微积分x积分与路径无关条件学习教案

1、会计学1微积分微积分x积分与路径无关积分与路径无关(wgun)条件条件第一页，共49页。例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 第

2、2页/共49页第二页，共49页。) 0 , 1 (A)1,1(B2yx .)2(的的积积分分化化为为对对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3(,上上在在 OA,10, 0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 第3页/共49页第三页，共49页。 物理学中把物理量在某个区域内的分布称为场，物理学中把物理量在某个区域内的分布称为场， 如：如： 温度场、速度温度场、速度(

3、sd)场、电磁场等。场、电磁场等。如果量的变化与时间无关，则称此场为稳定场。如果量的变化与时间无关，则称此场为稳定场。若对平面区域若对平面区域(qy)或空间区域或空间区域(qy)内每一个点内每一个点M，都有一个数量（向量）与之对应，则称在都有一个数量（向量）与之对应，则称在该区域上给定了该区域上给定了一个数量场一个数量场 （ 向量场）向量场）()f M()f M 引力做功W只与质点的起点和终点有关，而与路径无关，在物理学中称这样的场为保守场（位势场）保守场（位势场）。第4页/共49页第四页，共49页。112Lf dxf dy则称曲线积分则称曲线积分 12Lf dxf dy212Lf dxf d

4、y如果对于区域如果对于区域 G G 内任意指定内任意指定(zhdng)(zhdng)的两点的两点 A A、B B 以以及及 G G 内内从点从点 A A 到点到点 B B 的任意两条曲线的任意两条曲线 L1 L1，L2 L2 有有 称向量场称向量场 为保守场为保守场. . 12( )( , ),( , )f Pf x yfx yGyxoBA1L2L在在 G 内内与路径无关与路径无关, , 第5页/共49页第五页，共49页。向量场向量场 为保守场为保守场充要条件充要条件. . 12( )( , ),( , )f Pf x yfx yGyxoBA1L2L120.LLf drf dxf dy沿场内光

5、滑或逐段光滑的任意(rny)简单闭合曲线L第6页/共49页第六页，共49页。二、位势二、位势(wi sh)(wi sh)函数函数设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域, , 函数函数1( , ),f x y 2( , )fx y在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, , 则则 为保守场充要条件：为保守场充要条件： 在在G内内存在存在某一某一标量标量函数函数),(yxu使使 12( , )( , )( , )du x yf x y dxfx y dy 12( )( , ),( , )f Pf x yfx y定理定理(dngl)14-(dngl)14-1 1 向量场向量场 为保守

6、场，为保守场，u (x, y)称为保守场的（位）势函数，根据称为保守场的（位）势函数，根据(gnj)这一定理，保守场也称位势场。这一定理，保守场也称位势场。12( )( , ),( , )f Pf x yfx y第7页/共49页第七页，共49页。( , )12(,)( , )( , )( , )oox yxyu x yf x y dxfx y dy设下证下证12( , ),( , )uuf x yfx yxy0(, )12(,)(, )oxx yxyu xx yf dxf dyoyy证明证明(zhngmng)12( )( ),( )f Pf PfP 为保守场),(000yxM),(yxM),(

7、yxxN 0(, )( , )limxuu xx yu x yxx 01212MNMMf dxf dyf dxf dy10( , )limxfyxx 1( , )f x y同理可证同理可证2( , )ufx yy12( , )( , )duf x y dxfx y dy第8页/共49页第八页，共49页。反之反之(fnzh)若若存在存在(cnzi)12( , )( , )duf x y dxfx y dy则对则对D内光猾或逐段光滑的任意简单内光猾或逐段光滑的任意简单(jindn)闭合曲线闭合曲线:( )( )( )l rr ttrr 12.LLf drf dxf dy( ( )du r tdtd

8、t( ( )( ( )0u ru r.Ldu( , )12(,)( , )( , )( , )oox yxyu x yf x y dxfx y dy第9页/共49页第九页，共49页。12( , )( , )duf x y dxfx y dy保守保守(boshu)场场 ， 势函数势函数u (x, y)称为保守称为保守(boshu)场的原函数场的原函数12( )BBBBAAAAf drf dxf dyduu P( )( )u Bu A( )( )( ),( )( )baf x dxF aF bF xf x12( )( , ),( , )f Pf x yfx y第10页/共49页第十页，共49页。设

9、开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域, , 函数函数1( , ),f x y 2( , )fx y在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, , 则则 12( )( , ),( , )f Pf x yfx y为保守场充要条件：为保守场充要条件： 定理定理(dngl)14-2(dngl)14-221ffxy第11页/共49页第十一页，共49页。满足格林公式的条件满足格林公式的条件2112()LDfff dxf dydxdyxy0 ;LD任意闭曲线21ffxy 12( )( , ),( , )f Pf x yfx y为保守场为保守场： 充分性：因充分性：因第12页/共49页第十二页，

10、共49页。必要性：必要性：设存在设存在(cnzi)某一函数某一函数( , )u x y，使，使12( , )( , )duf x y dxfx y dy则必有则必有12( , ),( , )uuf x yfx yxy从而从而(cng r)2212,ffuuy xyx yx 由于由于(yuy)12,ff在在G内有连续的偏导数，故有内有连续的偏导数，故有21ffxy证毕证毕12( )( , ),( , )f Pf x yfx y为保守场为保守场 第13页/共49页第十三页，共49页。与与 路路 径径 无无 关关 的的 五五 个个 等等 价价 命命 题题条条件件(tiojin)在单连通开区域在单连通

11、开区域D上上12( , ),( , )f x yf x y 具有具有连连 12 (4)( , ) DU x yduf dxf dy在 中存在位势函数使12(5)ffyx等等价价命命题题续的一阶偏导数续的一阶偏导数, ,则以下则以下五五个命题个命题等等价价. . （1）在）在D内曲线内曲线(qxin)积分积分 与与路径无关路径无关Lf dr（2）沿）沿D内任意闭曲线内任意闭曲线(qxin)的曲线的曲线(qxin)积积分分0Lf dr 在在D内成立内成立12( )( , ),( , ),(,)drf Pdx dyf x yfx y123( )( ),( )f Pf PfP （ ）为保守场第14页/

12、共49页第十四页，共49页。12 ,ffyx若1100(,)12(,)B x yA xyf dxf dy11001021( ,)( , )xyxyf x y dxfx y dy11002011(, )( ,)yxyxfxy dyf x y dx或12 Lf dxf dyCBAC ),(01yxC ),(11yxB ),(00yxA xyoL ),(10yxDDBAD 与路径与路径(ljng)无关无关第15页/共49页第十五页，共49页。例例 1 1 计算计算 Ldyyxdxxyx)()2(422. . 其中其中 L 为由点为由点)0, 0(o到点到点)1, 1(B的曲线弧的曲线弧2sinxy

13、. . 解解因此因此(ync)，积分与路径无，积分与路径无关。关。122ffxyxoxy1122412 f ( , )2, f ( , ).x yxxyx yxy则则 在单连通域全平面在单连通域全平面(pngmin)上有连续的一阶偏导数，上有连续的一阶偏导数，且且12,ff 1010422)1()02(dyydxxx .1523 Ldyyxdxxyx)()2(422第16页/共49页第十六页，共49页。解解21()2,fxyxyyy2( )( ),fyxyxxx21( ,),f x yxy2( ,)( ),fx yyx故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy 10100ydydx.

14、21 OB12ffyx第17页/共49页第十七页，共49页。222222223,(,0)1( ,0)LxyxydxdyLAaxyxyxyB aab例求其中 是从点经上半椭圆周到点的弧段。22212222( , )(0,0)()ffyxyxx yxyxy解：积积分分与与路路径径无无关关dyQPdxIAFB 即即 daaaaaaacos)sincos(sin)sincos(102 ABF. 0,sincos到到从从 ayax第18页/共49页第十八页，共49页。( ,1)(1, )(0,0)(0,0)( , )2( , )2( , )2( , ),( , ).LttQ x yxoyxydxQ x

15、y dytxydxQ x y dyxydxQ x y dyQ x y例4 设函数在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，且对任意恒有求与路径无关与路径无关解：解： yxyxyxQ )2(),(x2 )(),(2ycxyxQ 则则 )1 ,()0 , 0(),(2tdyyxQxydx又又)1 ,(t tdyytQdxx010),(02120( )tc y dy), 1(t ), 1()0 , 0(),(2tdyyxQxydx 100), 1(02dyyQdxxt0( )ttc y dy 102)(dyyct tdyyct0)(t2即即)(1tc 12)( ttc12)(),(22 yxy

16、cxyxQ第19页/共49页第十九页，共49页。00( , )12(,)( , )( , )( , )x yxyu x yf x y dxfx y dy00102( ,)( , )xyxyf x y dxfx y dy00201(, )( , )yxyxfxy dyf x y dx位势位势(wi sh)函数的求法函数的求法一一.变上限变上限(shngxin)求积求积分法分法.0( ,)C x y( , )B x y),(00yxA xyoL第20页/共49页第二十页，共49页。二二. 偏积分法偏积分法1( , )ufx yx11( , )( , )( , )( ).u x yfx y dxF

17、x yC y2( , )ufx yy即即,12( )( , )FC yfx yy从而从而(cng r)可求出可求出C(y)1100(,)12(,)1100( )( )(,)(,)B x yA xyf dxf dyu Bu Au x yu xy并且并且(bngqi)第21页/共49页第二十一页，共49页。22ddyxxyyx在右半平面(pngmin) ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证:),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx12ffyx第22页/共49页第二十二页，共

18、49页。解解因此因此(ync)向量场是保守场向量场是保守场。1222ffxyyx2222 f( , )2, 2.x yxxyyxxyy例1 向量场f1,f2在单连通域全平面上有连续在单连通域全平面上有连续(linx)的一阶的一阶偏导数，且偏导数，且12 ( , ) dufDdxdyyfU x在 中存在使是不是保守(boshu)场,求U(x,y)第23页/共49页第二十三页，共49页。223221( , )(2)( )3uu x ydxxxyydxxx yxyC yx32221( )2( )3yuxx yxyC yxxyC yy2222( )2xxyC yxxyy2( )yy 31( )3yyC

19、 33221( , )33yu x yxx yxyC12 ( , ) dufDdxdyyfU x在 中存在使2222f( , )2, 2x yxxyyxxyy第24页/共49页第二十四页，共49页。oxy1121L2L解解 .272 e000( , )()(2 )xyyu x yex dxx ey dy例例 2 2 验证验证 Lyydyyxedxxe)2()(. .与路径无关，与路径无关， 并求之。并求之。L 为过为过)0, 0(o)1, 0(A)2, 1(B 的曲线弧的曲线弧. . 1yfey2fx(1,2)(1,2)22(0,0)(0,0)12yIf drxx ey22( , )2yxu

20、x yx ey第25页/共49页第二十五页，共49页。oxy1121L2L. 10: , 0 :1 xyL. 20: , 1 :2 yxL Lyydyyxedxxe)2()( 20100)21()(dyyedxxey.272 e解解 例例 2 2 验证验证 Lyydyyxedxxe)2()(. .与路径无关，与路径无关， 并求之。并求之。L 为过为过)0, 0(o)1, 0(A)2, 1(B 的圆周，由的圆周，由)0, 0(o到到)2, 1(B的曲线弧的曲线弧. . 1yfey2fx第26页/共49页第二十六页，共49页。21( , )()( )2yyuu x ydxex dx e xxyx(

21、 )2yy 2( ) yyC 12 ( , ) dufDdxdyyfU x在 中存在使12 f ( , ), f ( , )2 .yyx yexx yxey21( )2yyue xxyy( )2yyue xye xyy221( , )2yu x ye xxyC(1,2)12(0,0)(1,2)(0,0)f dxf dyuu.272 e第27页/共49页第二十七页，共49页。判别(pnbi): P, Q 在某单连通(lintng)域D内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),( 为全微分方程(wi fn fn chn) 则求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数

22、u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .第28页/共49页第二十八页，共49页。),(yxyxo0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因为因为(yn wi)yP236yyx ,xQ故这是全微分方程(wi fn fn chn). , 0, 000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123

23、)0 ,(x第29页/共49页第二十九页，共49页。0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个(y )全微分方程 .用凑微分(wi fn)法求通解.将方程改写为0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xyx故原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ第30页/共49页第三十页，共49页。思考思考(sko): 如何如何解方程解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个(y )全微分方程 ,12x就化成例2 的方程 .,0),(yx使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程,),(yx则称在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子

24、.但若在方程两边同乘0d),(d),(yyxQxyxP若存在连续可微函数 积分因子.第31页/共49页第三十一页，共49页。)(ddd) 1 yxyx )(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx )(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx 积分(jfn)因子不一定唯一 .0ddyxxy例如(lr), 对可取,1yx221yx ,21y,21x第32页/共49页第三十二页，共49页。与路径与路径(ljng)无关的五个等价无关的五个等价命题命

25、题条件条件(tiojin)函数函数123( , , ),( , , ),( , , )f x y zfx y zfx y z在单连通区域在单连通区域内具有一阶连内具有一阶连续偏导数续偏导数等价命题等价命题（1）曲线积分）曲线积分Lf dr在在内与路径无关内与路径无关（2）沿）沿内任意闭曲线的曲线积分内任意闭曲线的曲线积分0Lf dr （4）在）在内存在函数内存在函数U使使duf dr（5）332121,ffffffyzzxxy内成立内成立123(,),(,)ffffdrdx dy dz1233( )( ),( ),( )f Pf PfPf P （ ）为保守场第33页/共49页第三十三页，共49

26、页。0( , , )123(,)( , , )( , , )( , , )( , , )oox y zxy zu x y zf x y z dxf x y z dyf x y z dz01( ,)xooxf x yz dx20( , ,)oyyfx y z dy3( , , )ozzfx y z dz(,)oooA x y z为为内任取点。内任取点。空间空间(kngjin)保守场势函数计算方法保守场势函数计算方法一一.变上限变上限(shngxin)求积分法求积分法.O y0 y yzzz0 x0 xx( , , )B x y z(,)oooA xyz第34页/共49页第三十四页，共49页。二二

27、. 偏积分法偏积分法.1( , , )ufx y zx11( , , )( , , )( , , )( , ).u x y zfx y z dxF x y zC y z23( , , ),( , , )uufx y zfx y zyz12( , , )FCfx y zyy13,( , , )FCfx y zzz即即从而从而(cng r)可求出可求出( , ).C y z第35页/共49页第三十五页，共49页。111000(,)123(,)111001( )( )( ,)(,)B x y zA xyzf dxf dyf dzu Bu Au x y zu x y z求曲线求曲线(qxin)积分积分

28、332121,ffffffyzzxxy第36页/共49页第三十六页，共49页。1110(,)123(,)( , , )( , , )( , , )oox y zxy zf x y z dxf x y z dyf x y z dz101( ,)xooxf x yz dx1120( , ,)oyyfx y z dy1131( , )ozzfx y z dz(,)oooA x y z为为内任取点。内任取点。O y0 y1 yzz1z0 x0 x1x111( ,)B x y z(,)oooA xyz第37页/共49页第三十七页，共49页。zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径(ljng)无关, 并

29、求函数zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQyPxR1 积分(jfn)与路径无关,),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此(ync)第38页/共49页第三十八页，共49页。(2),(2),(2 )fyzxyz zx xyz xy xyz例设向量场（1）证明它是保守场）证明它是保守场（2）求出它的位势）求出它的位势(wi sh)函数函数U（x,y,z)(3)计算：计算：(1,2,3)123(0,0,0)f

30、 dxf dyf dz232231221222222ffxxyyzyzffxyyyzzxffxzyzzxy为保守为保守(boshu)场。场。第39页/共49页第三十九页，共49页。123( , , )(2)( , , )(2)( , , )(2 )uf x y zyzxyzxufx y zzx xyzyufx y zxy xyzz222( , )uudxyzxy zxyz xy zx222 ( , )(2) ( , )0( , )( )yyx zyzxxzy zzx xyzy zy zz2()( , )(2)uyz xyxzxy zzx xyzy2()( , )(2)uyz xyxzxy zz

31、x xyzy第40页/共49页第四十页，共49页。222uyzxy zxyz xC22222( )2( )(2 )( )0uudxyzxy zxyz xzxuyxy xzxyzxy xyzzz( ) zC(1,2,3)123(0,0,0)(1,2,3)(0,0,0)36f dxf dyf dzUU第41页/共49页第四十一页，共49页。定义定义(dngy)设设123( , , )( , , ),( , , ),( , , )f x y zf x y zfx y zf x y z为空间为空间(kngjin)区域区域上的向量场。对上的向量场。对上每一点上每一点(y din)( , , ),M x

32、y z定义向量函数定义向量函数332121( , , ),ffffffF x y zyzzxxy称它称它 为向量场为向量场f中点中点M处的旋度，记作处的旋度，记作.rotf123ijkrotfxyzfff四：旋度四：旋度第42页/共49页第四十二页，共49页。定义定义(dngy)设设f为空间为空间(kngjin)内的向量场，内的向量场，L为场内任意为场内任意(rny)封闭封闭曲线，称曲线，称LLf dr 为为f沿场内有向闭曲线沿场内有向闭曲线L指指定方向的环流量，简称环量。定方向的环流量，简称环量。注注:Lf dr表示流速为表示流速为f的流体在单位时间沿有向的流体在单位时间沿有向闭曲线闭曲线L的流量。反映了流体沿的流量。反映了流体沿L流动的旋转的强流动的旋转的强弱程弱程度。度。注注:由上述定义，由上述定义，Stokes公式可以写成如下的向量形式公式可以写成如下的向量形式()oLLSf drrotf ndS 第43页/共49页第四十三页，共49页。()oLSLSf drrotf ndS 上式说明上式说明(shumng