正方形的性质与判定讲义

1、正方形的性质及判定一、知识点归纳（一）正方形的概念：一组邻边相等的矩形叫做正方形。（二）正方形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性；1、因为ABCD是正方形（2）四个边都相等，四个 角都是直角;（3）对角线相等垂直且平分对角.正方形是轴对称图形，对称轴有4条，也是中心对称二、例题讲解考点正方形与等腰三角形（等边三角形）结合1 .如图，E是正方形 ABCD的对角线 BD上一点，且 BE= BC,则/ ACE=°2 .如图，四边形 ABCD是正方形，延长 CD至ij E,使CE=CB,则Z DBE=:3 .如图，正方形 ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分/ DAC,则下列结论：

2、（1） /E=22.5 ; （2） /AFC=112.5 ; （3） /ACE=135 ; （4） AC= CE; （5） AD： CE=1 :加.其中正确的有（）A. 5个B.4个C.3个D.2个4 .如图，等边 EDC在正方形 ABCD内，连结 EA EB,则/ AEB=° Z ACE=:以CD为边作等边4。口已 则/ AED的度数是 考点正方形与旋转结合1 .如图1,四边形ABCD是正方形，E是边CD上一点，若4AFB经过逆时针旋转角 。后与4AED重合，则0的取值可能为（）A.90°B.60°C.45°D.30°2 .已知正方形 ABC

3、D中，点E在边DC上，DE = 2, EC = 1 （如图2所示） 把线段AE绕点A旋转，使点E 落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 .3.如图3,在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足/EAF=45°,连接EF求证：DE+ BF= EF考点正方形对角线的对称性1 .如图：正方形 ABCD中，AC=10, P是AB上任意一点，PE± AC于E, PF± BD于F, 则PE+PF= L可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等思考：如若P在AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出你的结论，并 加以说明.2

4、.如图，点P是正方形 ABCD的对角线BD上一点，PE± BC于点E, PF± CD于点F,连接EF给出下列五个 结论：AP =EF;AP，EF;4APD一定是等腰三角形；值/ PFE= / BAP处PD=、/2EC其中正确结论的序号是 .1）正确结论是否依旧成立？若成立,思考：当点P在DB的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论 考点正方形的折叠1 .如图1,将边长为8cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为 MN ,则线段CN的长是.2 .如图2,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将

5、其沿 MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A 对应点为A ,且B C =3 ,则AM的长是:3如图3,正方形 ABCD中，AB= 6,点E在边CD上，且CD=3DE.将4ADE沿AE对折至AFE,延长EF交边 BC于点 G,连结 AG、CF.下列结论：AARGQ AFG;BG= GC;AG/ CF; Sfgc= 3,其中正确结论的个数是 .课后练习1、已知：如图，正方形 ABCD中，CM=CD, MN ±AC,连结 CN,则/ DCN= B, / MND=:ZB.2 .在正方形 ABCD中，AB=12 cm ,对角线 AC、BD相交于O,则 ABO的周长是（）A.12+12 2B.

6、12+6 2C.12+ 2D.24+6 . 2、，一11.，一，一3 .正方形的面积是-，则其对角线长是34 .如图，在正方形 ABCD中，PBC 4QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M, BP与CQ交于E, CP与DQ交于F求证：PM = QM.5 .如图4,正方形 ABCD的对角线AC、BD相交于点O,正方形 ABCD的顶点A与点O重合，AB交BC 于点E, A'D'交CD于点F,若正方形 ABCD绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么?6.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且

7、PE=PB试判断PE与PB的关系.7.如图，正方形 ABCD的面积为12, 4ADE是等边三角形，点 点P,使PB+ PE的和最小，则这个最小值为 .E在正方形 ABCD内，在对角线 AC上有8.如图，将边长为4cm的正方形纸片 ABCD沿EF折 E、F分别在边 AB、CD上），使点B落在AD边上的点 处，点C落在点N处，MN与CD交于点P,连接EP.（1）如图，若M为AD边的中点，AEM的周长=cm；求证：EP=AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与 重合），4PDM的周长是否发生变化？请说明理由.（三）正方形的判定：（1）平行四边形一组邻边等一个直角（2）菱形 一个

8、直角四边形ABCD是正方形（3）矩形一组邻边等1、判断：（1）四条边都相等的四边形是正方形。（）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（）（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（）（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（）2 .不能判定四边形是正方形的是（）A.对角线互相垂直且相等的四边形B.对角线互相垂直的矩形C.对角线相等的菱形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形3、四边形ABCD的对角线相交于点 O,能判定它是正方形的条件是（）A. AB=BC=CD=DAB. AO=CO , BO=DO , ACXBDC. AC=BD , ACBD 且 AC、BD 互相平分D.

9、AB=BC , CD=DA4、如图，已知四边形 ABCD是菱形，则只须补充条件： （用字母表示）就可以判定四边形 ABCD是正方形.精讲精练例 1、已知 RtVABC 中， C 90 , CD 平分 ACB,交 AB 于 D, DF/BC,DE/AC ,求证：四边形 DECF为正方形。例2、已知：如图，在 4ABC中，AB=AC, AD±BC,垂足为点 D, AN是ABC外角/CAM的平分线，CEL AN,垂足为点E, （1）求证：四边形 ADCE为矩形；（2）当 ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是 一个正方形？并给出证明.NDC例3如图，已知平行四边形 ABCD中，对角线AC

10、, BD交于点O, E是BD延长线上的点，且AACE是 等边三角形.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若 AED 2 EAD ,求证：四边形 ABCD是正方形.例4、如图， ABC中，点O是AC边上一个动点，过点 O作直线MN / BC,设MN交/ BCA的平分线于E,交/ BCA的外角平分线于点 F.求证：EO= FO(2)当点O运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并证明你的结论(3)当点O运动到何处时，四边形 AECF是有可能是正方形？并证明你的结论拓展探究(平行四边形与特殊平行四边形的综合运用)1、如图，正方形 ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且 AE=FB=

11、GC。试判断VEFG的形状,并说明理由。2、如图，在正方形 ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，若PQ=BP+DQ ,求 PAQ。若 PAQ 45，求证：PQ=BP+DQ.3、如图，菱形 ABCD的边长为2,对角线BD=2, E、F分别是AD、CD上的动点，且满足 AE+CF=2. (1)求证：VBDE VBCF .(2)判断VBEF的形状。4以四边形ABCD的边AR BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点，得四边形EFGH(1)如图1,当四边形 ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图 2,当四边形 ABCD为

12、矩形时，请判断：四边形 EFGH的形状(不要求证明)；(2)如图3,当四边形 ABCD为一般平行四边形时，设 ZADC=(0°< <90°),试用含的代数式表示/HAE;求证：HE=HG; 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.例1、在正方形 ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE交CD于F,求 AFD的度数。变式：1、已知如下图，正方形 ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证： BEC ADFC; (2)若 / BEC=60 ° ,求/EFD的度数.例2：如图，E为正方形 ABCD的BC边上

13、的一点，CG平分/ DCF,连结AE,并在CG上取一点G,使EG=AE求证：AE± EG星乙例3、P为止方形ABCD内一点，K BC例4如图，P是边长为1的止方形PE=PB(1)求证： PE=PD ; A _DBECPA=1 , PB=2 , PC=3 ,求/ APB 的度数.ABCD对角线AC上一动点(P与A、C /、重合)，点E在射线BC上，且PEI PD;1、如图，四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形外作等边三角形 ABE, CE与DB相交于点F,则 AFD =OBE2、若正方形 ABCD的边长为4, E为BC边上一点，BE=3 , M为线段AE上一点，射线 BM交正方形

14、的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为4.E为正方形 ABCD内一点，且 EBC是等边三角形，求/ EAD的度数.5、如图，正方形 ABCD与正方形 OMNP的边长均为10,点。是正方形 ABCD的中心，正方形 OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形 OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值.6、如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方 形ABCD外作正方形CEFG连结BG, DE.我们探究下列图中线段 BG、线段DE的长度关系及所在直线的 位置关系：（1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形