中考复习之函数、方程、不等式综合应用专题

1、2011 年中考复习二轮材料函数、方程、不等式综合应用专题李建敏一、专题诠释函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此

2、，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学

3、知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。二、解题策略和解法精讲函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与 x轴的交点坐标问题，利用A与0的关系可以判定二次函数与x 轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式A R0等。一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b(aw。，a,b为常数)中，函数的值等于 0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0 (a*0)的解，所对应的坐标(b/a ， 0)是直线y=ax+b 与 x 轴

4、的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式 ax+b0 (a*0)的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式 ax+b0 (aw。)的解.一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。两条直线的位置关系与二元一次方程组的解：(1)二元一次方程组有唯一的解 直线y=kix+bi不平行于直线 y=k2x+b2 kiwk2.(2)二元一次方程组无解 直线 y=kix+

5、bi/直线 y=k2x+b2 k i=k2, bi*b2.(3)二元一次方程组有无数多个解 直线y=kix+bi与y=k2x+b2重合k i=k2, bi=b2.在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。三、考点精讲考点一：函数与方程(组)综合应用例i. (20i0广西梧州)直线 y=2x+b与x轴的交点坐标是(2, 0),则关于x的方程2x+b =0的解是x=【分析】:直线 y=2x+b与x轴的交点坐标是(2, 0),则x=2时，y=0, 关于x的方 程2x+b= 0的解是x=2。【解答】

6、2【评注】本题考察的灵活运用所学的一次函数知识解决问题的能力，方法可以不同，但直接把函数转化为方程，理解它们之间的对应关系，无需求b 值，就会加快解题速度。例 2(20i0 青海)某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5 元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价i 元，销售量将减少i0 千克(1)现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【分析】(1)根据利润的等量关系，列出方程，再根据题意，舍掉xi (2)代入X-b2a即可【解答】解：

7、(1)设每千克应涨价 x元，列方程得：(5+x)(200 x)=1500解得：X1 = 10 x 2=5 因为顾客要得到实惠，5 10所以x=5答：每千克应涨价 5元.(2)设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(200- 10x)= 10x2+150x 500当*= -b5一 7.5时,y有最大值.2a 2 ( 10)因此，这种水果每千克涨价7.5元时，能使商场获利最多【评注】(1)中列方程解应用题关键是找出相等关系，根据实际情况，解答的取舍很关键，这是个易错点(2)中二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的最值即可

8、解题.考点二：函数与不等式(组)综合应用例1. (2010江苏镇江)深化理解对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为1 1即：当n为非负整数时，如果 n- -&xn+一 则=n2 2如：= =0, = = 1, =2, = =4,试解决下列问题：11)填空： = (n为圆周率)；如果=3,则实数x的取值范围为 ;(2)当x 0,m为非负整数时，求证：x m m x ；举例说明 x yy 不恒成立;4.(3)求满足 = x的所有非负实数 X的值；3(4)设n为常数，且为正整数，函数y = x2 x+J的自变量x在nx n+1范围内取值时,4函数值y为整数的个数记为 a；满足 = n的所有整数k的

9、个数记为b.求证：a= b= 2n.【分析】 第一空：冗y3,所以填 3;第二空：根据题中的定义得3- 1 2x-13+-,22解这个不等式组，可求得 x的取值范围；(2)根据定义进行证明和举反例；(3)用图象法解，可设y=, y = - x ,在直角坐标系中画出这两函数的图象，交点的横坐标就是x的值.(4)3，1根据在一 nx n+ 1范围内y随x的增大而增大，所以可得出y的取值范围，从而求出 y的21 1整数解的个数，同样地由定乂得，n-？ Jk n+ -,把此式两边平方可得2 2.1、21、2 .(n- -) ? k (n+ -)小与y的取值范围一致.所以 a=b.22八7 )91 21

10、)3；一w x ( n -) ? k442(2)证明： 法一设= n,则n x n+ , n为非负整数；22一 11又(n+n) x+m (n+n)H，且 m n为非负整数,22 = n+ m= m+ 法二设x= k+ b, k为x的整数部分，b为其小数部分1)当 0 b0.5 时，= kx=(m k) + b, vm- k为mx的整数部分，b为其小数部分= m+ k -= m+ 2)当 b0.5 时，=k+1则m x= (k) + b, m+ k为m x的整数部分，b为其小数部分= m+ k+ 1 = m+ 综上所述：= m+ 举反例： + =1 + 1 = 2,而 = = 1 , + ,x

11、+= v x+y不一定成立.(3)法一作 yx4的图象，如图(注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分)41244法二:乂。，一 x为整数，设一x = k, k为整数33OQ131则 X=，.= k, . k - -k k -,k 044242. o k2,k=o,1, 2c 3 3 x = 0,41211(4) :函数 y = x2-xh=(x)2, n 为整数，42当n x n+ 1时，y随x的增大而增大，1111 ( n )y(n+1)即(n)y(n+ 一 ),22222121. - n n+ y n + n+ , y 为整数44y= n2 n+ 1, n2 n+ 2, n

12、2 n+ 3, , n+2n,共 2rl 个 y.- a = 2n (8 分)1 z 1、2n ? (n 2)z 1 2(n -)，比较，得：a= b= 2n【评注】这是一道创新题，要求学生读懂定义，能用定义解决简单的实际问题，然后能更进一步地结合已经学过的知识进行拓展， 是一道不易的压轴题， 学生要在短时间解决此问题， 要 求平时的学习要有一定的创新思维， 特别是自学习能力的培养显得尤为重要. 就这题而言，对不 等式组，及不等式组的整数解的应用要掌握得非常熟练， 还有二次函数式的变形能力也要求较高.例2. （2010湖北荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品

13、供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元.已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价yi （万元）之间满足关系式 yi=i70-2x,月产量x （套）与生产总成本 y2 （万元）存在如图所 示的函数关系.（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？【分析】（1）用待定系数法，根据图形容易求解；（2）根据题意列不等式组，可求得月产量x的范围；（3）利用利润=总售价-总成本，根据二次函数的性质求解.【解答】解：（1）

14、y2=500+30x.（2）依题意得:500 30x 50x,170 2x 90.解得：25 x 40(3)Wxy1-y2=x(170-2 x)-(500+30 x)=-2 x2+140x-500,W=-2( x-35) 2+1950.而 25350, b0,有 7 aR0,所以 0VaC7；由 c-a=5,得 c=5+a,因为 O0,所以 5+a0,即 a- 5, 由于 a0,所以一定有 a- 5,所以 0VaC7,所以 m= 7+12=19, n=0+12=12,从而 m- n = 7-0 = 7.【解答】7【评注】 代数式的最值问题是中学数学中比较常见的问题，这类问题解法多样，灵活性较强

15、，常用的方法有：配方法、计算法、消元法、构造法、换元法、利用基本不等式法，等等.例 2（2010 福建福州）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8 元用 124 元恰好可以买到3 个书包和2 本词典（ 1 ）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（ 2）郑老师计划用l000 元为全班40 位学生每人购买一件学习用品（ 一个书包或一本词典）后.余下不少于i ooe且不超过120元的钱购买体育用品.共有哪几种购买书包和词典的方案？【分析】 利用购买3 个书包和2 本词典的总价及二者单价间的关系可用一元一次方程求出书包和词典的单价；而在（2）中，根据购

16、买书包和词典的价格范围列一元一次不等式组求出书包的范围，再根据书包的取值为正整数求出方案【解答】（ 1）解：设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为（ x 8） 元根据题意得：3 x +2（ x8） = 124解得：x= 28.x- 8 = 20.答：每个书包的价格为28 元，每本词典的价格为20 元（2）解：设日匀买书包 y个，则购买词典（40y）本.根据题意得：1000 23y 2040 y） 100,1000 28y 2040 y） 120.解得：10y12.5 .y 取整数，所以y 的值为 10 或 11 或 12所以有三种购买方案，分别是：书包 10 个，词典30 本；书包11

17、个，词典29 本；书包12 个，词典28 本【评注】利用一元一次方程（或二元一次方程组）与一元一不等式组结合来设计方案问题是中考的热点.解答这类问题关键是根据题意列出不等关系，再根据实际问题求出不等式（或组）的整数解来确定方案考点四：函数、方程（组）与不等式（组）综合应用例 1（2010 湖南衡阳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。 由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。生产开始后，调研部门发现：1 名熟练工和2 名新工人每月可安装8 辆电动汽车；2 名熟练工和3 名新工人每月可安装

18、14 辆电动汽车。（ 1 ）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘 n （0n10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（ 3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000 元的工资，给每名新工人每月发1200 元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？【分析】（1）可列方程组解决问题；（2）是一个不等问题，可设需熟练工m名可列出二元一次方程和不等式；（3）根据一次函数性质解答.【解答】（1） 每名熟练工和新工人每月

19、分别可以安装x、 y 辆电动汽车，根据题意可列方程x 2y 8x 42x 3y 14，解得y 2答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、 2 辆电动汽车.（2）设需熟练工 mg,依题意有：2nx 12+4m 12=240,n=10-2m-.1 0n10.1. 0m5故有四种方案：（n为新工人）1 n（3）依题意有 W=1200n+ （5- 2 ） X 2000=200 n+10000,要使新工人的数量多于熟练工,满足n=4、6、8,故当n=4时，W有最小值=10800元【评注】新课程标准倡导数学来源于生活，又服务于生活.一次函数一种重要的数学模型，利用一次函数知识可以解决许多实际问题.在近年

20、来中考中，出现了不少关注社会热点，运用一次函数知识求解生活中实际问题的试题.这些试题不仅考查同学们对一次函数知识的掌握情况，而且考查同学们分析问题和解决问题的能力例2. （2010湖北十堰）如 图所示，某地区对某种药品的需求量y （万件），供应量y2 （万件）与价格x （元/件）分别近似满足下列函数关系式：y尸x + 70 , y2=2x 38,需求量为0时，即停止供应.当yy2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量11）求该药品的稳定价格与稳定需求量（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以

21、利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加 6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴,才能使供应量等于需求量4 y（万件）1）由题意知当y1=y2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量,即把y1=-x + 70, y2=2x 38联立方程组求解.（2）求该药品的需求量低于供应量时的价格范围,从图象上看就是求交点右侧部分所对应的自变量x的范围.（3）正确理解题意是关键，通过联立方程组求解.稳定需求量增加 6万件，即y1=34+6=40万件；供应量等于需求量，即y1=y2.y1 x 70【解答】解：（1）由题可得，y2 2x 38当 y1=y2时，即一x+70=2x 38.3x=10

22、8,x=36当x=36时，y尸y2=34,所以该药品的稳定价格为36元/件，稳定需求量为 34万件.（2）令y0,得x=70,由图象可知，当药品每件价格在大于36元小于70元时，该药品的需求量低于供应量.（3）设政府对该药品每件价格补贴a元，则有34 6 x 7034 6 2(x a) 38x 30a 9所以政府部门对该药品每件应补贴9元.【评注】应用函数解决实际问题是中考考查的重点.本题以药品供应及需求为背景，综合考查一次函数与一元一次不等式、方程的关系，具有一定的效度四、真题演练1. （2010年黑龙江哈尔滨中考题）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的

23、矩形 ABCD设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S （单位：平方米）.（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；若矩形 ABCD勺面积为50平方米，且 AB15.16 x10.“1610 x 0, ,一次函数 y随x的增大而增大.即当x=12时，y有最大值，y最大=0.3 X 12+12=15.6 (万元)此时，W=6 13% 12+4X 13% 18=18.72 (万元)3.解：设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设(x 20)米.根据题意得:350250x x 20解得x=70.检验：x = 70是原分式方程的解.答：甲、乙工程队每天分别能铺设

24、70米和50米.（2）解：设分配给甲工程队 y米，则分配给乙工程队（1000 -y）米.y 10,由题意，得 70解彳导500 y 700 .1000 y _ 10.50所以分配方案有 3种.方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队 500米;方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米;方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米.4.解：设应安排x天进行精加工,y天进行粗加工,根据题意得:x+ y = 12, 5x+ 15y= 140.解得y：4：答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工.精加工 m吨，则粗加工（140-nD吨，根据题意得:W 2000m+ 100

25、0 （ 140一成=1000m 140000. 要求在不超过 10天的时间内将所有蔬菜加工完,m 140 m丘力/口7-0 10 解得 5.515.1- 00,.W随m的增大而增大，.当 m= 5 时，Wax= 1000X5+ 140000= 145000.精加工天数为 5+5= 1,粗加工天数为（1405） +15= 9.145000 元.安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为第二部分练习部分1. (201。年四川绵阳中考题)已知关于x的一元二次方程x2=2(i m xm的两实数根为 Xi , X2.(1)求m的取值范围；(2)设y = Xi + X2,当y取得最小值时，求相

26、应 m的值，并求出最小值.2. (201年山东淄博中考题)已知关于 x的方程x2 2(k 3)x k2 4k 10.(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1,求k的值；22(3)若以万程x 2(k 3)x k 4k 10的两个根为横坐标、 纵坐标的点恰在反比例函数y m的图象上，求满足条件的m的最小值.x3. (2010四川巴中中考题)“保护环境，人人有责”为了更好的治理巴河，巴中市污水处 理厂决定购买 A、B两型污水处理设备，共10台，其信息如下表：单彳(力兀/台)每台处理污水量(吨/月)A型12240B型10200(1)设购买A型设备x台，所需资金共为 W元，

27、每月处理污水总量为y吨，试写出 W与x, y与x的函数关系式.(2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于 2040吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？4. (2010年广西玉林中考题)玉柴一分厂计划一个月(按 30天计)内生产柴油机 500台。(1)若只生产一种型号柴油机，并且每天生产量相同，按原先的生产速度，不能完成任务；如果每天比原先多生产 1台，就提前完成任务。问原先每天生产多少台？(2)若生产甲、乙两种型号柴油机，并且根据市场供求情况确定；乙型号产量不超过甲型号产量的3倍。已知：甲型号出厂价 2万元，乙型号出厂价 5万元，求

28、总产值 w最大是多少万元。5. (2010年四川成都中考题)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到 2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆.(1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2)为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10% .假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽

29、车数量最多不能超过多少万辆.6. (2010年广西河池中考题)去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件.(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件.则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多

30、少元？7. (2010年浙江竦州中考题)为支持玉树搞震救灾，某市A、B、C三地现分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需全部运往玉树重灾地区D E两县，根据灾区情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往 E县的数量的2倍少20吨。(1)求这赈灾物资运往 D E两县的数量各是多少？(2)若要求C地运往D县的赈灾物资为 60吨，A地运往D的赈灾物资为 X吨(X为整数)，B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的 2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨，则A、B两地的赈灾物资运往 D、E两县的方案有几种？(3)已知A、B C三地的赈灾物资运往 D、

31、E两县的费用如下表:A地B地C地运彳i D县的费用（元/吨）220200200运彳i E县的费用（元/吨）250220210为即时将这批赈灾物资运往D E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？1 28. （2010年福建泉州中考题）如图所不，已知抛物线y _X x k的图象与y轴相交于4点B （ 0 ,1 ），点C（m,n）在该抛物线图象上，且以 BC为的。M恰好经过顶点 A .（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）若点P的纵坐标为t,且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：当S1 S $2时，求t的取值范围（其中

32、：S为PAB的面积，S1为OAB的面积,S2为四边形OACB勺面积）；当t取何值时，点 P在。M上.（写出t的值即可）答案：1.解：(1)将原方程整理为 x2+2 m m- 1) x+m2=0.;原方程有两个实数根，1.=2 ( m- 1) 2 - 4m2=- 8m+4 0,得 me - .2(2) -. X1, x2 为 x2+2 (m 1) x+m2=0 的两根，1. y=x1+x2= 2m+2,且 m0,解得k 20010m 20（8 m） 120解这个不等式组，得2 m 4m为整数，m= 2或3或4,安排甲、乙两种货车时有3种方案.设计方案分别为：甲车2辆，乙车6辆；甲车3辆，乙车5辆；甲车4辆，乙车4辆.（ 3 ） 3 种方案的运费分别为：2X400+6X 360= 2960 元； 3X400+5X 360= 3000 元； 4X400+4X 360= 3040 元.:方案运费最少，最少运费是2960元.答 : 运输部门应选择甲车2 辆，乙车6 辆，可使运费最少，最少运费是2960 元7. （1）设这批赈灾物资运往D 县的数量为a 吨，运往E 县的数量为b 吨由题意，得a b