中考复习专题：隐圆知识讲解

1、中考复习专题：隐型圆一、根据圆的定义作辅助圆例 1 如图，四边形 ABCM, AB/ CD AB= AC= AA p, BC= q,求 BD的长.例2、如图，正方形ABCD勺边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按 月-ETC T0Tx滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按 5 一。口小幺一方滑动到点b为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为II变式1:在矩形ABCD43,已知AB=2cmi BC=3cm现有一根长为 2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，

2、则木棒 EF的中点P在运动过程中所围成的图形 的面积为14变式2:如图，在矩形 ABCD, AB=2, AD=3点E,F分别为AD,DC边上的点，且 EF=2, G为EF的中 点，P为BC边上一动点，则 PA+PG勺最小值为 变式3:在平面直角坐标系中，点 A的为坐标为（3, 0） , B为Y轴正半轴上的点，C是第一象限内的点, 且AC=2设tan / BOC=m则m的取值范围为 变式4:如图，在矩形 ABCD中，AB = 4, AD = 6, E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将 AEBF 沿EF所在直线折叠得到 AEB' F,连接B' D,则B' D的小值是

3、式5:在RtAABC中，/ C=90° , AC=6 , BC=8 ,点F在边AC上，并且 CF=2,点E为边BC上的动点,将4CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是变式6:如图，在 ABC中，/ ACB=90 ° , AB= 5, BC=3,是AB边上的动点（不与点 B重合），将 BCP 沿CP所在的直线翻折，得到 B' CP,连接B' A,则B' A长度的最小值是 . |变式7:如图，在平行四边形 ABCD中，/ BCD=30 ° , BC=4 , CD=31,M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将 AM

4、N沿MN所在直线翻折得到 A' MN ,连接 A' C,则A' C长度的最小值是网得理点书练习：如图，矩形 ABCD中，AB=4 , AD=3 , M是边CD上一点，将 AADM 沿直线AM对折，得到 AANM .(1)当AN平分/ MAB 时，求 DM的长;(2)连接BN,当DM=1时，求AABN的面积;(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.2 .共端点两条线段为定长在 ABC中，AC=4,AB=5,则 ABC面积的最大值为 变式1:已知在四边形 ABC邛，AD+DB+BC=1,6则四边形 ABC面积的最大值为 变式2:在 ABC中，AB=3 , AC=

5、有 当/ B最大，BC的长是3 .共端点三条线段为定长引列 如图，已知 AB=AC=AD, Z CBD=2 Z BDC , Z BAC=44 ° ,则/ CAD 的度数为 引列图变式1图变式1:如图，在四边形ABCM, DC/ AB, BC=1, AB=AC=AD=2 贝U BD=变式2图变式3图变式2:如图，在等腰ABC中，AC=BC / C=70°，点P在4ABC的外部，且与点 C均在 AB的同侧.如果PC=BC ,那么/ APC=变式 3:如图，在 OAB 中，OA=OB , /AOB=15° .在 OCD 中，OC=OD, / COD=45 °

6、,且点 C 在OA边上.连接CB,将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段 OE,使得DE=OE,则/ BOC的 度数为.知识架构如图，点A(2,0),B(6,0),CB，x轴于点AC在y轴正半轴 求作点P,使/ APB= / ACB.(尺规作图，保留作图痕迹)归纳：当某条边与该边所对的角是定值时，该角的定点的轨迹是圆弧方法：见直角 一找斜边（定长） 一想直径 一 定外心 一 现“圆”形。引例 已知A,B两点在直线L的异侧，在L上求作点P,使PAB为直角三角形，（尺规作图，保留 痕迹）变式1:如图，在等腰 RtABC中，/ ACB=90 , AC=BC=4 D为线段AC上一动点，连接 BD

7、,过点C作CH LBD于点H,连接AH则AH的最小值为.变式2:如图，在正方形 ABCD43, AB=2动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运 动，点E, F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF,BE相交于点P,则线段DP的最小值为.变式3:直线y=x+4分别与x轴，y轴相交于M, N,边长为2的正方形OAB5个顶点O在坐标系的原点, 直线AN与MC相交于P.若正方形绕着点。旋转一周，则点 P到点(0,2 )长度的最小值是 .方法三：见定角一找对边(定长)一想周角一转心角一现“圆”形问题提出：如图，已知线段 AB,试在平面内找到符合所有条件的点C,

8、 /ACB=30。(利用直尺和圆规作图，保留作图痕迹,不写作两IAB自主探索1:在平面直角坐标系中，已知点 A (3, 0), B (-1.0), C是y轴上一动点.当/BCA=45°时, 点C的坐标为-X 6 5: 4A J 3I 2 y 一 一5 4 3 2BO-1，-3-42自主探索2图A (3,0), B (-1,0 ), C是 y 轴上一动点.当/BCA=60 时,自主探索1图自主探索2:在平面直角坐标系中，已知点 点C的坐标为+y3.2-+ y5-4_3.2-1B-1 o-1 一1B-1 o-1 一-2-3-4-5-I自主探索3图-2 -3 -4-5自主探索4图自主探索

9、点C的坐标为3:在平面直角坐标系中，已知点A (3,0 ), B (-1,0 ) , C是y轴上一动点自主探索 点C的坐标为4:在平面直角坐标系中，已知点A (3,0 ), B (-1,0 ) , C是y轴上一动点.当 / BCA=120 时,.当 / BCA=135 时,P,使/ APB=30B变式1图变式1:如图，B是线段AC的终点，过点C的直线l于AC成60°角，在直线l上取一点则满足条件的点P的个数是且保持AE=CD ,变式2:如图，在边长为 2Vm的等边 ABC中，动点 D, E分别在BC, AC边上,连接BE, AD ,相交于点P,则CP的最小值为变式3:如图，点A与点B

10、的坐标分别是 A (1,0), B (5,0), P是该平面直角坐标系内的一个动点变式4:(1)请利用以上操作所获得的经验，在图的矩形ABC咕部用直尺于圆规作出一点P,使点P满足:/BPC=/BEC,且PB=PC。(要求：用直尺与圆规作出点 P,保留作图痕迹)图(2)如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B,坐标为(2,成，过点B作AB±y轴，BC±x轴，垂足分别为 A, C若点P在线段AB上滑动(点P可以与A,B重合)，发现使得/OPC=45°的位置有两个，则m的取值范围为变式5:如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (aw 0)与x轴交于A (1, 0),

11、 B (4, 0)两点，与y轴 交于点C (0, 2),连接AC BC(1)求抛物线的解析式；(2)若BC的垂直平分线交抛物线于 D, E两点，求直线DE的解析式；(3)若点P在抛物线的对称轴上，且 /CPB=/CAB,求出所有满足条件的点P的坐标。二、结论类似于圆哥定理的形式时作辅助圆例 如图，在 ABC中，AB= AC= J3 , D是边BC上的一点，且 AD= 1 ,求 BD- DC的值.三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆例 1 如图，在直角梯形 ABCD43, AB/ DC / B= 90° ,设 AB= a, DC= b, AD= c,当 a、b、c 之间满 足什么关系

12、时，在直线 BC上存在点P,使AP)± PD?例2如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点 A (0 , 8)、B(0 , 2),试在x轴正半轴上求一点C,使/ ACB取得最大值。例3已知RtABC中，AC= 5, BC= 12, Z ACB= 90° , P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且 ZCPO 90° ,求线段 CQ的取值范围.四、四点共圆判断四点共圆的常用方法有(1)对角互补的四边形的四个顶点共圆；(2)同底同侧顶角相等的两个三角形的四个顶点共圆.判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题.例1如图，E是正方形ABC两边AB上的

13、一点，过点 E作DE的垂线交/ ABC的外角平分线于点 F,求 证：FE= DE例2如图等边4 PQ附接于正方形 ABCD其中点P、。R分别在边 AR AB DC上，M是QR的中点, 求证：不论等边 PQRg样运动，点 M为不动点.AQB例3如图，正方形 ABCD勺中心为 O,面积为1989, P为正方形内的一点，且/ OPB= 45° , PA： PB=5 ： 14,求PB的长.练习1 .在直角坐标系中，过A( -1,0)和B (3,0)的。Mh有点P.(1)若cos/ APB=1 ( /APB1锐角)，求。M勺半径；3(2)在y轴上，是否存在一点D,使彳导/ ADB=45 ?若存

14、在，求出点D勺坐标2 .在平面直角坐标系中，抛物线y x2 bx c与X轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线y kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过 B, C两点.(1)求直线BC及抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为 D，点P在抛物线的对称轴上，且 APD ACB ,求点P的坐标.3 .已知平面直角坐标系中两定点A (-1 , 0) B (4,0)、，抛物线y ax2 bx 2过点A、B顶点为C,点P(m n) n<0为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)当 APB为钝角时，求 m的取值范围.4 .如图，已知

15、点 A (1, 0), B (0, 3), C (-3, 0),动点P (x, y)在线段AB上，CP交y轴于点D,设 BD的长为t.(1)求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；:yB.2.(2)若Sabch Saao=2 : 1,求点P的坐标，并判断线段 CD与线段AB的数量及 位置关系，说明理由；(3)在(2)的条件下，若M为x轴上的点，且/ BMD!大，请求出点M的坐标.13-KC -2-1 O A 2 x-15 .如图，点A与点B的坐标分别是(1,0), (5, 0),点幅该平面直角坐标系内的一个动点.(1)若点5面直角坐 标系内的一个点，且 ABO等边三角形，则点C勺坐标是(2)若点陈y轴上，且/ APB=30 ,