题意POPM ,所以点P在以OM为直径的圆上，圆心为 a,0 ,半径为-a ,所以圆的方程 22与椭圆方程联立得:b2 X2 ax b2 0,此方程在区间0,aa上有解,由于a为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于9与a之间,22 所以- -a ,结合a b c ,解得2 1 ,2b22 2c2 1 a根据离心率公式可得 e 1 .故选C. 2226.已知椭圆xy 冬1 a b 0 ,点A, B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 a bP ,使得 APB 120 ,则该椭圆的离心率的最小值为（）A. J2B. -J2C

7、.D. 34【解析】因为tan故选C.设M为椭圆短轴一端点，则由题意得OMA a ,所以aAMBAPB 120 ,2-22a 3 a c即 AMO 60 ,27.已知双曲线x2 a2A i的左，右焦点分别为Fi,F2,点P在双曲线的右支上，且| PFi4PF2 ,则此双曲线的离心率e的最大值为（A. 43B.C. 2D. 73【解析】由双曲线的定义知PF1PF22a；又PFi4 PF2I ,联立解得PFi8a a,3PF22a a ,3在PF1F2中，由余弦定理,得 cos F1PF264 2a94a982/24ci7了要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值,当cosFiPF2i时，解得

8、55e 5 ,即e的最大值为5 ,故选B.解法二：由双曲线的定义知PFiPF2I 2a ，又 I PFi4PF2 ,，联立解得| PFi -a,32PF2 2a,因为点P在右支所以3a故5a3即e的最大值为g，故选B.3228.已知椭圆x2与i a ba b的左、右焦点分别为 Fi,F2，点P在椭圆上，O为坐标原点,若OP2|FiF21，且 PFi| PF22a ,则该椭圆的离心率为（A. 34【答案】B 3B.2D.由椭圆的定义可得，PFi PF2 2a,又 PFi| IPF2a2,可得 PFi PF2a ,即P为椭圆的短轴的端点,OP b ,且 OP j|FiF2 c,即有 c b 后一c

9、2 ,即为 a V2c, e且故选D 22x2x与双曲线2卷1 a b 0有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为（A.1,5B.D.5,【解析】双曲线2 xF a2 y_的渐近线方程为由双曲线与直线2x有交点,则有则双曲线的离心率的取值范围为10.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1, F2是一对相关曲线的焦点, _ Pe,分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点,F1PF2 60 ,则双曲线的离心率B.C.3D. 3可得PFi设F1c,0 , F22a, PFi由余弦定理可得即有4c2c,0 ,椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为 m,PF

10、2 2m,可得 PF1 a m, PF2 am,F1F22 PF12 PF22 2PF1 PF2 cos60 ,由离心率公式可得工e132e24 , se 1 ,即有 e244e22 3 0 ,解得金73 ,故选C.11.又到了大家最喜（tao )爱（yan）的圆锥曲线了.已知直线l : kx y2k 1 0与椭圆22-xyC1 : -21 a bab.一 uurujir.0交于A、B两点，与圆C2 :1交于C、D两点.若存在k使得AC DB ,则椭圆G的离心率的取值范围是（A 0，2B.i，1C.。小【解析】直线l : kx y 2kQ直线l恒过定点2,1 , 直线l过圆C2的圆心,10UU

11、IT ILLT QAC DB,AC2C2B,C2的圆心为A、 B两点中点,X2,y22 X1 T a2 X2 -2 a2 y1 b22 y2 丁上下相减可得:X1X2化简可得XiX2b2yy2y1 V2y1V2b，b22 2k ,a2 bF a0,4L,1 , e222xyyV2X1X2,故选C.12.已知点P为双曲线b 0右支上一点，点 F1, F2分别为双曲线的左右焦点，点I是17 PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心）1,若恒有SA ipfSA ipfMaiff成立，则双曲线的离心率取值氾围12x y2px p 0 与双曲线2 1 a 0, b a b 31 2A.1,2B.1,2C.0

12、,3D.1,3设PF1F2的内切圆半径为r,由双曲线的定义得PR |PF2 2a /F1F2 2c,1SA PF11PF1 r由题意得 PR11SAPF22 PF2 r，SApf1f2- 2c r cr ,1|PF2 r ；cr ,故 c 3 | PF1 |PF23a,1,所以，双曲线的离心率取值范围是1,3,故选D.二、填空题13.已知抛物线0有相同的焦点F，点A是两曲线的一个ABF是等边三角形,所以 lAFj2 16c2交点，若直线 AF的斜率为 6,则双曲线的离心率为【答案7- 3【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为F1?由于AF的斜率为近,所以 BAF 60 ,且AF AB ,所

13、以所以 F1BF 30 ,所以 BF1 2显,BF 4c,24c 2 4c 2c cos120 28 ,所以AFi 2 J7c ,由双曲线的定义可知 2a 2 J7c 4c ,所以双曲线的离心率为72 .32214.已知双曲线 二 t2 1 a 0,b 0 ,其左右焦点分别为 Fi, F2,若M是该双曲线右支上一点, a b满足 3,则离心率e的取值范围是MF2【答案】1,2【解析】设M点的横坐标为x ,1MF4 3, M在双曲线右支上 x a，根据双曲线的第二定义,MF222aa可得 3e x - e x 一 , ex 2a,ccQ x a , ex ea, 2a ea, e 2 , Q e

14、 1 ,1 e 2,故答案为 1,2 .22x y15.已知椭圆 二 41 a b 0的左、右焦点分别为 F1, F2,过F1的直线与椭圆交于 A, B的两点, a b且AF2 x轴，若P为椭圆上异于 A, B的动点且SA pab 4SApbf1 ,则该椭圆的离心率为 .【答案】32【解析】根据题意，因为 AF2 x轴且F2 c,0，假设A在第一象限，则 A c, a过B作BC x轴于C,则易知八片尸2BFC ,由 Skab 4SaPBF/导 AF1 3BF1 ,所以 AF2I 3BC , IF1F2I 3CF1 , 22. 2所以B 5c,，代入椭圆方程得与-by 1,即25c2 b2 9a

15、2,3 3a9a 9a又b2 a2 c2,所以3c2 a2,所以椭圆离心率为e c . a 3故答案为，3.32216.在平面直角坐标系 xOy中，记椭圆 与 4 1ab 0的左右焦点分别为 F1, F2 ,若该椭圆上恰好 a b有6个不同的点P,使得EF2P为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是 .2,1【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P,使得4尸F2P为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称,设P在第一象限，PF1 PE,当PF1F1F2 2c 时，PF, 2a PF1 2a 2c,即2a2a 2c,解得又因为e 1,

16、所以12当PF2F1F2 2c 时,PFi2a PF22a即2a2c2c 且 2c解得:综上-e211或一3三、解答题的的离心率为J3,则220,b17.已知双曲线C：与4 a b(1)求双曲线C的渐进线方程.(2)当a 1时，已知直线0与双曲线C交于不同的两点 A, B,且线段AB的中点在圆x2y2 52,上，求m的值.【答案】(1) y 或x；【解析】(1)由题意，得2222 b b c a 2a ,即一2 a所求双曲线C的渐进线方程y(2)由(1)得当a 1时，双曲线C的方程为x2设A,B两点的坐标分别为X1,y1X2,y2 ,线段AB的中点为MXo,yo ,2y 151 ，得X2y m

17、 022mx m(判别式A0),XoX1X2m, y2,一点M %,y0在圆x25 上，22m5,a b 0的左焦点为1,0 ,离心率若直线l经过椭圆C的左焦点F ,交y轴于点uiDuur uuuP ,且满足PAAF , PBuuuBF .求证:为定值;若OA OB ,求OAB面积的取值范围.【答案】（1）二y I 9,故1oab 学综上Saoab t 242222 1；见解析，3 Sa OAB 22【解析】（1）由题设知，- 2,c 1,所以a2 a 22所以椭圆C的标准方程为y2 1 .2（2）由题设知直线l斜率存在，设直线l方程为y k x 1 ,则P 0,kX1,y1 ,B X2,y2直线l代入椭圆所以X1X24k22k2X1X22k2 21 2k22X 27 yuur由PAuuirAF ,2kuuuPB22_ 2x 4kx 2kuurBF知X11X1X21x2X1X22x1X21X1x2X1X24k21 2k24 k2121 2k4k2 41 2k2 2k2 2 1 2k2当直线OA, OB分别与坐标轴重合时，易知SA0AB当直线