项目十一压杆稳定

1、项目十一压杆稳定项目十一项目十一 压杆稳定压杆稳定课题课题11.1 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力课题课题11.4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算课题课题11.2 不同支承条件下细长压杆临界力的欧不同支承条件下细长压杆临界力的欧拉公式拉公式课题课题11.5 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施实际压杆存在的情况：实际压杆存在的情况：(1) 本身不可能绝对地直；本身不可能绝对地直；(2) 材质不可能绝对地均匀；材质不可能绝对地均匀；(3) 轴向压力也会有偶然偏心。轴向压力也会有偶然偏心。 关于稳定性的概念关于稳定性的概念 压杆是在压缩与弯曲组合变形的状压杆是在压缩与弯曲组

2、合变形的状态下工作的。态下工作的。 杆的横截面上的弯矩与杆的弯杆的横截面上的弯矩与杆的弯曲变形程度有关，所以即使在线弹曲变形程度有关，所以即使在线弹性范围内工作，挠度也不与荷载成性范围内工作，挠度也不与荷载成线性关系，挠度的增长要比荷载增线性关系，挠度的增长要比荷载增长来得快。长来得快。 细长压杆始终在线弹性范细长压杆始终在线弹性范围内工作，当围内工作，当F= Fu时，它便因挠时，它便因挠度迅速增长而丧失继续承受荷载的度迅速增长而丧失继续承受荷载的能力。能力。 中等长度压杆当挠度增大到一中等长度压杆当挠度增大到一定值时，杆便在弯压组合作用下因定值时，杆便在弯压组合作用下因强度不足而丧失承载能力

3、。强度不足而丧失承载能力。 求压杆的承载力求压杆的承载力Fu，可采用可采用两种不同的计算图式：两种不同的计算图式：(1) 把实际的压杆看作是荷载把实际的压杆看作是荷载F有偶有偶然偏心等的小刚度杆然偏心等的小刚度杆(2) 把实际的压杆看作是理想的中把实际的压杆看作是理想的中心压杆。心压杆。 取第一种计算图式，则得弯矩取第一种计算图式，则得弯矩方程为：方程为：M(x)=F(d d + +e-w)代入挠曲线近似微分方程，利用代入挠曲线近似微分方程，利用边界条件得到：边界条件得到：)1)/(sec lEIFezd d如图所示。如图所示。 无论初始偏心距无论初始偏心距e的大小如何的大小如何变化，当变化，

4、当Fp p2EIz /(2l)2 时时d d 迅速增迅速增长，从而有极限荷载长，从而有极限荷载22cr)2(lEIFz 22cr)2(lEIFz 根据上图所示偏心距根据上图所示偏心距e为不同值为不同值时的时的F d d 图线可以推想：图线可以推想： 若将实际压杆看作初始偏若将实际压杆看作初始偏心距心距e为零的理想中心压杆，则其为零的理想中心压杆，则其Fd d关系应如右图关系应如右图(a)、(b)所示。所示。(a) 理想中心压杆理想中心压杆(b) Fd d 关系关系 当当F = Fcr 时杆的直线状态的平衡是不稳定的，如果时杆的直线状态的平衡是不稳定的，如果稍受干扰杆便将在任意微弯状态下保持平衡

5、，而不可能再稍受干扰杆便将在任意微弯状态下保持平衡，而不可能再恢复原有的直线状态。恢复原有的直线状态。 由上述分析可见，由上述分析可见，F达到达到Fcr，杆便会失去原有直线杆便会失去原有直线状态平衡的稳定性状态平衡的稳定性失稳。失稳。 当当FFcr时杆的直线状态的平衡是稳定的。时杆的直线状态的平衡是稳定的。注意：注意： 如果在理论分析中有若干个荷载值均能满足杆保持如果在理论分析中有若干个荷载值均能满足杆保持微弯状态的条件，那么有实际意义的应该是其中的最小微弯状态的条件，那么有实际意义的应该是其中的最小值。值。 把理想中心压杆从直线状态的稳定平衡过渡到不把理想中心压杆从直线状态的稳定平衡过渡到不

6、稳定平衡的那个荷载值称之为临界荷载稳定平衡的那个荷载值称之为临界荷载Fcr（能保持微能保持微弯状态的荷载值）。弯状态的荷载值）。对于细长中心受压构件杆：对于细长中心受压构件杆：Fcr=Fu课题课题11.1 两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力 理想中心压杆的临界荷载理想中心压杆的临界荷载Fcr即为杆能保持微弯即为杆能保持微弯状态的荷载值。状态的荷载值。 在理论分析中首先找出每一具体情况下杆的挠曲线在理论分析中首先找出每一具体情况下杆的挠曲线方程，而方程成立时的荷载就是所求的临界荷载。方程，而方程成立时的荷载就是所求的临界荷载。考虑左图细长压杆考虑左图细长压杆在线弹性、小变形情况

7、下，且不在线弹性、小变形情况下，且不考虑剪切对于变形的影响，则其考虑剪切对于变形的影响，则其挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为)()(crwFxM d d)()(crwFxMwEIz d d则有则有令令,2crkEIFz d d22kwkw + + d dzzEIFwEIFwcrcr + + 得得得挠曲线方程得挠曲线方程w= A sin kx + B cos kx + d d由边界条件由边界条件得得A=0 ，B= d d则则w =d d ( 1-cos kx )x=0, w = 0 x=0, w = 0显然，当方程成立时应有显然，当方程成立时应有d d lxw即即d d =d d ( 1

8、-cos kl )得得cos kl = 0要满足上面的方程，则要满足上面的方程，则kl =p p/2, 3p p/2, 5p p/2, 取其最小值取其最小值 kl =p p/2，代入，代入 k的表的表达式，得该压杆的临界荷载达式，得该压杆的临界荷载22cr)2(lEIFz式中式中Iz是杆在是杆在Fcr作用下微弯时横截面对于中性轴作用下微弯时横截面对于中性轴z的惯的惯性矩。性矩。若截面是下面这种形式，则若截面是下面这种形式，则22cr)2(lEIFy 下图为一下端固定下图为一下端固定、上端铰支、长度为、上端铰支、长度为l 的的等截面中心受压直杆，等截面中心受压直杆，杆横截面对杆横截面对 z 轴的

9、惯性矩轴的惯性矩为为I。试推导其临界力试推导其临界力Fcr的公式，并求出压杆的的公式，并求出压杆的挠曲线方程。挠曲线方程。例题例题 解：在临界力解：在临界力Fcr作用下，根据此压杆支承处的约束作用下，根据此压杆支承处的约束情况，有情况，有代入挠曲线近似微分方程，得代入挠曲线近似微分方程，得则则(2)式之通解为式之通解为2crkEIFz 其其中中)()(ScrxlFwFxM (1)w= A sin kx + B cos kx +FS(l-x)/Fcr (3)(crS22xlFFkwkw + + (2)由边界条件由边界条件x=0, w = 0再再由由 x=0, w = 0w= A kcos kx

10、- B ksin kx - FS/Fcr (4)得得crSkFFA (5)得得crSFlFB (6)将将(5)、(6)式代入式代入(3)式有式有由铰支端处的边界条件由铰支端处的边界条件x =l, w = 0 ，得，得杆在微弯状态下平衡时杆在微弯状态下平衡时FS不可能等于零，于是必须有不可能等于零，于是必须有)(cossin1crSxlkxlkxkFFw + + (7)0)cossin1(crS kllklkFF (8)0cossin1 kllklk (9)即即klkl tan (10)由上式得由上式得kl = 4.49 (11)从而有从而有2222cr)7 . 0()49. 4(lEIlEIF

11、 (12)相应地由相应地由(7)式得挠曲线微分方程式得挠曲线微分方程)/1(cossin49. 41crSlxkxkxFlFw + + (13)几种理想支端约束条件下的细长压杆几种理想支端约束条件下的细长压杆当这些压杆都是等截面杆，且均由同一材料制成时，当这些压杆都是等截面杆，且均由同一材料制成时，其临界荷载其临界荷载Fcr的计算公式可统一写为的计算公式可统一写为22cr)(lEIFy 式中式中 称为长度系数称为长度系数,随杆端约束情况而异；随杆端约束情况而异； l 则称为相当则称为相当长度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。上式称为欧长度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。上式称为欧拉公式，拉公

12、式， 如下各图所示。如下各图所示。22cr)(lEIFy 7 . 0)7 . 0(22cr lEIFy122cr lEIFy 从上述分析可知，中心受压直杆的临界力从上述分析可知，中心受压直杆的临界力Fcr与杆端与杆端的约束情况有关，杆端的约束越强，临界力越大。的约束情况有关，杆端的约束越强，临界力越大。5 . 0)5 . 0(22cr lEIFy2)2(22cr lEIFy 如图所示两端固定但上如图所示两端固定但上端可有水平位移的等截面中心端可有水平位移的等截面中心受压直杆，其长度为受压直杆，其长度为 l，横截横截面对面对z轴的惯性矩为轴的惯性矩为I。推导其临推导其临界力界力Fcr的欧拉公式，

13、并求出压的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。杆的挠曲线方程。思考题思考题 思考题参考答案：思考题参考答案：ecr)(MwFxM 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程ecr)(MwFxMwEIz+ + 最后得最后得kl = p p22crlEIFy 挠曲线方程挠曲线方程)/cos(1 2lxw d d推导如图变截面压杆临界力推导如图变截面压杆临界力Fcr的欧拉公式。的欧拉公式。思考题思考题 在临界力作用下，此杆可在微弯状态下在临界力作用下，此杆可在微弯状态下维持平衡，其挠曲线由维持平衡，其挠曲线由AD、DE、EB三段组三段组成。由挠曲线光滑连续条件可知：在相邻成。由挠曲线光滑连续条件可知：在相邻

14、两段挠曲线的交界点，挠度相等，转角亦两段挠曲线的交界点，挠度相等，转角亦相等。此外中点相等。此外中点C处的切线应与处的切线应与x轴平行。轴平行。 分段列挠曲线近似微分方程，最后求解分段列挠曲线近似微分方程，最后求解得到得到wFxMcr)( 22cr1.68lEIFy 思考题参考答案：思考题参考答案： 求压杆临界荷载的欧拉公式求压杆临界荷载的欧拉公式Fcr= p p2EI /( l )2只适只适用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情况，即所用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情况，即所研究的是线弹性稳定，是压杆稳定中最基本的情况。研究的是线弹性稳定，是压杆稳定中最基本的情况。应注意：应注意： 按

15、失稳的概念，在临界荷载作用下尽管压杆的直线状按失稳的概念，在临界荷载作用下尽管压杆的直线状态的平衡是不稳定的，但如果不受干扰，杆仍可在直线状态的平衡是不稳定的，但如果不受干扰，杆仍可在直线状态下保持平衡。态下保持平衡。课题课题11.3 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图 可以把临界状态下按直杆算得的横截面上的正应力可以把临界状态下按直杆算得的横截面上的正应力s scr=Fcr /A不超过材料的比例极限不超过材料的比例极限s sp作为欧拉公式适用作为欧拉公式适用范围的判别条件，即范围的判别条件，即式中的式中的s scr=Fcr /A称为临界应力。引入称为临界应力。引入F

16、cr的表达式，有的表达式，有式中式中I/A是一个只与截面形状及尺寸有关的量，通常把是一个只与截面形状及尺寸有关的量，通常把它的方根用它的方根用 i 表示，即表示，即pcrs ss s (1)()()(/2222crcrAIlEAlEIAF s s (2)AIi/ 称称 i 为截面惯性半径。则为截面惯性半径。则(2)式可表示为式可表示为式中式中l l = l/i，为压杆的柔度，亦称长细比。，为压杆的柔度，亦称长细比。将式将式(3)代入代入(1)式，则有式，则有p2222cr)/(s sl l s s EilE或改写为或改写为p2s sl lE 2222cr)/(l l s sEilE (3)AI

17、i/ 上式表明，如果压杆的柔度上式表明，如果压杆的柔度l l大于或等于只与材料性大于或等于只与材料性质有关的一个量质有关的一个量那么欧拉公式适用。那么欧拉公式适用。 对于对于Q235钢，如取钢，如取E=2.06105 MPa，比例极限比例极限s sp=200 MPa, 则则l lp=100。p2s sl lE p2ps sl lE 右图示出了细长压杆临界应右图示出了细长压杆临界应力力s scr随柔度随柔度l l的变化情况，以及的变化情况，以及欧拉公式的适用范围。欧拉公式的适用范围。 应该注意的是：应该注意的是：“l ll lp时欧拉公式可用时欧拉公式可用”系按理系按理想中心压杆得到的。事实上，

18、对于想中心压杆得到的。事实上，对于l l比比l lp大得不太多的实大得不太多的实际压杆，由于有偶然偏心等，就会在弯压组合下因强度不际压杆，由于有偶然偏心等，就会在弯压组合下因强度不足而丧失承载能力，因此欧拉公式不适用。足而丧失承载能力，因此欧拉公式不适用。 我国钢结构设计规范中对于由我国钢结构设计规范中对于由Q235钢制成的压杆钢制成的压杆，根据试验资料规定，对于，根据试验资料规定，对于l ll lc ，而不是，而不是l ll lp的压杆的压杆才能用欧拉公式求临界应力，而才能用欧拉公式求临界应力，而)57. 0(s2cs sl lE 该规范还规定，对于该规范还规定，对于l ll lc的钢压杆，

19、临界应力的计算的钢压杆，临界应力的计算式采用抛物线型的半经验公式式采用抛物线型的半经验公式)/(1 2cscrl ll l s ss s 对于对于Q235钢制成的压杆，钢制成的压杆， = 0.43。)/(1 2cscrl ll l s ss s 临界应力总图（临界应力总图（s s l l）几个概念：几个概念：(1) 细长压杆（大柔度压杆）能应用欧拉公式求临界应细长压杆（大柔度压杆）能应用欧拉公式求临界应力的压杆。力的压杆。 (2) 短压杆是指柔度特别小的（其临界应力接近于材料的短压杆是指柔度特别小的（其临界应力接近于材料的强度）杆。强度）杆。 (3) 中长压杆是指柔度特别大的杆。中长压杆是指柔

20、度特别大的杆。课题课题11.4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 要保证压杆在荷载作用下不致失稳且有一定的安全储要保证压杆在荷载作用下不致失稳且有一定的安全储备，其条件是备，其条件是式中的式中的nst为稳定的安全因数。为稳定的安全因数。stcrnFF 相应地有相应地有stcrns ss s 或或 sts ss s 式中式中s sst稳定许用应力，它是随压杆柔度稳定许用应力，它是随压杆柔度l l变化的一个变化的一个量。量。 在有些工程计算中，更把稳定许用应力在有些工程计算中，更把稳定许用应力s sst通过一通过一个随压杆柔度个随压杆柔度l l变化的稳定系数变化的稳定系数j j(l l)与杆材料的强度

21、许与杆材料的强度许用应力用应力s s 加以联系，即加以联系，即 s sl lj js s )(st 一端固定，另一端铰支的一端固定，另一端铰支的空心圆截面钢压杆。已知：空心圆截面钢压杆。已知：l =5 m, D =100 mm, d =50 mm，E=2.0105 MPa，s sp=200 MPa， s ss=240 MPa，nst=2.5。求许求许用轴向压力用轴向压力F。例题例题 查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为 = 0.7(1) 计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用解：解：)/4-()/64-(4444dDAdDI

22、 惯性半径惯性半径AIi/ 则则125/ Il l l对于对于Q235钢制作的压杆，钢制作的压杆， l ll lc时可用欧拉公式时可用欧拉公式求临界力。求临界力。而有而有l ll lc，故欧拉公式可用。，故欧拉公式可用。(2) 求临界力求临界力Fcr，再根据给定的稳定安全因数再根据给定的稳定安全因数nst，求许，求许用压力用压力 F 现现120)57. 0/(s2c s sl lE此压杆横截面对于形心轴的惯性矩为此压杆横截面对于形心轴的惯性矩为46-44m104.60)/64-( dDI故有临界力故有临界力741kNN1041. 7m)57 . 0(m1060. 4m/N100 . 2)(522