对坐标的曲线积分 ppt课件

1、5.2 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(型曲线积型曲线积分分) 一、问题的提出一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算oxyABL一、问题的提出一、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),()

2、,(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念11111,.,(),1,2,.,: (),iiiiiiiiniiiiLABFLL ABnP PP PQF QP P inF QP P 设 是一条以 为起点以 为终点的光滑有向曲线是定义在 上的有界向量值函数 把 自 到 任意地分成 个有向子弧段在毎一个有向小弧段上任取一点作点

3、积将各个小弧段所对应的点积相加得和式1.定义定义101,lim().niiiLiFLABF dSF QP P 存在，则称此极限为向量值函数 沿 由点 到点 的第二类曲线积分 记为101,.0,: lim()iniiiiLQF QP P 如果不论 将怎样划分 点怎样选取 当各小弧段长度的最大值时 上述和式极限,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L. ),(),(lim),(),(),(),()(),(,101111niiiiiiiLLniiiiiiiniiiiiiiiiiiyQxPdyyxQdxyxPSdFyQxPPPQFQjyixPP在直角坐标系下在

4、直角坐标系下,第二类曲线积分的坐标形式第二类曲线积分的坐标形式jyxQiyxPFL),(),(,在直角坐标系下为平面曲线设2.存在条件：存在条件：.),(),(,),(),(存在第二类曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdyyxQdxyxPLyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF特别地特别地,当当L为封闭的有向曲线时为封闭的有向曲线时,将上式写成将上式写成:LdyyxQdxyxP),(),(4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧. RdzQdyPdx.),(lim),(10

5、iiiniixPdxzyxP.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ.),(lim),(10iiiniizRdzzyxR5.5.性质性质即的积分异号到点和积分与由点到点由点沿路径路径的有向性,:) 1 (ABBAL即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.)()()()(ABLBALQdyPdxQdyPdx则任意三点上的是曲线设路径的可加性，LAAA321,:)2()()()()()()(322131AALAALAALSdFSdFSdF记作为正方向规定逆时针方向为封闭曲线时当路径,)3(LLSdFLLdzzyxRdyzyxQdxzyxPdyyxQdxyx

6、P),(),(),(),(),(或三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算 (化为定积分计算）化为定积分计算）,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理5.2dttttQtttPdyyxQdxyxPL)(

7、)(),()()(),(),(),(且( ),:():,( ),( , )( , )( ),( )( , )( , ),.().LxtL ABtytP x y dxQ x y dyxtytP x y dxQ x y dyt 即 当时计算是将代入被积表达式中 化为关于 的定积分 积分下限为出发点对应的参数积分上限为终点对应的参数不一定小于.,)()()(:终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)()(,)(,dxxyxyx

8、QxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则化为对化为对x或或y的定积分的定积分例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的的定定积积分分，化化为为对对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B:, :10:, :01AO yx xOB yx x 的的定定积积分分，化化为为对对y)2(,:2yxLBA

9、 ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 )0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原原式式. 0 问题：被积

10、函数相同，起点和终点也相同，但问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.（即该（即该型曲线积分型曲线积分与路径有关）与路径有关） 03a)(cos)cos1(2 d 例例3).1 , 1 (),0 , 1 ()0 , 0(,)3(;) 1 , 1 ()0 , 0()2(;) 1 , 1 ()0 , 0() 1 (,2222依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 xxdxdyxxyL2, 10,:2变到

11、从 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 yydydxyyxL2,10,:2变到从10422)22(2dyyyyydyxxydxL 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式,上上在在 OA,10, 0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B问题

12、：被积函数相同，起点和终点也相同，但问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同. （即该（即该型曲线积型曲线积分与路径无关）分与路径无关）小结：以上计算对坐标的曲线积分的方法小结：以上计算对坐标的曲线积分的方法称为直接法，具体步骤为称为直接法，具体步骤为:1. 画出画出L的图形，指明该有向曲线的方向，的图形，指明该有向曲线的方向，写出写出L的方程，参数变量的变化起点、终的方程，参数变量的变化起点、终点）点）2. 将将L的方程代入被积表达式中，简化被积的方程代入被积表达式中，简化被积表达式表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy3. 将对坐标的曲线积分化

13、为定积分。将对坐标的曲线积分化为定积分。注意：定积分的下限为积分变量的起点注意：定积分的下限为积分变量的起点定积分的上限为积分变量的终点。定积分的上限为积分变量的终点。积分变量积分变量2(5) ,C(1,0),(0,1),|(-1,0),(0,-1)Cdxdyxy 习题其中， 为以为顶点的正方形闭路，逆时针方向为正向。12341234 :1,:10:1,:01:1,: 10:1,:01CCCCCCyxdydx xCyxdydx xCyxdydx xCyxdydx x 分析分析01011010()()()()0dxdxdxdxdxdxdxdx1234| CCCCCdxdydxdydxdydxdy

14、xyxyxyxydxdyxy lssysxL0 ,)()(：设有向平面曲线弧为)cos,(cos,),(2222ssssssyxyyxxyxL为处的切线向量的方向角上点四四 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：LLdsdsdyQdsdxPQdyPdx)(则dsssQssPLcos)(),(cos)(),(dssssssQsssssPL)()()()(),()()()() )(),(2222方向角处的切向量的上点为有向曲线其中二类曲线积分的关系为即第一类曲线积分与第),(,)coscos(yxLdsQPQdyPdxLLLLdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(,的关系为与

15、第二类曲线积分对空间第一类曲线积分同理LLxxxdsQPQdyPdxyyybaxxyyL)coscos(,1cos,11cos:),(22：当有向平面曲线弧为LLyyydsQPQdyPdxxxxdcyyxxL)coscos(,11cos,1cos:),(22：当有向平面曲线弧为,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上上的的投投影影在在向向量量为为向向量量t

16、AAt处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx 解：先由解：先由L的方程的方程y=y(x)求出求出)(xyy例例4 把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中化为对弧长的曲线积分，其中L为沿上半圆周为沿上半圆周从点从点0，0到点到点1，1）。）。LdyyxQdxyxP),(),(xyx222那那么么22xxy22222)21(1111cosxxxxxyxLLdsxyxQxxyxPQdyPdx)1)(,(2),(2得得xxxxxxxyyxx1)21(1211cos2222四、小结四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算方法、对坐标

17、曲线积分的计算方法1-直直接法）接法）3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系LLdsQPQdyPdx)coscos(coscoscos )PdxQdyRdzPQRds思考题思考题 当当曲曲线线L的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化范范围围给给定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2,0 t，a是是正正常常数数），试试问问如如何何表表示示 L的的方方向向（如如L表表示示为为顺顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？ 思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中

18、中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当 t从从 2变变到到 0 时时，L 取取顺顺时时针针方方向向. 一、一、 填空题填空题: :1 1、 对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、 设设0),(),( dyyxQdxyxPL, ,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限对应于对应于L的的_点点, ,上限上限 对应于对应于L的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是

19、、两类曲线积分的联系是_ _. .练练 习习 题题二、二、 计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( (按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其中其中为圆周为圆周 222ayx ( (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中为为有有向向闭闭折折线线ABCD, ,这这里里 的的CBA,依依次次为为点点( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,1 1) )； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其其中中ABCDA是是以以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1(