数学科学的魅力与精髓

1、魅力与精髓 数 学 揭示宇宙的规律 用智慧的思维、严谨的逻辑精湛的技巧、缜密的推理 我的目录 一、连续统假设 与二、分数维数与分形微积分 先从一个故事开始 （王元的评价） 这样的数列由素数构成的等差数列 1,1,2,1jjppdjk123,kp ppp称为数列的长度存在不存在 ？jp为素数，k其中d为公差，数列答案当然是肯定的 ！ 例如 5,7,29,41,5312d 1,3,5,75k 项数4k 2d 公差10k 199,409,619,829,1039,1249,1459,1669,1879,2089210d 目前，计算机 能找到的 最长的 等差素数列 为 44,546,738,095,8

2、60d 23,k 156,211,383,760,397,p 231(1)ppkd非常非常大的素数738,095,860 7亿3千8百零9万 44,546,738,095,860d 23,k 56万2千1百13亿8千3百76万零3百97156,211,383,760,397p 231(1)ppkd 44万5千4百67亿3千8百另9万5千8百60等差素数列的存在性定理 定理：对于任意的 ,kN N素数集必包含长度为k的等差素数列。 “存在性” 的证明 方法之难、技巧之高、 思维之精、理论之深 令人叹为观止 达到数学科学的顶峰。 世界舆论惊呼： “美丽的素数、伟大的证明” “一步登天的杰作” “惊

3、天的杰作” “第二位华裔数学家出现 在Fields奖坛上” 陶泽轩、 B. Green（澳大利亚华裔数学家） (美国)用调和分析、数论、遍历理论等 证明了：任意长度 的 素数等差数列存在 k N N 31岁（2006年）获（） 同年，获麦克阿瑟天才基金。 他的一本书：分析学给我以启发，决定讲下面的内容。 中国老一辈、新一代的 数学家们的期盼： “实现中国本土 Fields奖零的突破” 这个突破，历史地要达到科学的 顶 峰必须 热爱科学，热爱数学 就像钢琴、体操、 一、 连续统假设 与0,1,2, , nP P12,na aanANAN1,2, , nN N, 1,0,1,2, ,nnZ Z 早

4、在公元前500多年，古希腊的数学家毕达哥拉斯和以他为首的毕达哥拉斯学派，对“数”进行了研究，他们认为 一切数都可表示为 两整数之比（）至今还有人称有理数为 都是无限数集 把数放在“数轴”上:,qqppQZNQZNNZQNZQ0123-1-24x1211212212几个重要的问题1、 何谓无限数集 ？2、无限数集中元的 “个数” 是多少 ？无限数集能比多少否3、 比有理数集更大的数集 存在吗 ？有不是有理数的数否研究无限集及其中元的个数 自然数集与偶数集 哪个集的个数多 ？ 显然2NN 2NN 2回答：自然数集比偶数集 多出一倍用“一对一”比较 自然数集比作无限多个椅子 偶数集中每个数代表一个人

5、2 11NN 2NN 2 一人坐一个椅子，不多也不少 有理数竟然能与自然数一对一 以0,1中的有理数为例10 121 23 31 34 41 2 3 45 5 5 5123456789101110,1,2121,334312,45534,55rrrrrrrrrrr于是 无限集的定义 一个集合 ，若存在与它 一一对应的真子集E EFE E 则称其为无限集 自然数集“个数” 将自然数集作为无限数集的 ，称其“个数”为 势 cardinal number 0N2N2记为 读作 阿里夫零 :,qqppQZNQZN1,2, , nN N, 10,1,2, ,nnZ Z0,1,2, , nP P几个无限集

6、的势0000 、 、 、 NPZQNPZQ 请同学们自行证明 势的运算规则0000000nn + 、 + 、 022n德国数学家Cantor发现：幂运算 也能推广到“势”比阿里夫零更大的势002 代表 自然数集的全体子集 所构成的集的“势”Cantor 证明了 毕达哥拉斯学派对数学有巨大贡献如数论、几何（勾股定理）、数学的抽象思维研究方法等等。但却顽固 相传第一个发现 不能表示成分数的希帕索斯，被同一学派人投入大海而毙命。 习题：证明 不能表成分数22 越来越多的数学家发现了无理数，这使得数学家的思想认识发生混乱，导致数学史上有名的 “第一次数学危机”。 直到19世纪七十年代，德国数学家 康托

7、 （Cantor）、 戴德金（Dedekind）、 魏斯特拉斯（Weierstrass）分别独立地提出了三种不同方式 定义无理数使 得以真正公理化。无理数的势02 无理数诞生后， 数学家证明了 无理数的“势”就是证明方法非常巧妙nA02n1、个数为 的有限集合 的 所有子集共有 个2、势为 的无限集 的所有 子集设为 ，记为0202A构造一个集合 0:aaASA 1:,f EEf EESSS1、设 为 的所有子集的集合 2、设1 1:fA S为单点集所成的集构造集合导出矛盾！（练习题）导出矛盾1SA1S 是 的子集 从而导出矛盾！故得002S是的元 数学家的不断努力，使数集不断完善。 无理数的

8、诞生使得数轴被 “填满”，获得了实数系NPZQRNPZQR势为阿里夫的集0,1n、 、 RRRR基数阿里夫也称为 连续统基数连续统假设0Cantor猜想 基数阿里夫与阿里夫零 之间不存在其他基数Hilbert 23问题01900年巴黎的第二次国际数学家大会上，Hilbert 提出举世闻名的 23 问题，连续统假设显赫地排在 第一个 。Hilbert 23问题的答案1966年美国数学家科恩 p.J. Cohen因证明连续统假设与ZF集合公理系统彼此独立彼此相容，而获Fields奖成为微积分的基础连续统假设是 独立的现代逻辑工具更成为 的基础连续统假设的本质连续统假设与 ZF公理系统 （Zerme

9、lo）- (Fraenkel) 彼此独立ZF公理系统1、 空集存在2、元素相同的集相等3、两集的序对集（积集）存在4、集中的一些元素的并集存在5、集的所有子集（幂集）存在ZF公理系统 ,. .,Yst XYaXMM6、集在单值映射下的像仍是集7、正则公理：集不是自己的元8、无限公理：无限集存在9、选择公理：不含空集的非空 集族 七种等价结论连续统假设成为微积分的基础， 常用的是七个等价原理1、非空有界集的确界存在原理2、单调有界序列的收敛原理3、 Cantor 区间套原理4、 Heine-Borel有限覆盖定理 （有界闭区间的紧致性）七种等价结论5、 Bolzano-Weiestrass 定理

10、 （有界闭区间的序列紧性）6、 Weiestrass 聚点定理 （ 有界无限数集的列紧性）7、 Cauchy 序列的收敛性定理 （实数集的完备性）1122,nna ba ba bnnnLban 01!,nnnxa b我们只解释一下比较直观的 ：设递减闭区间序列 的长度趋向于 0当则存在唯一一点属于所有区间。用数学记号1122,nna ba ba b1a1b01!,nnnxa b区间套存在唯一的一个公共点2a2bnanb0 x当区间长度趋向于零时，0 x思考：为何以连续统假设为基础？ 要解决的核心问题 德国 （Newton, 16431727） （ Leibniz, 16461716 ） 在中

11、导数意义 曲线切线的斜率（数学） 运动物体的速度（物理） 积分意义 图形的长度面积 （数学） 物体的质量力矩 （物理） 导数 曲线切线的斜率（数学） 运动物体的速度（物理）都抽象地表示为一个 “极限” f xxf xx lim 0limxf xxf xfxx 这里是曲线割线的斜率，或运动质点的平均速度。曲线切线的斜率（数学） f xxf xx x 0limxf xxf xfxx 这里是曲线割线的斜率 是切线的斜率xx f xx f x曲线也可视为运动质点的运动轨迹积分 图形的面积（数学） 物体的质量（物理）也都抽象地表示为一个 “极限” 011iinaxxxxxblim 00limbniiia

12、fxf x dx这里是区间的划分，, a b11,;iiiiiixxxxx图形的面积（数学） 011iinaxxxxxba iifx这里是区间的划分，, a b11,;iiiiiixxxxxb1ixixi if是红色矩形面积 10niiifx是图形面积的近似值粗略地说探索宇宙间 、 与的规律 的学科是如何处理 “”（平均量） 与 “” （极限）因此是 至关重要的概念！是什么？也就是 称为 “”、 “”的概念，当满足什么？0Afx为 f x在0 x的导数，记为0000limxxf xxf xAx 几何意义：曲线在点 yf x0 x的切线的斜率。定义变化率的准则作为变化率，视为求导运算， 应满足以

13、下准则：（1）求导运算存在逆运算 （2）导数的Fourier变换满足 （3） 导数满足逼近论中的 （4） 固有方程的解 是所对应的局部紧群的 数学表示（1）求导运算的逆运算 ( )( ),( )( )dfx dxf xCf x dxf xdx（1）的意义正如，加法的逆运算 是( )( ),( )( )dfx dxf xCf x dxf xdx数学表示（2）导数的Fourier变换 满足 Fourier变换公式2(,)( )()( )i xfx edxif （2）的意义函数的Fourier变换 理解为信号（函数）的 频谱2(,)( )()( )i xfx edxif Fourier变换的意义在实

14、际应用中， 信号（函数）分析 雷达测量到的是信号的（3）的意义（3） 导数满足逼近论中 ( )122(, )(,)()rrnfLip CE CfO n ( )212(, )(,)()rrnfLip CE CfO n 亦即，函数愈光滑，最佳逼近趋于零的速度愈快；反之亦然。唯一的多项式，称为最佳近。 则函数越光滑（存在导数的阶 越高），最佳逼近趋于零的速 度愈快；反之亦然。其意思是：用多项式近似代替（逼近）一个函数时，存在 （4 4） 固有方程的解 是所对应的局部紧群的 ,i xyyye 物理背景强烈（振动的固有频率、 士兵过桥的故事） 数学意义深刻 （群与特征群理论）二、 分数维数 分形微积分

15、Mandelbrot （美籍） 19671967发表（） 为何在如此顶级的、为何在如此顶级的、 世界级科学期刊 “科学” 上， 发表几乎是中学地理课 都会讲到的一个 众所周知的内容呢？ 更有甚者、 它的答案竟然是 在其他科学领域中，如 物理学、天文学、 生命科学、 地球科学、 环境科学、 诸多领域中都也出现了 科学研究中出现了大量的 解决不了的问题！ 连续但处处无导数Weierstrass函数、无能为力！Weierstrass 函数 1sin, 01,1jjjW xx其图形为 撒哈拉大沙漠中的一只蝴蝶扇扇翅膀，就会在美国纽约掀起一场 狂风暴雨 这是怎么一回事呢 ？ Lorentz 体系：108

16、3dXXYdtdYXYYXYdtdZXYZdt 1083dXXYdtdYXYYXYdtdZXYZdt Lorentz 体系的解 不满足稳定性 就是当 Lorentz 系的 稳定性被破坏时产生的 自然现象。 孤立子（波） 伦敦泰晤士河边 骑马散步的罗素发现了 在实验室里产生孤立波，这种现象的数学研究方法是研究一种，涉 及很深的数学理论。 Mandelbrot,B.B. Mandelbrot,B.B. ( (1924-1924-) ) 美籍波兰人，耶鲁大学教授 20世纪70年代中期提出 ( 来自拉丁语fractusfractus，意为碎片) 自然界中不规则、支离破碎、 经典数学难以研究的问题 例如

17、：CantorCantor集、魔鬼阶梯、WeierstrassWeierstrass函数、BrownBrown运动 ：Cantor三分集中还有点吗 ？能登着魔鬼阶梯的每一级从底到顶吗 ？：Cantor三分集中 有无穷多个点， 多到 能与区间 0,1 中的点 一一对应；亦即，它的势是 ：不可能 登着魔鬼阶梯 每一个台阶上去！（为什么？留给听众思考！） Coch曲线（雪花曲线）随机雪花曲线是 的模拟 Mandelbrot 心 脏 动态的Mandelbrot心脏树叶风筝抽象派项链龙的曲线 Julia集（兔子集）余弦树 什么是分形呢？ 分形图形或分形集指的是 具有以下特征性质的几何形体:（1）在任意小

18、的尺度下 都有 （无论如何细分，都含有 自身的特征性质）；（2）处处不可微 （没有经典意义下的导数、 或逐段导数0, 接点无导数）（3）通常的度量对它们失去意义 （如长度、面积、体积等, 或 = 0 ,或 = 无穷大）；（4） 有其自身生成规律性 （自相似、自仿、递归、 随机自相似、随机行走等）例如, , CantorCantor三分集, , Cantor Cantor 三分函数 （魔鬼阶梯）, , JuliaJulia集, , Brown Brown 运动, , Weierstrass Weierstrass 函数, , Koch Koch 曲线, , Mandelbrot Mandelbr

19、ot 心脏, , 龙的曲线, , 等等. . Fractal Fractal 向传统挑战经典微积分： 导数（微分） 切线斜率 运动物体的速度 积分 物体的度量 长度、面积、体积但是，经典微积分： 求导数、求积分 必须有条件例如：有切线 无切线 求积分（长度、面积、体积） 度量单位给定，Cantor 三分集长度为零； 雪花曲线长度为无穷大！对于不满足条件的曲线、曲面， 出现失去意义的情况。 英国的海岸线为无穷大， 是因为： 我们从维数开始认识 “分形”点是 0 0 维，直线是 1 1 维， 平面是 2 2 维，空间是 3 3 维。有 4 维、5维、吗 ？ 有 维吗？ 有分数维、无理数维吗 ？分形

20、分析的思维分形分析的思维 （1）各种分形维数 了经典几何的概念 例如，Cantor集 ln2dimln3HC 这个维数称为 CantorCantor集在 Hausdorff Hausdorff 维数 之下，其 Hausdorff Hausdorff 测度 （不再像Lebesgue测度那样为零了） ln2dimln3( )( )1HCHCHCHausdorff 维数的引入：取定 a 为直线上的尺度， 平面上以 a 为边的正方形面积为 空间中以 a 为边的立体体积为2a3a0,1,2,n 当作为尺度不合适时，取, 0sas na，就是一种新“维数”，s这种思维，显然 经典几何的测量思维方法，达到 记Hausdorff维数为 s, 则 Koch曲线 s = ln4/ln3英国海岸线 s = 1.2618亚马孙河流域 s = 1.85蚂蚁行走路径 s = 1.2月球“酒海” 月坑 s = 2.3人类的肺 s = 2.17人类的血管 s = 3（2） 分形集、分形函数 的 “变化率” 问题 了例如，Weierstrass函数， 处处连续、处处不可导众所周知， WeierstrassWeierstrass函数 1sin, 01,1jjjW xxWeierstrass 证明： 处处不可导，点点无导数 1sin, 01,1jjjW xx当一个质点沿着 WeierstrassWeierstr