第三篇数学分支中的相关数学模型

1、第三篇第三篇 数学分支中的相关数学模型数学分支中的相关数学模型1 1 高等数学相关模型高等数学相关模型 1.11.1卫星轨道长度卫星轨道长度 1.21.2射击命中概率射击命中概率 1.31.3人口增长率人口增长率 2 2 线性代数相关模型线性代数相关模型 2.12.1投入产出综合平衡分析投入产出综合平衡分析 2.22.2输电网络输电网络3 3 概率统计相关模型概率统计相关模型 3.13.1合金强度与碳含量合金强度与碳含量 3.23.2年龄与运动能力年龄与运动能力 3.33.3商品销售量与价格商品销售量与价格 1 1 高等数学相关模型高等数学相关模型问题问题1.1 1.1 卫星轨道长度卫星轨道长

2、度人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆.我国第我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面一颗人造地球卫星近地点距地球表面439km，远地点距地球表面远地点距地球表面2384km，地球半径为，地球半径为6371km,求该卫星的轨道长度求该卫星的轨道长度. . 分析分析卫星轨道椭圆的参数方程卫星轨道椭圆的参数方程 )20(sin,costtbytax椭圆长度椭圆长度 分别是长、短半轴分别是长、短半轴 ba,122222204(sincos)Ldlatbtdt椭圆积分椭圆积分无法解析计算无法解析计算 输出输出MATLAB程序程序 function y=x5(t)a = 8

3、 7 5 5 ; b = 6 8 1 0 ; y=sqrt(a2*sin(t).2+b2*cos(t).2); t=0:pi/10：pi/2y1=x5(t);L1=4*trapz(t,y1) L2=4*quad(x5,0,pi/2,le-6) L1=4.908996526785276e+004 L2=4.908996531830460e+004 输出输出求解求解梯形公式梯形公式 辛普森公式辛普森公式 68104396371,875523846371ba评注评注问题问题1.2 1.2 射击命中概率射击命中概率炮弹射击目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标中心发射炮弹射击目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标

4、中心发射时，在众多因素影响下，弹着点与目标中心有随机偏差时，在众多因素影响下，弹着点与目标中心有随机偏差. 分析分析设目标中心设目标中心x=0,=0,y=0, =0, )(21222221),(yxyxyxeyxp无法解析计算无法解析计算 设弹着点围绕中心成二维正态分布设弹着点围绕中心成二维正态分布, ,且偏差在且偏差在X方向和方向和Y方向相互独立方向相互独立.若椭圆在若椭圆在X方向半轴长方向半轴长120m,Y方向半轴方向半轴长长80,设弹着点偏差的均方差在设弹着点偏差的均方差在X和和Y方向均为方向均为100m.求炮弹落在椭圆形区域内的概率求炮弹落在椭圆形区域内的概率. 则弹着点则弹着点( (

5、x, ,y) )概率密度函数概率密度函数 myx1001:,),(2222byaxdxdyyxpP炮弹命中椭圆形区域的概率炮弹命中椭圆形区域的概率 80,120ba求解：求解：蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法这是一种随机实验的方法，用它来计算定积分的原理这是一种随机实验的方法，用它来计算定积分的原理可以从下面的直观例子得出。如图所示：可以从下面的直观例子得出。如图所示： 投石算面积投石算面积随机投点法随机投点法从概率论的观点看上例，记投点的坐标为从概率论的观点看上例，记投点的坐标为 ( ,),1,iix yin 每个坐标视为相互独立的、（每个坐标视为相互独立的、（0，1）取间内均匀分布的随机变量，）取

6、间内均匀分布的随机变量，简称（简称（0，1）随机数。）随机数。根据大数定律，事件根据大数定律，事件“ 落在四分之一单位圆面积内落在四分之一单位圆面积内”发生发生的频率的频率 （依概率）收敛于（依概率）收敛于（ ）该事件发生的概率）该事件发生的概率P，不妨写作不妨写作 ，而而 P可以用积分表示为可以用积分表示为( ,)iix yknn kPn1( )12000( )( ) ( )1f xPP yf xdydxf x dxf xx 于是当于是当 ，可以用随机投点法作近似计算，可以用随机投点法作近似计算0( )1f x10( )kf x dxn这里这里n是二维（是二维（0，1）随机数）随机数 的总数

7、，的总数，k是其中是其中满足满足 的数目。（的数目。（0，1）随机数可以用计算机）随机数可以用计算机方便的产生。方便的产生。( ,)iix y( )iiyf xrand(1,n) 产生产生n个（个（0，1）随机数，用于蒙特卡）随机数，用于蒙特卡罗方法。罗方法。重积分的计算：重积分的计算：12( , ) : 01,0( )( )1f x y dxdyxg xygx设设 ( ,),1,iix yin 是相互独立的（是相互独立的（0，1）随机数，）随机数，判断每个点判断每个点 ( ,)iix y是否落在是否落在 域内，将落在域内，将落在 域内的域内的m个点记作个点记作 (,),1,kkxykm,则则

8、 11( , )(,)mkkkf x y dxdyf xyn求解：求解：蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法作变换作变换 ,bvyaux以以100(m)100(m)为为1 1单位，则单位，则 8 . 0, 2 . 1, 1bayxdudvvupabP),(1:,21),(22)(212222vuevupvbuaMATLAB程序程序 输出输出a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;n=100000;for i=1:n x=rand(1,2);y=0;if x(1)2+x(2)2=1 y=exp(- 0.5*(a2*P=0.3752, m=78.552 x(1)2+b2*x(2)2);z=z+y, m=m+1

9、endendp=4*a*b*z/2/pi/n,m 评注评注问题问题1 11.3 1.3 人口增长率人口增长率20世纪美国人口数据世纪美国人口数据(10(106 6 ), ), 年份年份 1900 1910 1920 1930 人口人口 76.0 92.0 106.5 123.2 1940 1950 1960 1970 1980 1990 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 计算各年份人口增长率计算各年份人口增长率. 记时刻记时刻t t人口为人口为x( (t t) )，则人口相对增长率为，则人口相对增长率为分析分析)(/)(txdtdxtr记记19001900

10、年为年为k=0 =0 求解：求解：数值微分三点公式数值微分三点公式 8 , 2 , 1,2011kxxxrkkkk99879021002034,2043xxxxrxxxxr 年增长率年增长率 2.20 1.66 1.46 1.02 1.04 1.58 1.49 1.16 1.05 1.04 评注评注问题问题2 2已知某地区已知某地区20世纪世纪70年代的人口增长率年代的人口增长率, ,且且19701970年人口为年人口为210210（百万），（百万）， 年份年份 1970 1972 1974 年增长率（年增长率（%） 0.87 0.85 0.89 1976 1978 1980 0.91 0.9

11、5 1.10 试估计试估计1980年的人口年的人口. 记时刻记时刻t t人口为人口为x( (t t) )，则人口增长满足微分方程，则人口增长满足微分方程 分析分析)()(txtrdtdx记记19701970年为年为k=0 =0 求解求解tduurextx0)(0)(评注评注0)0(xx1980年该地区人口为年该地区人口为230.2（百万）（百万） 数值积分梯形公式数值积分梯形公式 为算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：为算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：以由西向东方向为以由西向东方向为x轴，由南到北方向为轴，由南到北方向为y轴，选择方便轴，选择方便的原点，并将从最西边界点

12、到最东边界点在的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的间适当地划分为若干段，在每个分点的y方向测出南边方向测出南边界点和北边界点的坐标，得到表中数据（单位界点和北边界点的坐标，得到表中数据（单位mm）. 习题：习题： 国土面积问题国土面积问题 根据地图比例根据地图比例, ,18mm相当于相当于40km，试由测量数据计，试由测量数据计算瑞士国土的近似面积，与它的精确值算瑞士国土的近似面积，与它的精确值41288km比较比较. 2 2 线性代数相关模型线性代数相关模型背景背景2.1 2.1 投入产出综合平衡分析投入产出综合平衡分析国民经济各个部门之

13、间存在着相互依存的关系，国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）过加工（投入）变为自己的产品（产出）. .投入产出综合平衡模型投入产出综合平衡模型: :根据各部门间的投入根据各部门间的投入产出关产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求 . .设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如

14、表（产值单位为亿元）外部需求、初始投入等如表（产值单位为亿元） 简化简化问题问题 产出产出投入投入农业农业制造业制造业服务业服务业外部外部需求需求总产出总产出农业农造业制造业301045115200服务业服务业2060/70150外部外部 需求需求3511075总投入总投入100200150说明说明假定每个部门的产出与投入是成正比的，由上表假定每个部门的产出与投入是成正比的，由上表能够确定这三个部门的投入产出表能够确定这三个部门的投入产出表 投入投入农业农业制造业制造业服务业服务业农业农业0.150.100.20制造业制造业0.300.050.30服务业服务业0.20

15、0.300说明说明表中数字称为表中数字称为投入系数投入系数或或消耗系数消耗系数 假设系数是常数假设系数是常数产出产出 设有设有n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建个部门，已知投入系数，给定外部需求，建 立求解各部门总产出的模型立求解各部门总产出的模型. . 如果今年对农业、制造业、服务业的外部需求分如果今年对农业、制造业、服务业的外部需求分别为别为5050，150150，100100亿元，三个部门总产出？亿元，三个部门总产出？ 模型可行模型可行：对于任意给定的、非负的外部需求：对于任意给定的、非负的外部需求, ,都都能得到非负的总产出能得到非负的总产出. .为使模型可行为使模型可行, ,投

16、入系数满足？投入系数满足？ 如果三个部门的外部需求分别增加如果三个部门的外部需求分别增加1 1个单位，他们个单位，他们的总产出应分别增加多少？的总产出应分别增加多少？ 分析分析投入产出综合平衡分析投入产出综合平衡分析 若有若有n个部门，记一定时期内第个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为个部门的总产出为xi，其中对第其中对第j个部门的投入为个部门的投入为xij，满足的外部需求为，满足的外部需求为di，则，则nidxxinjiji, 2 , 1,1投入产出表每一行都满足投入产出表每一行都满足 记第记第j个部门的单位产出需要第个部门的单位产出需要第i个部门的投入为个部门的投入为aij ，在每个部

17、门的产出与投入成正比的假定下，有在每个部门的产出与投入成正比的假定下，有njixxajijij, 2 , 1,nidxaxinjjiji, 2 , 1,1记记投入系数矩阵投入系数矩阵nnijaA)(产出向量产出向量 Tnxxx),(1需求向量需求向量 Tnddd),(1dAxxdxAI)(则则 或或 若若I-A可逆，则可逆，则 dAIx1)( 各部门总产出各部门总产出 MATLAB程序程序 a=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0;a=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0; d=50 150 100;d=50 150 100;

18、 b=eye(3)-a;b=eye(3)-a; x=bdx=bd , c=inv(b)c=inv(b) 三部门总产出三部门总产出:139.2801,267.6056,208.1377:139.2801,267.6056,208.1377亿元亿元 外部需求分别增加外部需求分别增加1 1个单位时，总产出分别增加个单位时，总产出分别增加C=1.3459 0.2504 0.3443C=1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167 0.4382 0.4304 1.2167 部门关联系

19、数部门关联系数 当对农业的需求增加当对农业的需求增加1 1个单位时个单位时, ,农业、制造业、和服农业、制造业、和服务业的总产出分别增加务业的总产出分别增加1.34591.3459，0.56340.5634，0.43820.4382单位单位 dAIx1)( 模型可行模型可行njaniij, 2 , 1, 11若若问题问题2.2 2.2 输电网络输电网络一种大型输电网络可简化为电路一种大型输电网络可简化为电路 负载电阻负载电阻 nRRR,21线路内阻线路内阻 nrrr,21电源电压电源电压V TnIII),(1负载电流负载电流 列出各负载上电流的方程列出各负载上电流的方程 设设 讨论情况讨论情况

20、 18, 6, 1,11VRrrrrRRRnnn=10,=10,求求 nIII,21及总电流及总电流 0InV1I2InI1r2rnr1R2RnR0I分析分析记记 nrr,1上的电流为上的电流为 niii,21根据电路中电流、电压关系根据电路中电流、电压关系, ,列出列出 111122221111nnnnnnIRIRirIRIRirVIRi rnnnnniIiiIiiIiiI112321210)(0)()(11222211121111nnnnnnnIrRIRIrIrRIRVIrIrIrR消消 niii,21和和 求电流方程求电流方程 ERI 求电流方程求电流方程 其中其中 1111112222

21、1000nnnRrrrrRRrrrRRRr12,0,0TTnII IIEVMATLAB计算电流计算电流程序程序 r=1;R=6;v=18;n=10; b1=sparse(1,1,v,n,1);b=full(b1);a1=triu(r*ones(n,n);a2=diag(R*ones(1,n);a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+ tril(R*ones(n,n),-2);a=a1+a2+a3; I=ab;I0=sum(I) k0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 910105.99705.99706.00006.00002.00052.00052.00002.

22、00001.33441.33441.33331.33330.89070.89070.88890.88890.59550.59550.59260.59260.39950.39950.39510.39510.27020.27020.26340.26340.18580.18580.17560.17560.13240.13240.11710.11710.1010.1011 10.0780.0780 00.0860.0867 70.0520.0520 0k11111212131314141515161617171818191920200.03470.03470.02310.02310.01540.015

23、40.01030.01030.00690.00690.00470.00470.00320.00320.00230.00230.0010.0018 80.0010.0015 5)20()10(nInIkk)20( nIk说明说明从从n=10=10到到n=20=20，I0几乎不变，几乎不变，I1- -I5变化也很小变化也很小 Ik+1差不多是差不多是Ik的的2/32/3倍倍如果如果n增加到增加到50,100?50,100? 可以得到类似的结论可以得到类似的结论 证明证明Ik+1是是Ik的的2/32/3倍倍 习题：种群的繁殖与稳定收获习题：种群的繁殖与稳定收获 种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减

24、少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变.种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性. 种群年龄记作 当年年龄 的种群数量记作 ，繁殖率记作 （每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作 为一年的死亡率），收获量记作 ，则来年年龄 的种群数量 应为, 2 , 1nkkkxkbkkkdds,1(khkkx11111,(1,2,1)nk kkk kkkxb xh xs xhkn （1）若 已知，给定收获量 ，建立求各年龄的稳定种群数量 的模型（用矩阵、向量表示）。 （2）设 如要求 为500，400，200，100，100,

25、求 。 （3）使 均为500，如何达到?kksb ,khkx, 6 . 0, 4 . 0, 3, 5, 0, 5324143521ssssbbbbbn51 hh51 xx51 hh解：（解：（1） 111211211 nkkknnnnxb xhxs xhxsxh111121222121111000 000 000nnnnnnnnnxxhbbbbxxhssxxhsxxh111121222121111000 ,000 , ,000nnnnnnnnnxxhbbbbxxhsxAsxhxxhsxxhxAxh为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。因此为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持

26、不变。因此 xxxAxh 则，则，1()xAIh即即3 3 概率统计相关模型概率统计相关模型问题问题3.13.1合金强度与碳含量合金强度与碳含量合金的强度合金的强度y( (kg/mmkg/mm) )与其中的碳含量与其中的碳含量x( ( %)%)有比有比较密切的关系，从生产中收集一批数据较密切的关系，从生产中收集一批数据. .求拟合函数求拟合函数y(x) ，再用回归分析进行检验，再用回归分析进行检验. .x0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0

27、.17 0.18 0.20 0.21 0.23 y42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.560.5分析分析0.10.120.140.160.180.20.220.24404550556065描点作图描点作图 y与与x近似近似为线性为线性, ,拟合拟合y=ax+b.y=ax+b.MATLAB程序程序 x=0.1:0.01:0.23;x=0.1:0.01:0.23;x=x(1:9),x(11:12),x(14);

28、x=x(1:9),x(11:12),x(14);y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,y=42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5;49,55,50,55,55.5,60.5;pp=pp=polyfitpolyfit(x,y,1);(x,y,1);xx=0.08:0.01:0.25;xx=0.08:0.01:0.25;yy=polyval(pp,xx);yy=polyval(pp,xx);plot(x,y,rplot(x,y,r* *,xx,yy),xx,yy) 0.080.10.120.140.160.180.20.220.24

29、0.2635404550556065拟合拟合 y=ax+ba=140.6194,b=27.0269 评注评注是否线性显著是否线性显著 有无异常点有无异常点预测预测 程序程序hejinpolyMATLAB统计工具箱统计工具箱 多元线性回归多元线性回归 b=regress(Y,X)b=regress(Y,X) b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) Y,X为按列排列的数据为按列排列的数据说明说明b,bintb,bint为回归系数估计值和他们的置信区间为回归系数估计值和他们的置信区间

30、m10,alphaalpha为显著性水平（缺省时设定为为显著性水平（缺省时设定为0.050.05）statsstats包括包括R R2 2，F F，P P值值r,rintr,rint为残差及置信区间，可用为残差及置信区间，可用rcoplot(r,rint)rcoplot(r,rint)画图画图 合金强度与碳含量问题合金强度与碳含量问题回归模型回归模型 xy10 回归模型与统计检验回归模型与统计检验 MATLAB程序程序 x1=0.1:0.01:0.18;x1=0.1:0.01:0.18;x=x1 0.2 0.21 0.23;x=x1 0.2 0.21 0.23;y=y=42 41.5 45 4

31、5.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.542 41.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.5;x=ones(12,1) x;x=ones(12,1) x;b,bint,r,rint,stats=b,bint,r,rint,stats=regressregress(y,x);(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)b,bint,stats,rcoplot(r,rint) b= 27.0269 140.6194b= 27.0269 140.6194bint=22.3226 31.7313bint=22.32

32、26 31.7313 111.7842 169.4546 111.7842 169.4546stats=0.9219 118.0670 0.0000stats=0.9219 118.0670 0.0000 6194.140,0269.2710 y=27.0269+140.6194x线性显著线性显著模型成立模型成立 有无异常点有无异常点画残差分布图画残差分布图24681012-6-4-20246Residual Case Order PlotResidualsCase Number除第除第8个数据外其余残差个数据外其余残差的置信区间均包含零点的置信区间均包含零点第第8个点应视为异常点，个点应视为

33、异常点，剔除后重新计算，可得剔除后重新计算，可得 b= 26.8968 139.9043 bint=24.1330 29.6606 122.7939 157.0148stats=0.9744 342.1259 0.0000 程序程序hejinre问题问题3.2 3.2 年龄与运动能力年龄与运动能力 将将1717至至2929岁的运动员每两岁一组分为岁的运动员每两岁一组分为7 7组，组，求年龄对这种运动能力的影响关系求年龄对这种运动能力的影响关系. .多项式回归多项式回归 年龄年龄 17 19 21 23 25 27 29 17 19 21 23 25 27 29第一人第一人 20.48 25.1

34、3 26.15 30.0 26.1 20.3 19.3520.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35第二人第二人 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.324.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3分析分析MATLAB散点图程序散点图程序 每组两人测量其旋转定向能力每组两人测量其旋转定向能力. .x=17:2:29;x=17:2:29;y1=20.48,25.13,26.15,30.0,y1=20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35;26.1,20.3,19.35

35、;y2=24.35,28.11,26.3,31.4,y2=24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3;26.92,25.7,21.3;plot(x,y1,+,x,y2,+)plot(x,y1,+,x,y2,+)axis(15 30 15 35)axis(15 30 15 35) 152025301520253035应拟合一条二次曲线应拟合一条二次曲线 可利用可利用ployfit ployfit 一元多项式回归一元多项式回归年龄与运动能力的二次模型年龄与运动能力的二次模型 axaxay221MATLAB程序程序 x1=17:2:29;x=x1,x1;x1=17:2

36、:29;x=x1,x1;y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.3524.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;p,S=polyfit(x,y,2); pp,S=polyfit(x,y,2); p p=-0.2003 8.9782 -72.2150 p=-0.2003 8.9782 -72.2150 a1=-0.2003 a2=8.9782 a3=-72.2150 a1=-

37、0.2003 a2=8.9782 a3=-72.2150 S S是一个数据结构是一个数据结构 Y,delta=polyconf(p,x,S);Y Y,delta=polyconf(p,x,S);Y 得到得到x与与y的拟合效果的拟合效果求解求解程序程序duo11618202224262830161820222426283032统计检验统计检验y1=mean(y); rsquare=sum(Y-y1).2)./sum(y-y1).2), s=sqrt(sum(y-Y).2)./12), rsquare=0.6980 s=2.0831 衡量拟合优劣的指标衡量拟合优劣的指标 问题问题3.3 3.3 商

38、品销售量与价商品销售量与价格格 某厂生产电器的销售量某厂生产电器的销售量y与竞争对手的价格与竞争对手的价格x1 1和本厂的价格和本厂的价格x2 2有关有关. .在在1010个城市的销售记录个城市的销售记录 建立建立y与与x1 1和和x2 2的关系式的关系式 x1 1元元120 140 190 130 155 175 125 145 180 150120 140 190 130 155 175 125 145 180 150 x2 2元元100 110 90 150 210 150 250 270 300 250100 110 90 150 210 150 250 270 300 250y个个102 100 120 77 46 93 26 69 65 85102 100 120 77 46 93 26 69 65 85分析分析 对模型和系数进行检验对模型和系数进行检验 若本厂售价若本厂售价160160元，对手售价元，对手售价170170元，预测销