[数学]第3章 统计资料的综合ppt课件

1、第三章第三章 统计资料的综合统计资料的综合表示统计资料的特征数有哪些？表示统计资料的特征数有哪些？几何平均数与调和平均数各适宜于什么情况？几何平均数与调和平均数各适宜于什么情况？计算样本方差与总体方差公式有何区别？计算样本方差与总体方差公式有何区别？第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.1 3.1 表示集中位置的特征数表示集中位置的特征数 3.1.1 3.1.1 平均数平均数算术平均数算术平均数Arithmetic averageArithmetic average几何平均数几何平均数Geometric MeanGeometric Mean调和平均数调和平均数第三章统计资料的综合第三章统

2、计资料的综合 定义：定义： 一组一组n n个观测值个观测值x1,x2 ,x1,x2 ,，xnxn的算术平均数，定的算术平均数，定义为义为nxxnii1(1)(1)算术平均数算术平均数Arithmetic averageArithmetic average第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 假设资料曾经分组，组数为假设资料曾经分组，组数为k k，用，用x1,x2 ,x1,x2 ,，xk xk 表示表示各组中点，各组中点，f1f1，f2,fk f2,fk 表示相应的频数，那么表示相应的频数，那么kiikiiifxfx11(1)(1)算术平均数算术平均数Arithmetic averageAr

3、ithmetic average第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合体重（公斤）体重（公斤） 组中值组中值(x)(x) 人数人数(f)(f)4648464847 47 4 44951495150 50 20 20 5254525453 53 25255557555756 56 38 38 5860586059 59 21 21 6163616362 62 12126466646665655 5(1)(1)算术平均数算术平均数Arithmetic averageArithmetic average第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合其平均体重：其平均体重：x= =kifikixifi11

4、 55.59255.5921256949(1)(1)算术平均数算术平均数Arithmetic averageArithmetic average第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 0nx_xi1iniAxi12当当xA时最小时最小 (1)(1)算术平均数算术平均数Arithmetic averageArithmetic average第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 在数据为环比类型的问题中，算术平均数是不适用的。在数据为环比类型的问题中，算术平均数是不适用的。例如下表是天津市工业总产值在例如下表是天津市工业总产值在“十五期间的逐年增十五期间的逐年增长率，如求该期间平均增长率，算

5、术平均数是不恰当长率，如求该期间平均增长率，算术平均数是不恰当的。几何平均数可以处理这个问题。的。几何平均数可以处理这个问题。(2)(2)几何平均数几何平均数Geometric MeanGeometric Mean第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合年份年份 比上年增长比上年增长200020002001200114.014.02002200219.619.62003200324.124.12004200431.031.02005200520.8 20.8 (2)(2)几何平均数几何平均数Geometric MeanGeometric Mean天津市天津市20052005统计年鉴统计年鉴 第

6、三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 定义定义: : 一组一组n n个数据的几何平均数定义为个数据的几何平均数定义为 nr.rrGn21rrr521,.,121.8120.8131.0124.1.6191114.05在上式中，在上式中，依次为依次为114.0114.0，119.6119.6，124.1124.1，十五期间天津市工业总产值年均增长率为十五期间天津市工业总产值年均增长率为21.8%21.8%。131.0131.0，120.8120.8于是几何平均数：于是几何平均数：(2)(2)几何平均数几何平均数Geometric MeanGeometric Mean第三章统计资料的综合第三章统

7、计资料的综合 当数据是相对变化率，求平均数时，算术平均数也不当数据是相对变化率，求平均数时，算术平均数也不恰当。恰当。 例如：甲乙两地相距例如：甲乙两地相距120120公里，某人乘车往返甲乙两地公里，某人乘车往返甲乙两地之间，去时速度每小时之间，去时速度每小时2020公里，回来时速度为每小时公里，回来时速度为每小时3 30 0公里，假设求平均速度，这时用算术平均数是不对的，公里，假设求平均速度，这时用算术平均数是不对的，但调和平均数可处理此类问题。但调和平均数可处理此类问题。(3)(3)调和平均数调和平均数第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 RnRRnH11111212413012012

8、11H24,H在上例中，在上例中，公里公里/ /小时小时 定义：定义：一组一组n n个数据的调和平均数个数据的调和平均数H H，由下式定义，由下式定义(3)(3)调和平均数调和平均数第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 算术平均数表示了集中位置特征，它照顾到每一个值，算术平均数表示了集中位置特征，它照顾到每一个值，但它不见得是出现次数最多的值甚至也能够不是观但它不见得是出现次数最多的值甚至也能够不是观测值中的一个。所以有必要研讨表示集中位置的其测值中的一个。所以有必要研讨表示集中位置的其它的特征数。它的特征数。3.1.23.1.2众数众数ModeMode第三章统计资料的综合第三章统计资料的

9、综合 定义：对于有频数分布的变量，它的众数指频数最大的定义：对于有频数分布的变量，它的众数指频数最大的变量的值变量的值Xf3 3155273对于已分组且等组距的频数分布，根据最大频数，可求得众对于已分组且等组距的频数分布，根据最大频数，可求得众数所在组。根据众数定义，可知众数不独一。数所在组。根据众数定义，可知众数不独一。3.1.23.1.2众数众数ModeMode第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 算术平均数作为集中位置的特征还有一缺陷，就是受算术平均数作为集中位置的特征还有一缺陷，就是受观测值中极端值的影响很大，而一组观测值中的极端观测值中极端值的影响很大，而一组观测值中的极端值经常

10、没有代表性。中位数将防止这种影响。值经常没有代表性。中位数将防止这种影响。3.1.3 3.1.3 中位数中位数MedianMedian第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 一组一组n n个观测值按数值大小陈列，处于中个观测值按数值大小陈列，处于中央位置的值称为中位数以央位置的值称为中位数以 表示，表示，MexxxMennn1222121，当，当n n为奇数为奇数，当，当n n为偶数为偶数定义：定义：即即3.1.3 3.1.3 中位数中位数MedianMedian第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合第第2525百分位数又称第一个四分位数百分位数又称第一个四分位数First Quartil

11、eFirst Quartile, ,用用Q1 Q1 表示；第表示；第5050百分位数又称第二个四分位数百分位数又称第二个四分位数Second QuartileSecond Quartile，用，用Q2Q2表示；第表示；第7575百分位数百分位数又称第三个四分位数又称第三个四分位数Third QuartileThird Quartile, ,用用Q3Q3表示。表示。中位数是第中位数是第5050百分位数百分位数一组一组n n个观测值按数值大小陈列如个观测值按数值大小陈列如x1,x2,x3,x4x1,x2,x3,x4处于处于p%p%位置的值称第位置的值称第p p百分位数。百分位数。定义：定义：3.1

12、.4 3.1.4 百分位数百分位数 Percentile Percentile第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合第第1 1步：以递增顺序陈列原数据即从小到大陈列。步：以递增顺序陈列原数据即从小到大陈列。第第2 2步：计算指数步：计算指数 %npi 第第3 3步步1.1.假设假设i i不是整数，将不是整数，将i i向上取整。大于向上取整。大于I I 的毗邻整数为第的毗邻整数为第p p百分位数的位置。百分位数的位置。 2.2.假设假设i i是整数，那么第是整数，那么第P P百分位数是第百分位数是第i i项与第项与第i il l项数据的平均值。项数据的平均值。如何计算百分位数如何计算百分位数第

13、三章统计资料的综合第三章统计资料的综合数据的变数据的变异程度异程度产质量量检查的结果产质量量检查的结果阐明消费阐明消费能否稳定能否稳定丈量的结果丈量的结果阐明丈量方法或阐明丈量方法或仪器是精细还是粗糙仪器是精细还是粗糙学学生生的的成成绩绩成果是成果是否整齐否整齐而不是高低而不是高低3.2 3.2 表示变异分散程度的特征数表示变异分散程度的特征数第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 定义定义 其中其中xmaxxmax和和xminxmin分别为数据中的极大值和极小值。分别为数据中的极大值和极小值。minmaxxxR3.2.13.2.1极差或称全距极差或称全距 Range RangeR R第三章

14、统计资料的综合第三章统计资料的综合niixxnDM11.对于已分组的频数分布组数为对于已分组的频数分布组数为k kkiiixxfnDM11.定义定义平均差平均差M.D.M.D.是离差的绝对值的平均数，即是离差的绝对值的平均数，即3.2.2 3.2.2 平均差平均差Mean Absolute DeviationMean Absolute Deviation第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 方差方差 niixxn122)(1样本样本 niixxnS122)(11 对于已分组的频数分布组数为对于已分组的频数分布组数为k k总体总体 kiiixxfn122)(1样本样本 kiiixxfnS12

15、2)(11 总体总体 3.2.3 3.2.3 方差方差VarianceVariance，规范差，规范差StandardStandard Deviation Deviation第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合规范差规范差niixxn12)(1niixxnS12)(11 对于已分组的频数分布组数为对于已分组的频数分布组数为k kkiiixxfn12)(1kiiixxfnS12)(11规范差的单位与规范差的单位与X X的单位一样。的单位一样。 3.2.3 3.2.3 方差方差VarianceVariance，规范差，规范差StandardStandard Deviation Deviatio

16、n第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 定义定义 变异系数变异系数C C(%)100 xsC是一个无量纲的量。它适于用在比较有不同算术平均数或有是一个无量纲的量。它适于用在比较有不同算术平均数或有不同量纲的两组数据的情况。例如比较大学生身高与小学生不同量纲的两组数据的情况。例如比较大学生身高与小学生身高，或比较身高，或比较130130名大学生身高和体重哪个变化动摇范围比名大学生身高和体重哪个变化动摇范围比较大时，都可用变异系数。较大时，都可用变异系数。3.2.43.2.4变异系数变异系数Coefficient of VariatioCoefficient of Variation n第三章

17、统计资料的综合第三章统计资料的综合 定义定义 变异系数变异系数C C(%)100 xsC是一个无量纲的量。它适于用在比较有不同算术平均数或有是一个无量纲的量。它适于用在比较有不同算术平均数或有不同量纲的两组数据的情况。例如比较大学生身高与小学生不同量纲的两组数据的情况。例如比较大学生身高与小学生身高，或比较身高，或比较130130名大学生身高和体重哪个变化动摇范围比名大学生身高和体重哪个变化动摇范围比较大时，都可用变异系数。较大时，都可用变异系数。3.3 3.3 表示偏倚情况或程度的特征数表示偏倚情况或程度的特征数 第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合3.3.13.3.1比较众数、中位数和

18、算术平均数的相对位置比较众数、中位数和算术平均数的相对位置 以下图列举出了对称的、具有左偏态负以下图列举出了对称的、具有左偏态负偏态和右偏态正偏态的频数分布的例偏态和右偏态正偏态的频数分布的例子。留意到它们的特点是：子。留意到它们的特点是：对称的分布的众数、中位数和算术平均数一样；对称的分布的众数、中位数和算术平均数一样；具有偏倚性的分布，算术平均数突出在外，偏向具有偏倚性的分布，算术平均数突出在外，偏向分布的尾端，而中位数那么介于众数与算术平均数分布的尾端，而中位数那么介于众数与算术平均数之间。之间。偏倚性是表示各观测值分布不对称情况或程度的。偏倚性是表示各观测值分布不对称情况或程度的。3.

19、3 3.3 表示偏倚情况或程度的特征数表示偏倚情况或程度的特征数 第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合图图3-13-13.3.13.3.1比较众数、中位数和算术平均数的相对位置比较众数、中位数和算术平均数的相对位置第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 MeMo MeMo MeMo MeMo =Me=Moxxx可以看出，对于单峰的分布，可以看出，对于单峰的分布，对称态：对称态：左偏态：左偏态：右偏态：右偏态：3.3.13.3.1比较众数、中位数和算术平均数的相对位置比较众数、中位数和算术平均数的相对位置第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 1 1PearsonPearson偏倚系数偏

20、倚系数PearsonPearsonsMexk)(3分布对称，那么分布对称，那么k=0k=0左偏态，那么左偏态，那么k0k0k03.3.2 3.3.2 定量地描画偏倚性，常用的两个公式定量地描画偏倚性，常用的两个公式第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 2 2用规范化的三阶矩阵用规范化的三阶矩阵g g表示表示313/)(snxxgnii3.3.2 3.3.2 定量地描画偏倚性，常用的两个公式定量地描画偏倚性，常用的两个公式第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 3.4 3.4 五数概括法五数概括法五数概括法五数概括法2 2第第1 1四分位数四分位数Q1Q1。3 3中位数中位数Q2Q2。4

21、4第第3 3四分位数四分位数Q3Q3。5 5最大值。最大值。1 1最小值。最小值。第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 首先将数据按递增顺序陈列，然后很容易就能确定最小值、首先将数据按递增顺序陈列，然后很容易就能确定最小值、3 3个四分位数和最大值了。对个四分位数和最大值了。对1212个月薪数据的样本，按照递增个月薪数据的样本，按照递增顺序陈列如下：顺序陈列如下： 2210 2255 2350 | 2380 2380 2390 | 2420 2440 2450 | 252210 2255 2350 | 2380 2380 2390 | 2420 2440 2450 | 2550 2630 282550 2630 2825 Q1 Q12365 Q22365 Q22405 Q32405 Q325002500 上述起薪数据以五数概括为：上述起薪数据以五数概括为： 2210 2210，23652365，24052405，25002500，28252825。3.4 3.4 五数概括法五数概括法第三章统计资料的综合第三章统计资料的综合 盒形图实践上是以图形来概括数据。我们将盒形图延盒形图实践上是以图形来概括数据。我们将盒形图延至这一章才讲是由于它的关键是计算中位数和四分位至这一章才讲