球的体积和表面积(获一等奖)

1、高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体*五中五中 *例题讲解例题讲解课后作课后作业业球的表球的表面积面积球的体积球的体积课堂练习课堂练习封底封底退出退出课堂小结课堂小结高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体R3324:,.33VRVR半 球球猜 测从 而? 半球半球V331RV 圆锥圆锥333RV 圆柱圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积球的体积高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体球的体积球的体积高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章

2、第一章 空间几何体空间几何体222221()SrRlRl截面223112233VRRRRR球343VR球根据祖暅原理根据祖暅原理oiS o球的表面积球的表面积高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体第第一一步：步：分分割割球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积为：则球的体积为：iV 设设“小小锥锥体体”的的体体积积为为iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面积球的表面积高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空

3、间几何体第第三三步：步：化化为为准准确确和和RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 2311(.)33inSSSSRSR 334RV 又又球球的的体体积积为为：RiS iVihiSO OiV球的表面积球的表面积Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 24SR高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体例题讲解例题讲解例例1（1）把半径分别为）把半径分别为3，4，5

4、的三个铁球，熔成一个的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是大球，则大球半径是 ；（2）如果球的大圆面积增大为原来的）如果球的大圆面积增大为原来的4倍，则球的倍，则球的表面积增大为原来的表面积增大为原来的 _倍；体积增大为原来倍；体积增大为原来的的 _倍；倍；（3）两个球的体积之比是）两个球的体积之比是8：27，那么这两个球的，那么这两个球的表面积之比是表面积之比是_.64 , 82 : 3高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体例题讲解例题讲解例例2 2 已已知过球面上三点知过球面上三点A A、B B、C C的截面到球心的截面到球心O O的距离的距离等于球半

5、径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=AB=BC=CA=cmcm，求球的体积，求球的体积，表面积表面积OABCO 解：如图，设球解：如图，设球O O半径为半径为R R，截面截面OO的半径为的半径为r r，是是正正三三角角形形，ABCROO ,2 r332AB2332AO .34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;81256)34(343433 RV例例2.2.已知过球面上三点已知过球面上三点A A、B B、C C的截面到球心的截面到球心O O的距离等的距离等于球半径的一半，且于球半径的一半，且AB

6、=BC=CA=AB=BC=CA=cmcm，求球的体积，表面，求球的体积，表面积积例题讲解例题讲解高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体例题讲解例题讲解高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体分分析：析：正方体的内切球，则正方体边长正方体的内切球，则正方体边长 与球的直径相等与球的直径相等. 正正方方体的棱切球，体的棱切球，则正方则正方体面对角线体面对角线 与与球的直径球的直径相等相等. .正方体的外接球，则正方体体对角线正方体的外接球，则正方体体对角线 与球的直径相等与球的直径相等.2a3aa例例3.3.设正方体的棱长为

7、设正方体的棱长为 , ,有三个球有三个球,一球切于正一球切于正方体的各面方体的各面,一球切于正方体的各侧棱一球切于正方体的各侧棱,一球过正方一球过正方体的各顶点体的各顶点,分别求这三个球的表面积和体积比值分别求这三个球的表面积和体积比值.a高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体22142aSa2222422aSa2233432aSa123:1: 2 : 3SSS根据球的体积公式，容易算得根据球的体积公式，容易算得123:1: 22 : 33VVV高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体课堂练习课堂练习1 1如果球的半径是

8、如果球的半径是4,4,则其体积是则其体积是 ; ;如球的直径如球的直径是是4,4,则其体积是则其体积是 . .2.2.如果球的体积是如果球的体积是3636 cmcm3 3，那么它的半径是，那么它的半径是 . .3.3.三个球的半径之比为三个球的半径之比为1:2:31:2:3，那么最大的球的体积是其，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的余两个球的体积和的 倍；倍；4 4球面上有四个点球面上有四个点P P，A A，B B，C C，如果，如果PAPA，PBPB，PCPC两两互两两互相垂直，且相垂直，且PA=PB=PC=aPA=PB=PC=a，则这个球的表面积为，则这个球的表面积为_._.体积为体

9、积为_. _. 3cm25632,3332333 a ,a2练习练习5.设正四面体的棱长为设正四面体的棱长为a,有两个球有两个球,一球切于正四一球切于正四面体的各面面体的各面, 一球过正四面体的各顶点一球过正四面体的各顶点,分别求这两个分别求这两个球的表面积和体积球的表面积和体积.课堂练习课堂练习高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体解：由正四面体的对称性与球的对称性知解：由正四面体的对称性与球的对称性知球心在正四面体的高上球心在正四面体的高上.E高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体练习练习5.设正四面体的棱长为设正

10、四面体的棱长为a,有两个球有两个球,一球切于正四面一球切于正四面体的各面体的各面, 一球过正四面体的各顶点一球过正四面体的各顶点,分别求这两个球的分别求这两个球的表面积和体积表面积和体积.解：设外接球的半径为解：设外接球的半径为R，如图，如图(O为外接球球心，为外接球球心，O为为ABC的重心，的重心，CE为为ABC的高的高)32313a,a,EG=a23336CECOCECE226 =a,3POPCCO6a-R,3OO2226t,a4ROO COCOOCOR中代入解得666a-R=a,R=a3124OO内切球半径外接球半径,21RRr ,)(222nRRr 问题问题: :已知球的半径为已知球的

11、半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2球的体积球的体积AO高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体OR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2, 1,)1(22niinRRri irOA球的体积球的体积高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体nininRnRrVii,2,1,)1(1232 niinRRri,2,1,)1(22 nVVVV 21半半球球)1(2122223nnnnR 6)12()1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的体积球的体积高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当3324.33VRVR半球球从而343RVR球定理：半径是 的球的体积为：球的体积球的体积高中数学人教高中数学人教A版必修版必修2 第一章第一章 空间几何体空间几何体l了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体