偏导数与方向导数ppt课件

1、偏导数与方向导数1.1.知知 1) 1)求求z z的偏导数的偏导数 ； 2) 2)求求z z的高阶偏导数的高阶偏导数2.2.用用matlabmatlab求函数求函数 在点在点A(5,1)A(5,1)沿点沿点A(5,1)A(5,1)到点到点B(9,4)B(9,4)的方向上的方向导数的方向上的方向导数. . )sin(2xyxu yuxu,.,22222yxuyuxu)sin(2xyxu 求偏导数：diff(f(x)diff(f(x)求 的一阶导数 ；)(xf )(xfdiff(f(x),n)diff(f(x),n)diff(diff(f, x,m),y,n)diff(diff(f, x,m),y

2、,n) 求 的高阶偏导数 。nmnmyxf),(yxf);()()(xfnxfn阶阶导导数数的的求求diff(f(xdiff(f(x，y),x,n)y),x,n) 求 对 x 的 n 阶偏导数 ；nnxf ),(yxf syms x y u %定义符号变量定义符号变量 u=x2*sin(x*y); %给出函数给出函数 dx=diff(u,x)；%对对x求偏导求偏导 dy=diff(u,y)；%对对y求偏导求偏导解：输入命令例11求多元函数 的偏导数)sin(2xyxu 结果：结果：dx =2*x*sin(x*y) +x2*y*cos(x*y)dy =x3*cos(x*y) syms x y u

3、 %定义符号变量定义符号变量 u=x2*sin(x*y);%给出函数给出函数 dx2=diff(u,x,2);%对对x求求2 阶偏导阶偏导 dy2=diff(u,y,2);%对对y求求2 阶偏导阶偏导 dxdy=diff(diff(u,x),y); %先对先对x求偏导，求偏导，再对再对y求偏导求偏导解：输入命令例2 (2求多元函数 的高阶偏导数)sin(2xyxu 结果：结果：dx2= 2*sin(x*y) + 4*x*y*cos(x*y) - x2*y2*sin(x*y)dy2= -x4*sin(x*y)dxdy= 3*x2*cos(x*y) - x3*y*sin(x*y)设函数设函数u u

4、f(x, y)f(x, y)在点在点p0(x0p0(x0 y0) y0)的某一邻域的某一邻域U(P0)U(P0)内有定义内有定义 v v是以是以P0(x0P0(x0 y0) y0)为始点的一条射线为始点的一条射线 与与 v v 同 方 向 的 单 位 向 量 为同 方 向 的 单 位 向 量 为 e ve v( c o s( c o s coscos)=(cos)=(cos,sin,sin) )。则其方向导数为：。则其方向导数为：tpftepfpvfvt)()(lim)(0000tyxftytxfyxvft),()sin,cos(lim),(0000000构造一元函数，使得多元函数的方向导数等

5、于一元构造一元函数，使得多元函数的方向导数等于一元函数在零点的导数值。函数在零点的导数值。 )0( )()()(00gpvftepftgv解：输入命令A=5,1 ;%给出点给出点AB=9,4 ;%给出点给出点BL=sqrt(sum(B-A).2);%求求AB线段长线段长cosx=(B(1)-A(1)/L;%求方向向量的第一分量求方向向量的第一分量cosy=(B(2)-A(2)/L; %求方向向量的第二分量求方向向量的第二分量syms x y t%定义符号变量定义符号变量g=(x+t*cosx)2*sin(x+t*cosx)*(y+t*cosy);%定义关于定义关于t的函数的函数dg_dl=di

6、ff(g,t);%对对t求导数求导数b=subs(dg_dl,x,y,t,5,1,0);结果：结果：du_dl=(8*x*sin(x*y)/5 +x2*cos(x*y)*(3*x)/5 + (4*y)/5) b =19.2765)sin(2xyxu 定理：如果函数定理：如果函数u uf(x, y)f(x, y)在点在点p0(x0p0(x0 y0) y0)可微分可微分, , 则函数在该点沿任一方向则函数在该点沿任一方向v(evv(ev(cos(cos sin sin) ) (cos(cos cos cos) )的方向导数都存在的方向导数都存在, , 且有且有sin),( cos),( ),(00

7、0000yxfyxfyxvfyxA=5,1 ;%给出点给出点AB=9,4 ;%给出点给出点BL=sqrt(sum(B-A).2);%求求AB线段长线段长cosx=(B(1)-A(1)/L;%求方向向量的第一分量求方向向量的第一分量cosy=(B(2)-A(2)/L; %求方向向量的第二分量求方向向量的第二分量syms x y u%定义符号变量定义符号变量u=x2*sin(x*y);%给出函数给出函数du_dl=diff(u,x)*cosx+diff(u,y)*cosy%求方向导数求方向导数a=subs(du_dl,x,y,5,1)%代点求方向导数值代点求方向导数值结果：结果：du_dl =(8du_dl =(8* *x x* *sin(xsin(x* *y)/5+(3y)/5+(3* *x3x3* *cos(xcos(x* *y)/5y)/5+(4+(4* *x2x2* *y y* *cos(xcos(x* *y)/5y)/5 a=19.2765 a=19.2765解：输入命令由该定理知，还可以使用以下命令来方向导数由该定理知，还可以使用以下命令来方向导数jacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,z)jacobian(f