增分点二次求导在解题中的妙用

1、增分点二次求导在解题中的妙用导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容.近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的 压轴题时常出现.sin x、一.，、一，典例 右函数 f(x)=, 0<xi<x2<7t .设 a=f(xi), b = f(X2),试比较 a, b 的大小.x思路点拨sin x此题可联想到研究函数f(x)=在(0,兀)的单调性.函数图象虽然可以直观地反x映出两个变量之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大.导数的建立拓展了应用图象解题的空间.导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供

2、了简单、程序化的方法，具有很强的可操作性.当 f ' (x)>0时，函数f(x)单调递增；当f ' (x)<0时，函数f(x)单 调递减.解题师说从本题解答来看，为了得到f(x)的单调性，须判断 f' (x)的符号，而 f' (x) =xcos x sin x -2的分母为正，只需判断分子xcos x-sin x的符号，但很难直接判断，故可 x通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题.应用体验1.已知函数f (x)满足f (x) = f' (1)e xT f (0) x + gx2,求f (x)的解析式及单调区间.典例(理)已知函

3、数 f (x) = ln( ax + 1) + x3-x2- ax._2、.(1)若x=3为y=f (x)的极值点，求实数 a的值；(2)若y=f(x)在1 , +8)上为增函数，求实数 a的取值范围；(3)若a=1时，方程f (1 x) (1 x) 3=0有实根，求实数 b的取值范围.x解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b的范围问题，实际上是求g(x)=x(ln x+x x2)极值问题，问题是 g' (x)=ln x+1 + 2x3x2= 0这个方 程求解不易，这时我们可以尝试对h(x) = g' (x)再一次求导并解决问题.所以当导数值

4、等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法.(文)已知函数f( x) = ex-xln x, g(x) = extx 2+x, tCR,其中e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的图象在点(1 , f(1)处的切线方程；(2)若g(x) >f (x)对任意的xC(0, +8)恒成立，求t的取值范围.解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第 (2)问要求参数t的范围问题， 口ex + xex+xln *-= 、-口”，1 x2ex、人、头际上是求 F(x) =x2极值问题，问题是 F (x)=1e + e - ln x 这个方程求解不易，这时我们可以尝试对

5、Gx) = F' (x)再一次求导并解决问题.所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法.应用体验2 .设 kC R,函数 f (x) =ex-(1 + x+kx2)( x>0).(1)若k=1,求函数f(x)的导函数f' (x)的极小值；(2)若对任意的t>0,存在s>0,使彳导当xC(0, s)时，都有f(x)<tx2,求实数k的取值 范围. x典例 证明当x>0时，sin x>x.解题师说本题是应用导数证明不等式.证明的关键在于构造适当的函数， 然后在相应区间上用二次求导的方法判定导数的符号，得到导函数的单调

6、性，再利用单调性证明不等式.应用体验3 . (2018 西安八校联考)已知函数f(x)=mexln x1.4 当mi=。时，求曲线y=f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程；(2)当 m> 1 时，证明：f(x)>1.升级增分训练1 .(理)对任意实数x,证明不等式1+xln( x +小+ x2) n11 + x2.(文)已知函数f(x)=(x+1)ln x ax,当xtC (1 ,+8)时，函数f(x)的图象在点(x(o, f(x(o)处的切线方程为 y=1x e.e(1)求a的值；(2)求证：函数f(x)在定义域内单调递增.2 .已知函数f (x) = ex-ax2-bx-

7、 1,其中a, be R, e= 2.718 28为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值.3 .已知函数 F(x)=ex + sin x ax,当xR0时，函数y=F(x)的图象恒在 y=F( x) 的图象上方，求实数 a的取值范围.4 .已知函数f(x) = ex, g(x) =-, a为实常数. x设F(x) =f (x) g(x),当a>0时，求函数F(x)的单调区间；(2)当a=e时，直线x= m x= n( n>0, n>0)与函数f (x) , g(x)的图象共有四个不同 的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行

8、四边形.求证：(nv 1)( n-1)<0.答 案sin x典例右函数 f(x)=, 0<xi<x2<7t .设 a=f(xi), b = f(X2),试比较 a, b 的大小.x思路点拨sin x此题可联想到研究函数f(x)=在(0,兀)的单调性.函数图象虽然可以直观地反x映出两个变量之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大.导数的建立拓展了应用图象解题的空间.导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法，具有很强的可操作性.当 f ' (x)>0时，函数f(x)单调递增；当f ' (x)<0时，函数f(x)单 调递

9、减.方法演示,sin x ,xcos x sin x解：由 f (x) =x,得 f (x) =x，设 g(x)=xcos x sin x,贝U g' (x) = xsin x+cos xcos x=xsin x.0<x<Tt ,g' (x)<0 ,即函数g(x)在(0 ,兀)上是减函数.- g( x)<g(0) =0,因此 f' (x)<0 ,故函数f(x)在(0 ,兀)是减函数，.当 0<xi<x2<7t,有 f(xi)>f(x2),即 a>b.解题师说从本题解答来看，为了得到f(x)的单调性，须判断 f&

10、#39; (x)的符号，而 f' (x) =xcos x sin x 2的分母为正，只需判断分子xcos x-sin x的符号，但很难直接判断，故可 x通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题.应用体验1.已知函数f (x)满足f (x) = f' (1)e x 典例(理)已知函数 f (x) = ln( ax + 1) + x3-x2- ax. - f (0) x + 2x2,求f (x)的解析式及单调区间.9所以2一齐+13所以f' (x)=ax+ 1+ 3x2-2x- a, 一 .一,一 一1 0解：因为 f(x)=f (1)e f(0)x+2X,所以

11、 f' (x) = f' (1)e x1_f(0) +x.令 x = 1,得 f (0) = 1.所以 f(x) = f' (1)e x1x + ；x* a 2、，(1)若x=3为y=f (x)的极值点，求实数 a的值；(2)若y=f(x)在1 , +8)上为增函数，求实数a的取值范围；(3)若a=1时，方程f(1 x)(1 刈3=。有实根，求实数 b的取值范围. x方法演示解：(1)f' (x) = -a+ 3x2-2x- a. ax+ 1由题意，知f' 2=0, 4+ -a=0,解得 a= 0.3 32当a = 0时，f (x) = x(3x 2),

12、从而x=,为y=f(x)的极值点.3(2)因为f (x)在1 , +8 )上为增函数,所以 f(0) = f' (1)e t=1,解得 f ' (1) =e.所以 f (x) = ex-x+2x2.设 g(x)=f' (x)=ex1+x,则g' (x) = ex+1>0,所以y=g(x)在R上单调递增.因为 f' (0) =0,所以 f' (x)>0 =f' (0) ? x>0, f ' (x)<0 = f ' (0) ? x<0.所以f(x)的解析式为f(x) =ex-x + 2x2,且单调

13、递增区间为(0, +8),单调递减区间为(巴0).I tLa利用二次求导求函数的极值或参数的范围>0 在1,十00)上恒成立.x3 ax2+ 3 2a x a2+2 ax 1当a = 0时，f' (x)=x(3x2),此时f(x)在1 , +8)上为增函数恒成立，故 a = 0符合题意;当aw。时，由ax+1>0对x>1恒成立，知a>0.所以 3ax2+(3 -2a)x-(a2+2) >0 对 xC 1 , +00)恒成立.令 g(x) = 3ax2+(3 2a)x(a2+2),其对称轴为 x=1 ,因为 a>0,所以1<1,32a32a 3所

14、以g(x)在1 , +8)上为增函数，所以只需 g>0即可，即a2+a+i>0,解得0<aw1+ .52.综上，实数a的取值范围为0, 1乎.由已知得，x>0,，b=x(ln x + xx2)=xln x+x2x3.令 g(x)=xln x+ x2x3,则 g' (x) = ln x+1+2x 3x2.16x2 2x-1令 h(x)=g (x),贝U h (x) =- + 2- 6x = -.xx当 0<x<1 +V时，h' (x)>0, 6函数h(x)=g' (X)在。，q7上递增;当 x>1 6,时,h' (x

15、)<0,，函数h(x)=g' (x)在,+oo上递减.6又 g' (1) = 0,.存在 x0C 01 +,使得 g' (xo)=0.6当 0Vx<x0时，g' (x)<0 ,，函数 g(x)在(0 , xq)上递减；当 x0<x<1 时，g' (x)>0,.函数 g(x)在(xo,1)上递增；当 x>1 时，g' (x)<0,，函数 g(x)在(1 , +°° )上递减.又当x一十8时，g(x) > OO又 g(x)=xln x+ x2x3=x(ln x + x-x2)&

16、lt;x In x + (,一 -1当 x-0 时，In x+4<0,则 g(x)<0 ,且 g(1) =0, .b的取值范围为(一8, 0.解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b的范围问题,实际上是求g(x)=x(ln x+x x2)极值问题，问题是 g' (x)=ln x+1 + 2x3x2= 0这个方 程求解不易，这时我们可以尝试对h(x) = g' (x)再一次求导并解决问题.所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法.(文)已知函数f( x) = ex-xln x, g(x) = extx 2

17、+x, tCR,其中e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的图象在点(1 , f(1)处的切线方程；(2)若g(x) >f (x)对任意的xC(0, +8)恒成立，求t的取值范围.方法演示解：(1)由 f (x) = ex xln x,知 f ' (x) =e In x 1,则 f ' (1) = e-1,而 f (1) =e,则所求切线方程为 y-e=(e - 1)( x- 1),即 y = (e 1)x+ 1.(2) .1 f (x) = ex xln x, g(x) = ex tx 2+ x, tCR,g(x) >f (x)对任意的xC(0,+8)恒成立等价

18、于 ex-tx2+x-ex + xln x>0对任意 的xC (0 ,)恒成立，ex + xex + xln x_，一，、即t &$对任息的x (0 ,)恒成立.x人ex+xex+xln x令 F(x)=x1xex+ex2exxln x 1 x2ex则 F'(x) =x3= 7e + e T-ln x，x,v 2e令 Gx) = e + eIn xx 2xexex1 ex x-1 2+ex-x<一则 G (x) = e-x2- x=x2>0 对任息的 x (0 , 十 00)恒成立.Gx) = ex+e-2e- ln x在(0 , 十国)上单调递增，且

19、71;1)=。, x当 xC (0,1)时，Gx)<0,当 xC (1 , +oo )时，G(x) >0,即当 xC (0,1)时，F' (x)<0,当 xC (1 , +oo )时,F (x) >0, .F(x)在(0,1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增， .F(x)>F(1) =1, . t < 1,即t的取值范围是(8, 1.解题师说本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第 (2)问要求参数t的范围问题，实际上是求F(x)=ex + xex + xln x-2x一一、一一、一,1极值问题，问题是 F (x) =-22exe +

20、exIn x这个方程求解不易，这时我们可以尝试对Gx) = F' (x)再一次求导并解决问题.所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法.应用体验2.设 kC R,函数 f(x) =ex-(1 +x+kx2)( x>0).(1)若k=1,求函数f(x)的导函数f' (x)的极小值；(2)若对任意的t >0,存在s>0,使彳导当xC(0, s)时，都有f(x)<tx2,求实数k的取值 范围.解：(1)当 k = 1 时，函数 f (x) = ex (1 + x + x2),则 f(x)的导数 f' (x) =ex(1+2

21、x),令 g(x)=f' (x),则 g' (x)=ex2,当 0<x<ln 2 时，g' (x)<0;当 x>ln 2 时，g' (x)>0 ,从而f' (x)在(0, In 2)上递减，在(In 2 , +°o)上递增.故导数f ' (x)的极小值为f ' (ln 2) =1-2ln 2.(2)对任意的 t>0,记函数 F(x)=f(x) -tx2=ex-1 +x+(k+t)x2, x>0,根据题意，存在s>0,使得当xC(0, s)时，F(x)<0.易得 F(x)的导数

22、 F' (x) = ex1 +2(k+t)x,令 h(x) = F' (x),则 h' (x) =ex2(k+t).若h' (x)>0,注意到h' (x)在(0, s)上递增，故当 xC(0, s)时，h' (x)>h' (0) >0,于是 F'(x)在(0 ,s)上递增，则当 xC(0,s)时，F' (x)>F' (0) =0,从而F(x)在(0,s)上递增.故当xC(0, s)时，F(x)>R0) =0,与已知矛盾；若h' (x)<0,因为h' (x)在(0,

23、 s)上连续且递增，故存在 s>0,使得当xC(0, s), h' (x)<0,从而 F' (x)在(0, s)上递减，于是当 xC(0, s)时，F' (x)<F' (0) =0,因此 F(x)在(0, s)上递减.故当xC(0, s)时，F(x)<R0) =0,满足已知条件.综上所述，对任意的t>0,都有h' (x)<0,1所以 1 2( k+1)<0 ,即 k>2 t >1 , 故实数k的取值范围为 -1 , +°°利用二次求导证明不等式3 x典例证明当x>0时，sin

24、 x>x y.方法演示3 、一.x证明：令 f(x) = sin x-x+ ,62.x则 f (x) = cos x- 1 + ,所以 f " (x)= sin x+x.易知当x>0时，sin x<x,所以在(0 ,十8)上f"(x)>0,所以f' (x)在(0, +8)上单调递增.又 f ' (0) = 0,所以在(0 , +8 )有(x)>f ' (0) =0,所以f(x)在(0, +8 )上单调递增.3x , 故当 x>0 时,f(x)=sin x x + >f (0) =0.3一x所以 sin x&g

25、t;x (x>0).解题师说本题是应用导数证明不等式.证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的方法判定导数的符号，得到导函数的单调性，再利用单调性证明不等式.应用体验3. (2018 西安八校联考)已知函数f(x) =mex-ln x-1.(1)当mi= 0时，求曲线y=f(x)在点(1 , f(l)处的切线方程；(2)当 mi> 1 时，证明：f (x)>1.1斛：(1)当 m= 0 时，f (x) = - ln x 1,则 f (x)=- x所以 f(1) = 1, f ' (1) =- 1.所以曲线y = f (x)在点(1, f(1)处的切线

26、方程为y-( - 1) = - (x- 1),即x+y=0.(2)证明：当 m> 1 时，f(x) = mexIn x 1 >ex In x 1.要证 f(x)>1 ,只需证 exIn x 2>0.xx 1设 g(x) = e - In x-2,贝U g' (x) =e -.x设 h(x)=ex则 h' (x) = ex+-1>0. xx所以函数h(x) = g' (x)=exJ在(0 ,)上单调递增.xi ,11因为 g 2 = e-2<0, g (1) =e-1>0,所以函数g' (x)=ex1在(0 , +8)上有

27、唯一零点xO,且xoC 1, 1 .x21.因为 g(x0)=0,所以 ex0= ,即 In x0= x°.x0当 xC(0, X0)时，g' (x)<0;当 xC(X0, +8)时，g'(x)>0, 所以当X=X0时，g( x)取得极小值也是最小值 g(xo).1 .故 g(x) >g(x。)= ex。一 ln x02= + x02>0. x0综上可知，当 m> 1时，f(x)>l.升级增分训练1.(理)对任意实数x,证明不等式1 +xln( x 十5+ x2) >1 + x2.证明：设 f (x) = 1 + xln( x

28、+ M1 + x2) 5 + x2, xx 2(x) = ln( x+5+x) +；2x+ 5 +xx1 + x21 +则 h' (x)=22x+5 +x设 h(x) = f ' (x),41 + x2+x业 + x2 x+W + x21所以f' (x)在(一8, +oo )上是增函数.由 f ' (x) = 0,即 ln( x+ 11 + x2) = 0,得 x= 0.所以当x<0时，f' (x)<0,则f (x)在(一00, 0)上为减函数；当x>0时，f' (x)>0,则f(x)在(0, +8 )上为增函数.故f(x

29、)在x=0处有极小值，所以 f(x) >f (0) =0,即 1+xIn( x+ 寸1 + x2) >1 + x2.(文)已知函数f(x)=(x+1)ln x-ax,当xoC (1 ,+8)时，函数f(x)的图象在点(x。, f(x。)处的切线方程为 y=1x e.e(1)求a的值；(2)求证：函数f (x)在定义域内单调递增.解：(1)由题意，得 f' (x)=ln x+ 1+1a, x所以函数f(x)的图象在点(x°, f (x°)处的切线方程为 yf (x0) = f ' (x°)( x x0),即 y (X0+ 1)lnxo +

30、 axo = In xo+ + 1 - a (x-xo),Xo所以In xo+1a =, xoe即丫= In x°+ +1 ax+ln xo xo 1, xo13xo In xo+1=e.1 x 1令 g(x)=xln x+1,贝Ug (x) = 1 -=x x当 x e(1 , +oo)时，g，(x)故当 x e(1 , +oo)时，g(x)单调递增.又因为g(e) =e,所以xo=e,将 xo= e代入 In xo+1 a=-，得 a=2. xoe1(2)证明：由 a=2,得 f (x)=ln x + -一1(x刈). x1令 h(x) = In x+ , x，1则 h(x) =

31、 x1 x-1当 xCB/)时，h' (x)v0；当 xC (1 ,+8)时，h' (x),故当xee/)时，h(x)单调递减；当xC(1, +8)时，h(x)单调递增，故h(x)>h(1) =1.因此当 xCB, +8)时，f ' (x)=h(x) 1:,当且仅当 x=1 时，f' (x) = 0.所以f(x)在定义域内单调递增.2 .已知函数f (x) = ex-ax2-bx- 1,其中a, be R, e= 2.718 28为自然对数的底 数.设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0,1上的最小值.解：由 f (x) = ex ax

32、2bx1,得 g(x) = f ' (x) = ex2axb.所以 g' (x) = ex 2a.因 此，当 xCW/时，g' (x) 1 -2a, e 2a.1一当a2时，g (x)>0,所以g(x)在0,1上单倜递增，因此 g(x)在0,1上的最小值 是 g(0) = 1 b；e .当a时，g (x)<0,所以g(x)在0,1上单倜递减，因此 g(x)在0,1上的最小值 是 g(1) = e 2a b；.1 e一，当2<a<2时，令 g (x)=0/4 x = ln 2 a (0,1).当 g' (x)<0 时，0Wx<l

33、n 2a；当 g' (x)>0 时，ln 2a<x< 1,所以函数 g(x)在区间0 ,g(x)在0,1上的最小值是g(ln 2a)In 2a)上单调递减，在区间(ln 2a,1上单调递增，于是= 2a 2aln 2 ab.,11 e ,.综上所述，当aw2时，g(x)在0,1上的最小值是g(0) =1b;当2<a<2时，g(x)在0,1e , 上的取小值是 g(ln 2 a) =2a-2aln 2 a- b；当a>2时，g(x)在0,1上的取小值是 g(1)=e一 2a b.3 .已知函数 F(x)=ex + sin x-ax,当x>0时，函数y=F(x)的图象恒在 y=F( x)的图象上方，求实数 a的取值范围.解：设()(x) = F(x) F( x) = ex e x + 2sin x 2ax.贝U 6 ' (x)=ex+e x+2cos x-2a.设 S(x) = 6 " (x) = e e 2sin x.,S' (x) = ex+e x2cos x> 0 在 x-0 时恒成立, 函数S(x)在0, +8)上单