复变函数：11-Laurent级数

1、4.Laurent级数级数1.Laurent级数的定义级数的定义01()nnnczz01001010 ()()()nnnncc zzc zczzczzz00()nnnc zz0()nnnc zz级数1R2R11,nnncz令若的收1,R敛半径为120. nnnRc z设的收敛半径为12Laurentnnnc zRzR则级数在环形区域中收敛,12.RzR在闭区域以外发散1nnnc z 则当11zRzR时收敛,当时发散.2.Laurent级数在收敛圆环域内的性质级数在收敛圆环域内的性质0102 Laurenthm()TnnnczzRzzR级数在其收敛圆环域内和函数解析,可逐项求导,可逐项积分.2

2、,1.nnCzdzCz求其中 为中任意一条不经过原点的简单闭曲线例 2 Laurent0,.1nnzz级数在圆环域中收敛 可逐项积分解22 nnnnCCzdzz dz211CCdzdzzz 2, 0,0, 0izCzC当在 内部时当在 外部时.于是3.解析函数的解析函数的Laurent展开定理展开定理 Laurent.级数的和函数在其收敛圆环域内解析:Laurent? 考虑逆问题圆环域内解析的函数能否展开成级数Taylor 答案是肯定的,其证明方法与展开定理的证明类似.证明过程中的两个关键是:(1)Cauchy推广的积分公式.0(2)Taylor.zz1在 处的展开 Laurent展开定理是研

3、究解析函数的孤立奇点的重要工具,也是留数的定义和计算的基础.CaLeucmma hy推广的积(分公式)0z2R1R2K1KRr102( ):f zD RzzR 在圆环域中解析. zD 固定,121( )( ).2KKfdf ziz则z01212,.Dzr RKKzK K 在中做以 为圆心以为半径的正向圆周使得 介于之间200,Kzzz当时于是0011()zzzz00011()1zzzz00001nnzzzz0010()()nnnzzz2K0zz1K0zz100,Kzzz当时于是0011()zzzz00011()1zzzzz00001()nnzzzzz0010()()nnnzzz 102 ( )

4、Thm (Laurent)f zDz RzzR设在展开圆环定域理中解析,则0( )() , ,nnnf zczzzD ,其中011( ),2()nnfdciz0Dz而 为 中绕 的任一条简单正向闭曲线. ,ProofzD 0z2R1R2K1KRrz01212,.Dzr RK KzK K 在 中做以 为圆心 以为半径的正向圆周使得 介于之间Cauchy由推广的积分公式得211( )1( ) ( ).22KKfdfdf ziziz先考虑第一个积分.22,( ),KfK当时在上有界 且0010()1.()nnnzzzzTaylor与展开定理的证明一样,可得2200101( )1( )() .22()

5、nnKKnfdfdzziziz0,n 由闭路变形原理得,有200111( )1( ).2()2()nnKffddiziz 2K0zz( )001()1( ),2()!nnfzfdiznf注意这里这是因为在 内不是处处解析的,高阶求导公式不再成立.再考虑第二个积分1K0zz1,K当时0010()1()nnnzzzz 00(1)(1) 10()()nnnzzz 0011().()kkkzzz 于是1100111( ) 2()( )12()KkkKkfdizzzfdiz100111()( )1( ).2()kNNkKkzzfdRziz 其中1001()( )( ).()kNkKkNzzfRzdzli

6、m( )0,NNRz 只要证明就有1100111( )1( )() .22()kkKKkfdfdzziziz再由闭路变形原理知10011( )( ).()()kkKffddzzLaurent.综合前一积分的结果,即得展开定理 lim( )0.NNRz下证,0,fM由 的解析性使得1( ),.fMK 0,01.qr zzq令则于是1001()( ) ( )()kNkKkNzzfRzdz1001( )kkKkNzzfdz10kKkNzzMdrr1kKk NMqdr21NMqrrq2.1NMqq LaurentRemark 解析函数在确定的圆环域中的展开式是唯一的.1020,( )|,( )() ,

7、nnnf zDz RzzRf zczz 事实上 设在中解析 且0Dz为 中绕 的任一条简单正向闭曲线,0011( )()()n pnpnfdczdz 则 01()n pnnczd 2.pic LaurenRtTayloemarrk 解析函数的展开式是展开的推广. 00001,( )( )Laurent,1( ) ,2().nnf zzzRrzzRf zfdcizz 这是因为当在中解析时,若在圆环域中对进行展开 其系数其中 为圆环域中绕 的任一条简单正向闭曲线( )0(),0 !0,0Cauchy-Goursat.nnfzncnn 故时(高阶求导公式),时(定理)2 0 |Laurentzezz

8、 求中例在的展开式. Laurent 利用展开的解法一唯一性.0 |z ,有2220021.!(2)!znnnnnnezzzzznnn Laurent 利用展解法二开定理.2.znnnec zz2131111.22zznnnzzezecdzdziziz,其中3,Cauchy-Goursat,0.nnc 当时由定理2,n 当时由高阶求导公式,(2)0()1.(2)!(2)!znnzecnn22 .(2)!znnezzn故 LaurentLaureRentmark 解析函数在同一个圆环域内的展开式是唯一的,但在不同的圆环域中的展开式通常不同. LaurentLauRemrentLaurarkent

9、nc求解析函数的展开式时,直接用公式求系数 通常比较繁琐.利用展开的唯一性,可以用代数运算、代换、求导和积分等方法来对解析函数做展开. 01,12,2( )1Laurent(1)(2)zzzf zzz 分别在中的例求展开式.111 ( ).(1)(221)f zzzzz解(1)0 | 1,z当时2011,1nnnzzzzz 11122 1 ( /2)zz22112222nnzzz223112222nnzzz10.2nnnz,于是100( )2nnnnnzf zz1011.2nnnz(2)| 2,z当1时11z11122 1 ( /2)zz10.2nnnz,于是1101( )2nnnnnzf z

10、z 211111.242nnnzzzzz011nnzz11.nnz 111 (1/ )zz(3)2 |,z 当时01111111.11 (1/ )nnnnzzzzzz 12z,于是111121221( )nnnnnnnnf zzzz 111 (2/ )zz012nnnzz112nnnz 234113721.nnzzzz tan(1/ )0Laurent?zzR能否在内例展开成级数 .解 不能tan(1/ )0.zzR若能,则在中解析1,/2kzk令0,cos(1/)0,kkzz则且因而 tan(1/),tan(1/ ).kkzzz无定义是的奇点tan(1/ )0kzzRz 综上,在中解析,在该

11、区域中又存在奇点0,矛盾.01 Laurent1( ) 2()(Remar)Laurentknnfdcizf z展开定理的优势不是在于通过公式来求的展开式,01Laurent( )Laurent,( ).()nnf zfdcz 而在于利用展开的唯一性,通过其它办法对进行展开 从而由系数确定积分的值1,n 例如时 有1( )2.fdic4. Laurent展开定理的应用展开定理的应用31 .(1)(4)zIdzz zz例 求01 ( )14(1)(4)30,f zzz zzzz在圆环域中解析,而是该圆环域中绕的简单正向闭曲线解1Laurentfci 因此在此圆环域内的展开式的系数乘以2就是所求的

12、积分值.( )14Laurent:f zz在圆环域内的展开式为 Laurent关键是确定分析展开的区域.111( )43(1)12(4)f zzzz11111431 (1/ )48 1 ( /4)zzzz11111143484zzzz于是1111,4312c3( )zIf z dz12 ic.6i12 (1).zzIzez dz例 求1 ( )(1),2. zf zzezzz 在1中解析 而在此圆环域内解Laurentf将 在此圆环域内做展开:1( )(1)zf zzez111 (1/ )zez 22111111.2!zzzz 12,c 因此12( )24.zIf z dzici 122 0,

13、( )( ).zf zf zzz设时解析且例 Laurent: ( ),0.Proof nnnff zc zz对 做展开11( ),0.2nnzrf z dzcriz 其中成立1( )2nnzrf z dscz12212nzrzzdsz122.nrrr于是2,0.nnrc 当时 令得0,0,0.nnrc 当时 令得2012( ).f zcc zc z故证明2012( ).f zcc zc z0 01,cos(1) .nnrrn求例 Tay or.l解法一 利用级数01, 1.1nnzzzizre令得01.1cossinn innr erir比较实部得201coscos.1 2 cosnnrrnrr于是20coscos(1).1 2 cosn