第二章统计指数理论及应用(徐国祥)

1、page1第二章统计指数理论2.1 统计指数的数理经济理论2.2 统计指数的优良性检验理论2.3 统计指数的评价标准page22.1 统计指数的数理经济理论一、个体指数与总指数性质及其关系描述随机变量要具备下列四个条件：变量所有可能的值都是已知的；在每次试验之前变量将出现什么值是未知的；每次试验后变量是一个确定的数；如果反复进行同样的试验，变量出现的值有一定的规律性。 1、个体指数是随机变量回本书目录回本章目录page32、代表品价值指数是总体价值指数的一致无偏估计量代表品个体价格指数：p1/0=p1/p0 代表品个体物量指数： q1/0=q1/q0 代表品个体价值指数： v1/0=v1/v0

2、= p1/0 q1/0总体商品的价值：代表品价值指数：0000010100110101qpqpqpqpqpvvVNjjjNqpV1lim总体商品的价值指数：NjjjNjjjNqpqpEZ100111limNjjjNjjjNniiiniiinnqpqpEZqpqpV10011110011101limlimlim回本书目录回本章目录page4二、拉氏指数的数理解释和经济解释（一）拉氏指数的数理解释1、拉氏价格指数是个体价格指数X的边际数学期望EX的一致渐进无偏估计量0010000010001WpqpqppqpqpLp00000 Wqpqp其中： 拉氏价格指数是随机变量p1/0在概率分布W0下的离散

3、数学期望 001010101WqpvvV代表品价值指数为： 拉氏价格指数是EX的渐进无偏估计 ppLqpqpqpqppWpWp000100000100101由于代表品样本是分层样本，所以指数 是EX的无偏估计量。又因为 ，所以拉氏价格指数渐近于无偏估计。Wp01Wqpqp0000回本书目录回本章目录page52、拉氏物量指数是个体物量指数Y的边际数学期望EY的一致渐进无偏估计量 拉氏价格指数是EX的一致估计 0100001)(01100101)(limlimlimEXdxxxfqpqppqpqpLiiiiniinniiiniiinpn当代表品样本足够大时，拉氏价格指数收敛于边际数学期望EX。同

4、理： 拉氏物量指数是EY的渐进无偏估计 拉氏物量指数是EY的一致估计 拉氏物量指数是随机变量q1/0在概率分布W0下的离散数学期望 其中： 为代表品样本中第i类商品的个体价格指数（i=1,2,n） )(01ip回本书目录回本章目录page6（二）拉氏指数的经济解释 拉氏物量指数的分子分母之差（ ）说明在价格不边的前提下，纯粹由于物量变动而带来的价值变动。0010010)(pqqqpqp 拉氏价格指数的分子分母之差（ ）说明消费者若要维持基期消费水平，由于变动将会增减多少实际开支。0010001)(qppqpqp 价值额的变动中只考虑了价格或物量自身的变动所引起的价值变动，没有考虑物量变动和价格

5、变动交互影响引起的价值变动。 拉氏价格指数由于在相对较长的时间里保持权数不变（如每5年或每10年才更新一次权数），所以能较好的反映纯价格比较原则，但代表性较差，尤其是在产品更新换代快的时期。 回本书目录回本章目录page7三、派氏指数的数理解释和经济解释（一）派氏指数的数理解释1、派氏价格指数和派氏物量指数不是个体价格指数X和个体物量指数Y联合分布的边际数学期望EX、EY的点估计量01011010011011WpqpqppqpqpPp101001qpqpW其中：10010101010111WqqpqpqqpqpPq010110qpqpW其中： 派氏价格指数是随机变量p1/0在概率分布W01下的

6、离散数学期望 派氏物量指数是随机变量q1/0在概率分布W10下的离散数学期望 派氏指数在寻找代表品物价、物量的平均变动时，都同时考虑了物量、物价变动对它的影响 派氏物价指数与派氏物量指数的乘积 比价值指数多出一项 01VqpqpqpLLSSSS222回本书目录回本章目录page8（二）派氏指数的经济解释 价值额的变动中考虑了物量变动和价格变动交互影响引起的价值变动。 派氏价格指数由于权数是实时变化的，所以代表性较强，但不能很好地反映纯价格比较原则。 派氏价格指数的分子分母之差（ ）说明报告期实际销售的商品由于价格变化而增减了多少销售额。1011011)(qppqpqp 派氏物量指数的分子分母之

7、差（ ）说明在价格已经发生变化的前提下，由于物量变动而带来的价值变动。1010111)(pqqqpqp回本书目录回本章目录page9四、拉氏指数与派氏指数的比较1、两者之间的大小关系完全取决于两因素p、q之间的相关程度及相关方向 qpqpqpqppppVVLLSSSSqpCOVBLLP),(10101回本书目录回本章目录2、两者之间的大小关系取决于变异系数Vp和个体指数的平均价格弹性) 1)(1() 1)(1()(),(1001010010100101kWLqLpWLLLqLpWLLqpCOVBqpqpqpqp其中和k表示相对个体指数，是个体指数与拉氏总指数的比值。令 为价格弹性系数，则11,

8、kpq2ppq,2p2ppq,2pp0/10pq,2020,20,20L)p() 1() 1() 1() 1(1VSLLWWWWWBpqpq以价格指以价格指数为例，数为例，物量指数物量指数同理同理page10 当 时，拉氏指数大于派氏指数，拉氏指数比派氏指数能较好地反映社会经济现象的变动情况。 当 时，派氏指数大于拉氏指数，派氏指数比拉氏指数能较好地反映社会经济现象的变动情况。 平均物价弹性系数和平均物量弹性系数的大小一般是不同的，但是变化方向是完全一致的，均由相关系数决定。0,pq0,pq3、何种经济环境能使派氏指数或拉氏指数比较好地揭示经济现象的变化情况 时（适于经济过热和复苏时期），选用

9、派氏指数比较好，这时价格指数和物量指数同向变动，亦即价格、物量的环比发展速度和环比增长速度有同向变动的趋势。 时（适于经济正常和滑坡时期），选用拉氏指数比较好，物价指数和物量指数异向变动，亦即物价和物量的环比发展速度或环比增长速度具有反向变动的趋势。 回本书目录回本章目录page112.2 统计指数的优良性检验理论例：例：某商店3种商品报告期和基期销售资料如下表所示。%02.1070001qpqpLp%44.931011qpqpPp%02.1070010qpqpLq%44.930111qpqpPq拉氏派氏价格指数物量指数数值相差很大！数值相差很大！方向相反！方向相反！回本书目录回本章目录pag

10、e12一、费暄检验理论 恒等性检验恒等性检验：Pt/t=1，某时期的资料与其本身比较，结果必然为100%。 公度性检验公度性检验：指数值不随各种产品的计量单位变化而变化。 比例性检验（平均值检验）比例性检验（平均值检验）：若每个个体指数pt/b=C（b表示基期），则总指数Pt/b=C。 确定性检验确定性检验：当某商品的单位价格或数量为0时，Pt/t既不为0，也不为无穷大，更不是不定。 进退检验（联合检验）进退检验（联合检验）：在原有n个产品资料中，增减一个产品，结果仍与按n个产品计算的指数值Pt/b相等。 时间互换检验时间互换检验：Pt/bPb/t=1 循环检验（连锁检验）循环检验（连锁检验）

11、：P1/0 P2/1Pt/t-1= Pt/0 因子互换检验因子互换检验：Pt/bQt/b=Vt/b较直较直观，观，一般一般指数指数容易容易通过通过对于大样本对于大样本或增减非主或增减非主要产品，指要产品，指数值变化极数值变化极小，可忽略小，可忽略不计不计费暄费暄检验检验核心核心回本书目录回本章目录page13以下列价格指数和物量指数为例，验证是否满足费暄最后三个检验。)(01001101nnpqqpqppK)(01001101nnqpqpqpqK1、时间互换检验1)()(1011001001001101nnnnqqpqppqqpqpp1)()(1011001001001101nnnnpqpqp

12、qpqpqpq2、因子互换检验00110100110101001101)()(qpqppqpqpqqqpqppKKnnnnqp回本书目录回本章目录page143、循环检验 )( )( )( )(0303003303232233231211221201001101231201KpqqpqppqqpqppqqpqppqqpqppKpKpKpnnnnnnnn )( )( )( )(0303003303232233231211221201001101231201KqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqKqKqKqnnnnnnnn回本书目录回本章目录page15通过费暄检验的指数是否就是好的

13、指数？以下列商品报告期和基期销售资料为例。0456.1 0714.10205.1 7246.07763.00205.1 )(01001101nnpqqpqppK甲商品的价格上涨，乙商品上涨，但用总指数Kp计算结果却是两种商品的价格平均上涨！因此，通过费暄检验的指数并不一定就是好的指数，用费暄检验因此，通过费暄检验的指数并不一定就是好的指数，用费暄检验作为评价指数优劣的标准缺乏科学依据。作为评价指数优劣的标准缺乏科学依据。 回本书目录回本章目录page16二、时间互换检验个体指数均符合这一检验。对于统计指数的各种基本公式，仅简单综合法、简单几何平均法、简单中位数法、简单众数法、固定加权综合法、以

14、及加权几何平均指数法符合，其余均不符合。 大多数指数不能通过时间互换检验的原因： 1、时间互换检验成立的前提是时间维的可逆性，这显然是主观意识的产物，违背事物发展的规律。2、时间互换检验不能反映经济实体的内在特征。3、时间互换检验从思维方式上僵化了总体内部属性。回本书目录回本章目录page17三、因子互换检验因子互换检验要求物价指数与转换所成物量指数的乘积，应等于价值指数。 个体指数均符合这一检验。对于统计指数的各种基本公式，除简单几何平均法和加权几何平均法外，其余均不符合 。 许多指数不能满足因子互换检验的根本原因，是由于对p1/0与q1/0的相互关系COV(p1/0 ,q1/0)的处理不当

15、。 ),( )( 0101000000100100010100001001001101qpCOVLLqpqpqpqpqqpqppqpqpqpqpqpqpVqp拉氏指数完全忽视了这一交互关系的影响；而派氏指数又将这一交互关系同时并入各个因素指数中，强化了它的作用。 回本书目录回本章目录page18四、循环检验循环检验是指若干个逐期的同一环比指数的连乘积等于相应的定基指数。 一些常用的、被认为是良好的指数往往都不能通过循环检验，原因主要包括： 1、由于研究问题的方式方法本身存在不少问题 ；2、循环检验受物量指数变动的影响。 回本书目录回本章目录page19统计指数公式选择的参考原则：统计指数公式选择的参考原则：1、通俗易懂、计算简便，力求避免形式繁琐，计算复杂的公式。2、对反映研究总体价格或物量变动具有较强敏感性，力求避免反映迟钝、缺乏敏感性的公式。3、尽量采用加权指数体系，力求避免使用简单指数体系。只有在实践中无法获得恰当的权数资料时，才使用简单指数法。4、应以国家的经济体制和管理体制为出发点。5、应以统计资料占有情况为基础。回