理学41数学期望学习教案VIP

1、会计学1理学理学41数学数学(shxu)期望期望第一页，共37页。2022年4月16日星期六2问题的提出：问题的提出： 在实际应用中，除了需要了解在实际应用中，除了需要了解(lioji)随机变量的分布函数外，我们更关心能够反映随机变量某些特征的指标。随机变量的分布函数外，我们更关心能够反映随机变量某些特征的指标。考察广州市区居民的家庭收入情况，我们既要知道家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。考察广州市区居民的家庭收入情况，我们既要知道家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。例如：例如：在评定某地区粮食产量水平时，最关心的是平均产量在评定某地区粮食产量水平时，最关心的是平均产量在

2、检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度。第1页/共37页第二页，共37页。2022年4月16日星期六3一、离散一、离散(lsn)(lsn)型随机变量的数学型随机变量的数学期望期望二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、数学期望的性质三、数学期望的性质第2页/共37页第三页，共37页。2022年4月16日星期六4一、离散一、离散(lsn)(lsn)型随机变量的型随机变量的数学期望数学期望 定义：设X是离散型随机变量(su j bin lin

3、)，其分布律为,1,2,.iiP Xxpi若级数 收敛，1iiix p则称级数 为X的数学期望，1iiix p记为E(X).即1()iiiE Xx p 例：例：设X表示掷一颗均匀的骰子的点数，求E(X). 解：解：因为X的分布律为1,1,2,.,66P Xii所以1111117()1234566666662E X 第3页/共37页第四页，共37页。2022年4月16日星期六5例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血，用两种方法来化验血：（个人去验血，用两种方法来化验血：（1）每个人的血分别化验，须验）每个人的血分别化验，须验N次；（次；（2）

4、把）把k个人的血液个人的血液(xuy)混在一起化验，如果是阴性的，则对这混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该个人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化验，此时共需作个人再逐个分别化验，此时共需作k1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是次化验。假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（2）可减少化验次数，并说明）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。取何值时最为适当。解：设q=1-p，则k个人的混合血呈阳性的概率为1-qk。对于方法（

5、2），每个人的血需化验的次数X是随机变量(su j bin lin)，其分布律为：kqqkkqkXEkkk11)1)(1(1)(kkqqPkkkX111第4页/共37页第五页，共37页。2022年4月16日星期六6关于(guny)最佳k的选择：，则可减少验血次数。，使：因此，只要选择111kkqk1min(1)kkqk求：例：在一个人例：在一个人(grn)数很多的团体中普查某种疾病，数很多的团体中普查某种疾病，N个人个人(grn)去验血，用两种方法来化验血：（去验血，用两种方法来化验血：（1）每个人）每个人(grn)的血分别化验，须验的血分别化验，须验N次；（次；（2）把）把k个人个人(grn

6、)的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个人个人(grn)只需作一次化验，如果是阳性的，则对该只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人个人(grn)再逐个分别化验，此时共需作再逐个分别化验，此时共需作k1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是次化验。假定对所有人来说，化验是阳性反应的概率都是p，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方法（2）可减少化验次数，并说明）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。取何值时最为适当。第5页/共37页第六页，共37页。2022年4月16日星期六7几种常见的

7、离散型随机变量几种常见的离散型随机变量(su j (su j bin lin)bin lin)的数学期望的数学期望1. 0-1分布(fnb)的数学期望 ppPX101E(X) =p.2. 二项分布的数学期望nkppCkXPknkkn,.1 . 0)1 (E(X) =np.第6页/共37页第七页，共37页。2022年4月16日星期六8knknkppknkn)1 ()!()!1(!1)1(111)1 ()!()!1()!1(knknkppknknnpnplnlnllnppCnpkl1101)1 (1令nkknkppknknkXE1)1 ()!( !)(第7页/共37页第八页，共37页。2022年4

8、月16日星期六93. 泊松分布的数学(shxu)期望., 2, 1, 0,!kekkXPXk101();!(1)!kkkkE Xkeekk 4. 几何(j h)分布的数学期望., 2, 1, 0,)1 (1kppkXPXk11()(1)kKE Xkpp 21(1)pqp 2(123.)(1)pqqqp第8页/共37页第九页，共37页。2022年4月16日星期六10一维离散型随机变量一维离散型随机变量(su j bin (su j bin lin)lin)函数的数学期望函数的数学期望 定义(dngy)：设X是离散型随机变量，其分布律为,1,2,.iiP Xxpi若级数 绝对收敛，1( )iiig

9、 x p则有1 ()( )iiiE g Xg x p对任一实值函数g(), 例：例：设X表示掷一颗均匀的骰子的点数，求E(X2). 解：解：222222211111191()1234566666666E X第9页/共37页第十页，共37页。2022年4月16日星期六11 例：由自动线加工的某种零件的内径(ni jn)X (毫米)服从正态分布N(,1),内径(ni jn)小于10或大于12的零件为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润L(元)与零件的内径(ni jn)的关系为1,10,20,1012,5,12.XLXX问平均内径问平均内径取何值时，销售一个零

10、件取何值时，销售一个零件(ln jin)的平均利润最大的平均利润最大? 解：解：因为因为X (,1)，所以所以(0,1)1XN(10)(10)(10)P XP X 从而从而第10页/共37页第十一页，共37页。2022年4月16日星期六12(1012)(1012)PXPX(12)1(12)1(12)P XP X (12)(10) 由销售利润(lrn)L和X 的关系得( )( 1)(10)20(12)(10)E L ( 5)1(12) 因为(yn wi)d ( )25(12)21(10)dE L 25 (12)21 (10) 第11页/共37页第十二页，共37页。2022年4月16日星期六132

11、211(12)(10)221125e21e22 d ( )0dE L当时，E(L)取最大值。所以(suy)2211(12)(10)221125e21e=022即2(11)21e25故当 时，销售一个零件的平均利润最大 12111ln10.9225第12页/共37页第十三页，共37页。2022年4月16日星期六14 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量(su j bin lin)，其分布律为(,), ,1,2,ijijP Xx Yyp i j若级数 绝对收敛，11( ,)ijijijg x yp则有11 (, )( ,)ijijijE g X Yg x yp二维离散二维离散(lsn)(lsn)

12、型随机变量函数的数学型随机变量函数的数学期望期望第13页/共37页第十四页，共37页。2022年4月16日星期六15 例：设(X,Y)的分布(fnb)律为XY011108411182求E (XY). 解：解：11111()0 00 11 01 188422E XY 第14页/共37页第十五页，共37页。2022年4月16日星期六16二、连续型随机变量二、连续型随机变量(su j (su j bin lin)bin lin)的数学期望的数学期望 定义(dngy)：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).若积分 绝对收敛，( )dxf xx则称级数 为X的( )dxf xx数学期望，记为E(

13、X).即()( )dE Xxf xx 例：例：设X的概率密度为 解：解：()( )dE Xxf xx2 ,01,( )0,xxf x其它.求E(X).10=2 dxx x23第15页/共37页第十六页，共37页。2022年4月16日星期六17 例：例：设X的概率密度为 解：解：()( )dE Xxf xx求E(X). 1,2xf xex 001122xxxe dxxe dx001122xxxdexde00001122xxxxxee dxxee dx0011022xxee 1d2xxex第16页/共37页第十七页，共37页。2022年4月16日星期六18例：例： 设随机变量设随机变量X的密度的密

14、度(md)函数为：函数为：其他, 042,4120,)(xbxxaxxf已知E(X)=2，试求a，b的值。2314638)()(badxxxfXE解：由于12322)(badxxf且所以(suy)：a=1/4, b=1第17页/共37页第十八页，共37页。2022年4月16日星期六19几种常见几种常见(chn jin)(chn jin)的连续型随机变量的连续型随机变量的数学期望的数学期望1. 均匀分布的数学(shxu)期望1,( )0,axbf xba其它.(d()xf xExX1=dbaxxba2ba2. 指数分布的数学期望e,0,( )0,xxf x其它.(d()xf xExX0=edxx

15、x00eedxxxx 0e11x 第18页/共37页第十九页，共37页。2022年4月16日星期六203. 正态分布的数学(shxu)期望22()21( )e,2xf xx (d()xf xExX22()21ed2xxx2222()()2211()eded22xxxxx2221ed2tt xtt 第19页/共37页第二十页，共37页。2022年4月16日星期六21一维连续型随机变量函数一维连续型随机变量函数(hnsh)(hnsh)的的数学期望数学期望 定义(dngy)：设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).则有()( ) ( )dE g Xg x f xx 例：例：设一根长度为1的木棍

16、被在(0，1)上服从均匀分布的点X所截，求包含点p的那段木棍的期望长度，其中0 p 1. 解：解： X的概率密度为若积分 绝对收敛，( ) ( )dg x f xx1,01,( )0,xf x其它.第20页/共37页第二十一页，共37页。2022年4月16日星期六22令L(X)表示(biosh)包含点p的那段木棍的长度，则有1,(),.XXpL XXXp于是(ysh)()E L X( ) ( )dL x f xx10( )dL xx10(1)ddppxxx x1(1)2pp即当p=0.5时，期望长度EL (X)最大.第21页/共37页第二十二页，共37页。2022年4月16日星期六23例：例：

17、 设随机变量设随机变量(su j bin lin)XN(0,1)，求，求E(X2), E(X3), E(X4).解：解：dxexXEx22222)(222xdexdxex22211dxexXEx23322)(0dxexXEx24422)(2322xdexdxexx222233第22页/共37页第二十三页，共37页。2022年4月16日星期六24 例：例： 设长途汽车起点站于每时的设长途汽车起点站于每时的10分、分、30分、分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机(su j)地到达车站，求乘客的平均候车时间。地到达车站，求乘客的

18、平均候车时间。解：设乘客解：设乘客(chngk)于每时于每时X分到达车站分到达车站,候车时间为候车时间为Y,则则othersxxfX0600601)(60557055305530103010010)(XXXXXXXXXgY于是6001( )( )60E Yg xdx=10分25秒第23页/共37页第二十四页，共37页。2022年4月16日星期六25 定义(dngy)：设连续型随机变量(X,Y) 的概率密度为f (x,y).二维连续型随机变量二维连续型随机变量(su j bin (su j bin lin)lin)函数的数学期望函数的数学期望若积分 绝对收敛，( , ) ( , )d dg x

19、y f x yx y 则有(, )( , ) ( , )d dE g X Yg x y f x yx y 第24页/共37页第二十五页，共37页。2022年4月16日星期六26 解：解：( )E Y( , )d dyf x yx y 00ed dx yyx y 00e de dxyxyy1()E XY( , )d dxyf x yx y 00ed dx yxyx y 00e de dxyxxyy1 例：例：设(X,Y) 的概率密度为e,0,0,( , )0,x yxyf x y 其它.求E(Y), E(XY).第25页/共37页第二十六页，共37页。2022年4月16日星期六27 解：解： 例

20、：例：设(X,Y) 的概率密度为3231 ,12( , )0 yx xxx yf x y其他求E(Y), E(1/XY).X=11yxyx( )( , )E Yyf x y dydx 31132xxdydxx y 13131|2xxlnydxx313lnxdxx12313331|224lnxdxxx 第26页/共37页第二十七页，共37页。2022年4月16日星期六28X=11yxyx11()( , )Ef x y dydxXYxy 431132xxdxdyx y142131|22xxdxxy621311()4dxxx331(1)455第27页/共37页第二十八页，共37页。2022年4月16

21、日星期六29 例：例：设(X,Y) 的概率密度为8,01,0,xyyxf x y求E(X-Y), E(XY). 解：解：1008xE XYdxxyxydy122008xdxx yxydy12230011823xx yxydx14044315x dx122008xE XYdxx y dy1230083xx ydx1508439x dx第28页/共37页第二十九页，共37页。2022年4月16日星期六30三、数学三、数学(shxu)(shxu)期望的性质期望的性质1. E(C)=C, C为常数(chngsh);证明:()( )E CXCxf x dx ( )()Cxf x dxCE X 2. E(

22、CX)=CE(X), C为常数;3. 设X和Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).证明: dxdyyxfyxYXE),()()( dxdyyxxf),( dxdyyxyf),(dxdyyxfx),( dydxyxfy),(dxxxfX)(dyyyfY)()()(YEXE第29页/共37页第三十页，共37页。2022年4月16日星期六314. 设X和Y是两个相互独立(dl)的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y) dxdyyxxyfXYE),()( dxdyyfxxyfYX)()(dyyyfdxxxfYX)()()()(YEXE证明(zhngmng):第30页/共37页第三

23、十一页，共37页。2022年4月16日星期六32例：设XB(n, p)，求E(X).解：设12nXXXX其中(qzhng)1,0,iiXi若第 次试验成功,若第 次试验不成功.因此，每个 服从0-1分布，且有iX()iE Xp于是(ysh)12()nE XXX12()()()nE XE XE Xnp第31页/共37页第三十二页，共37页。2022年4月16日星期六33 例：设N个人将他们的帽子抛向屋子的中央，将帽子充分混合后，每人随机地从中取出一顶，求刚好拿到自己帽子的人数(rn sh)的数学期望解：设X表示帽子和人刚好(gngho)配对的人数，则有12nXXXX其中1,0,iiXi若第 次试验成功,若第 次试验不成