高等数学：8-6几何

1、几何应用复习复习: 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程切线方程0yy 法线方程法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点故在点),(00yx切线方程切线方程法线方程法线方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点在点有有有有因因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 一、空间曲线的切线与法平面定义 空间曲线割线的极限位置为曲线在该点 的切线。问题 求曲线上点M

2、0(x0,y0,z0)处曲线的切线 方程。1 1。曲线为参数方程的情况。曲线为参数方程的情况设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.M.),(0000tttzzyyxxM 对应于对应于;),(0000ttzyxM 对应于对应于设设M zzzyyyxxx 000ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM 考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ,000zzzyyyxxx ,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()

3、()(000000tzztyytxx 切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量. . )(),(),(000tttT 法平面法平面：过过M M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面. .0)()()(000000 zztyytxxt 例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zy

4、x法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF0|),(),( MzyzyMGGFFzyGF若 且满足隐函数存在定理条件由方程确定一组隐函数y=y(x),z=z(x)，利用隐函数求导法：),(),(),(),()(,),(),(),(),()(zyGFyxGFxzzy

5、GFxzGFxy 切线方程为切线方程为,000MyxyxMxzxzMzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy曲线在M点的切向量： 取为)(),(, 100 xzxyT MyxGFxzGFzyGF),(),(,),(),(,),(),( 例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，

6、得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz例32. 求曲线求曲线0453203222zyxxzyx在点在点(1,1,1) 的切线的切线解解3: 点点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线由此得切线:111zyx1691法平面法平面:0)

7、 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即即与法平面与法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl二、曲面的切平面与法线问题：将上面问题应用到曲面，曲面上过一点M有许多曲线，下面考察这些曲线的切向量。1。曲面方程一般式设曲面方程为设曲面方程为 ，M(x0,y0,z0)为曲为曲线上一点，线上一点，F 对各个变量有连续偏导数对各个变量有连续偏导数(光滑曲光滑曲面面)，且偏导不同时为，且偏导不同时为0 ，考察曲面上过，考察曲面上过M的任的任意曲线在意曲线在M的切线：的切线：0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切

8、向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线,)()()(: tztytx nTM(1)求切向量(2)又，曲线在曲面上，有：0)(),(),( tttF 对t 求导：0)(),()(),()(),(000000000 tzyxFtzyxFtzyxFzyx 表明，在M点),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ,Tn 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法

9、法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxf

10、zyxF 令令注：（1）用曲面的切平面可以描述曲面的一些性态： 若曲面具有连续变动的切平面，即： Fx,Fy,Fz连续，称曲面为光滑曲面。（2）法向量的方向余弦：,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中例例 3 3 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4 , 1 , 2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624

11、 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx其他例例例 求曲线求曲线 绕绕y轴旋转一周得到的旋轴旋转一周得到的旋转曲面在转曲面在 处的指向外侧的单位法向量。处的指向外侧的单位法向量

12、。 0122322zyx)2,3, 0(解解旋转曲面方程为：旋转曲面方程为：122)(3222 yzx在已知点的法向量为：在已知点的法向量为：26 ,34 , 0| 6 ,4 ,6)2,3,0( zyxn于是于是3,2, 0510 n)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为全微分的几何意义全微分的几何意义),(yxfz 在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz 在点在点),(000zy

13、x处的处的切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量. xyz0),(00yx),(00yyxx 0M1MTz dzxTyT例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满

14、足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2) 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则000226zyx3301633000zyx163202020zyx2(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)解解,2,2,6000zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知切向量为依题意知切向量为3, 3 32236000 zyx ,

15、00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 如如果果平平面面01633 zyx 与与椭椭球球面面163222 zyx相相切切，求求 .例例3. 求球面3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例例4. 确定正数确

16、定正数 使曲面使曲面zyx222zyx在点在点),(000zyxM解解: 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切, 故故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点又点 M 在球面上在球面上,32202020azyx故于是有于是有000zyx2a相切相切.333a与球面与球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有因此有20y20z2练习练习1. 如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则223yx .求000226zyx330163300

17、0zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上) 1. 证明曲面证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行与定直线平行,.),(可微其中vuF证证: 曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为取定直线的方向向量为,m,1)n则则(定向量定向量)故结论成立故结论成立 .的所有切平面恒的所有切平面恒(n(l,0nl证明证明 曲面曲面)(xyfxz 上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此则通过此0z

18、z)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 设设 f ( u ) 可微可微,证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为点的切平面为例例 求求 的过直线的过直线的切平面。的切平面。4222 zyx 026324yxzyx分析方法：分析方法： 利用平面束方程；利用平面束方程； 设切点坐标，求出点及设切点坐标，求出点及 。或利用点到平面的距离求出或利用点到平面的距离求出 。1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程 000zzyyxx法平面方程法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT切线方程切线方程法平面方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF