全国高中数学联赛试题分类汇编3三角函数

1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编三角函数部分2019A6、对任意闭区间I ,用Mi表示函数y sin x在I上的最大化 若正数a满足M 0,a2M a,2a ,则 a 的值为513答案：5或！3_612解析：若0 a 一，0 M 0 sin a 2M 2，与条件不符，所以a 一，此时 20，aa,2a2M 0,a 1 , M a,2a1，于是存在非负整数k ,使得5 13 一 一 2k a 2a 2k，且处至少有一处取到等号。6 6513513当k 0时，得 a 或2a ,经检验得 a 或a 均满足条件；66612,故不存在满足的 a。, 一 ，一 13当k 1时，由于2k 2

2、 2k 61312,5综上a 或a62018B 5、设， 满足 tan()3, tan(答案：74解析：由两角差的正切公式可知 tan 3)5 ,则tan( )的值为4 -一,即可得tan( 722017A 2、右实数 x,y满足x 2cosy 1 ,贝U x cosy的取值范围为 答案： 1,、3 1L 一12解析：由 x2 2cosy 1 得 x21 2 cos y 1,3 ,得 x 33,33 , cos y -21 2所以x cosy - x 11, xJ3,v3可求得其范围为1,v3 1。2kxkx2016A 6、设函数f (k) sin 一 cos 一,其中k是一个正整数。右对任意

3、实数a ,均有1010f(x)|a x a 1 f (x) | x R ,则 k 的最小值为 答案：162 kx 2 kx 22 kx 2 kx斛析： 由条件知， f(x)(sin cos )2 sin cos 10101010.2kx1 2kx31 sin cos5454其中当且仅当x 5(m Z)时，f(x)取到最大值.根据条件知，任意一个长为1的开区k5间(a, a 1)至少包含一个最大值点，从而5_ 1,即k 5 .k反之，当k 5 时，任意一个开区间均包含f(x)的一个完整周期，此时f(x)|a x a 1 f(x)|x R成立.综上可知，正整数的最小值为5 1 16 .142015

4、A 2、若实数满足cos tan ,贝U cos 的值为sin答案:解析:2由条件知,sin2 sin4 cos2 cos2_cos2sin2. 2cossinsin2 .,反复利用此结论，并注意到2一 2cos sin1 ,得2 sin(1sin)(1 cos2 )2015A 7、设w是正实数，若存在 a, b ( 取值范围是),使得 sin wa sin wb 2,则 w 的9 513答案：w , ) U一, 4 24解析：由 sin a sin b2知，sinsin1 ,而 si a, b w ,2w ,故题目条件等价于：存在整数 k,l(kl),使得2k2l 2w22当w 4时，区间w

5、 ,2w 的长度不小于4时，注意到w ,2w (0,84)，,故必存在k,l满足式.故仅需考虑如下几种情况：(i)(ii)(iii)25292292132一1 一2w ,此时w 一且w25-一无解;42w2w9,此时一 w4.13,此时一 w4 一一, 9 513综合(i)、(ii)、(iii),并注意到w 4亦满足条件，可知 w , U,).4 242015B 3、某房间的室温T (单位：摄氏度)与时间 t (单位：小时)的函数关系为：T a sin t b cost,t (0,),其中a, b为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则a b的最大值为答案：5.2解析：由辅助角公式：T

6、asint bcost JOb?sin(t),其中 满足条件sin j t,cos , a 二,则函数 T的值域是Jab2 Va2 b2,室内最大 2222a ba b温差为 2Ja2 b210,得 Ja2 b2 5.故a b 42(a2 b2) 5J2,等号成立当且仅当 a b |V2 .an i arctan(secan), (n N )求2014A 10、(本题满分20分)数列an满足a1,61 正整数 m ,使得 sin a1 sin a2 sin am 。100解析：由已知条件可知,对任意正整数n，an1 (,),且 tan an 1secan2 222由于 secan 0 ,故 a

7、n 1 (Q一)。由得，tan an 1 sec an 2,21,2/ 1tan ann 1 tan a1 n 1 -321 tan an ,故3n 2IP tan an、3n-2。 10 分因此，sina1?sina2?？sinam 皿？吟？3seca1 seca2secamtan a1 ? tan a2tan a2 tan a3tan amtan am 1(利用)tana11 1tanam 13m 1由一,，得m 3333。3m 110020分-,- 之中，所以我们只需证明:4 4由正切公式知，等价于由根与系数关系知,x1x21X1X23Xi 0 ,33 ,即等价于3 xi1 X3i 1X

8、iXj10, X1X2X3XiXj X1X2X31,11,显然上式是成立的。32014B 10、(本题满分20分)设X1,X2,X3是多项式万程 x 10X 11 0的二个根.已知X1,X2,X3都落在区间5,5之中，求这三个根的整数部分；(5分)证明： arctan X1 arctan x2 arctan x3一。(15 分)4解析：设p(x) x3 10x 11 ,则它至多有三个实根。由于p( 5)64, p( 4)13,p( 3) 14, p( 2) 23, p( 1) 20, p(0) 11, p(1) 2, p(2)1, p(3) 8,我们可以看到三个区间4, 3 , 1,2 , 2

9、,3的端点函数p(x)的值改变符号，所有三个根分别落在这三个区间的内部，这样4,1,2便可以作为满足条件的三个根的近似值。(4也可以写成 3)假定x1x2x3,由于x11 ,所以 arctanX1, 4,同理x2,x31 ,得22arctan X2, arctan X3, , 从而 arctan x1arctan x2 和 一 arctan x3 者B 落在区 间4 24tan arctan x1arctan 4x2tan arctan x3。这样就完成了证明。2008AB13、已知函数f(x) sin x的图像与直线的横坐标的最大值为cos,求证： sin sin 3证明：f(x)的图象与直

10、线13图所示，且在kx (k 0)的三个交点如答)内相切，其切点为A( , sin ),2(,3-)-由于 f (x)cosx,/ 3、 x (，二)2cossin sin 3cossincos2sin 2 cos14sin cos2 cos2007*4、设函数 f(x) 3sin xy kx ( k 0)有且仅有三个交点，交点14n xA0a即tan因 此sin24sin costan24tan2cosx 1。若实数 a,b,c使得 af (x) bf (xc) 1对任意的实数x恒成立，则b£°sc的值等于1A. 一2答案：Ca1B.一2C. 1D. 1解析：令c,则对任

11、意的x R,都有f(x)f (x c)则对任意的xR,af (x) bf (x c) 1 ,由此得b cosc般地，由题设可得f(x),13 sin(x1,af (x c).13 sin(xc) 1,其中2 .13asin( .13asin(花一且 tanaf(x) bf(xc)1可化为.13bsin(x.13bsin(xc) a b1,)cosc /13bsin ccos(x.一 13( a bcosc)sin(x).13bsin ccos(x)(a ba bcosc)1)0(a b0。1)由已知条件，上式对任意x R恒成立，故必有bsin c0,则由(1)知a0,显然不满足式，故ba b

12、10。所以,(2)，由(2)知 sinc0,故 c 2kcosc2k (k Zc2k 时，cosc 1,则(1)、(3)两式矛盾。故c2k(k Z),1。由(1)、(3)知,1 a b 一,所以2bcosc2007*11、已知函数f (x)sin( x) cos( x) 215x 一)，则f (x)的取小值为4 解析实际上 f (X)T2sin(7tx -) 2 d4 z 1g(x) ,2 sin( nt x )(-x4 451 3一一3 5一一)，则g(x) 0, g(x)在一,一上是增函数，在一，一上44 44 4是减函数，且y g(x)的图像关于直线x -对称，则对任意X1 1，,存在x

13、2 -,5, 44 44 4使 g(X2) g(Xi)。于f(Xi)g(Xi) 2 g(X2)2 g(X2)2f (X2)，一一3 5, 口一，一而f (x)在,上是减函数，所以4 4545f(x)勺 7,1 5 一,即f(X)在,上的最小值是4 42007*15、(本题满分存在4个函数fi(x)20分)设函数f (X)对所有的实数X都满足f(x 2 ) f (x),求证:i 1,2,3,4)满足：对i 1,2,3,4 , fi(x)都是偶函数，且对任意的实f(x)fi(X )f1(x) f2(x) cosxfi(x)f3(x) sin x证明:记 g(x)f(x) f(是偶函数,h(x)是奇

14、2函数，对任意的h(x)对任f4 (x)sin 2x。f(x) f( x)令 M(X)g(X) g(X /)f2(x)f3(x)h(x) h(x /)2sin x0R,2 g(xg(x) g(X 力2cosxf4(x)，贝u f (X) g(x)g(x), h(x 2h(x),且 g(x)h(x)。冗2冗2h(x)h(x2sin2x其中k为任意整o容易验证fi (x),i 1,2,3,4是偶函数，且对任意的x R, fi(x)fi(x),i 1,2,3,4。下证对任意f1(x) f2 (x) cosxg(x)。当 X一时，显然成立；当 2为f1(x) f2(x) cosxf1(x)g(X) g

15、(X /)g(x 力 g(ku3冗T)3九 g(k九万 故对任意的X2(kg( k九 2八九、，、g(k兀 2) g(x),下证对任意的R,有 f1(x) f2 (x)COSx g(x)。x R,有f3(x)sinx f4(x)sin2x h(x)。当 x时，h(x) h(k ) h(k 2k ) h(k ),所以 h(x) h(k时，显然成立；当x k而此时 f3(x)sinxf4(x)sin2x 0,故 f3(x)sinx f4(x)sin 2x0, h(x);33冗h(x 力 h(ku 一) h(k冗 一 22冗冗2(k 1)e h( ku -) h(ku -)22h(x),故 f3(x

16、) sin xh(x) h(x /)h(x),又 f4 (x)sin 2x 0 ,从而有f3(x)sin x 于是，对任意的x 综上所述，结论得证。f4(x)sin 2x h(x)。R,有 f3(x)sin x f4(x)sin2xh(x)。2006*7、答案:设函数0,98f(x)4 sin x sin xcosx则f(x)的值域为解析:f(x). 4 sin一 4sin x cosx cos x.1 1 . 2c1 sin 2x sin 2x。令 t sin2x,f(x)g(t) 1maxgg(1t22)1t229 Lc08 211 2 2(t 2) 0 因此 mitn1g9 1 9g(1

17、) 8 弱 0,，9即得 0 f(x) - o 82005*9、 cos(x答案:,，满足0cos(x)cos(x2)0,R,解析f( f(3:设 f(x)0,0, f()cos(x0,即 cos(cos(cos(1.只有易验证对2.3x的任意性都成立)2004*7、在平面直角坐标系期长的区间上的图像与函数答案:2 .a2 1 acos(xcos(x )，由 xR , f(x) 0cos(1, cos()cos(cos(xOy中，函数cos(23(另一方面)cos(,又f (x) asin ax cosax)1.21,2.时，代回原式很容3(a 0)在一个最小正周g(x)va2 1的图像所围成

18、的封闭图形的面积为解析:, 2长为2f (x) a sin axcosax Va2 1 sin ax ,取一个周期的图像，割补得面积为,宽为2Va2 1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求.故填2003*4、若 x512B.5答案:一，则y 311.26tan(xC.解析:数即变为y递增.于sin 2cosy)tan(x 一) 611.3512cos(xD.时,一时,6y取得最大值411、,36一上, 6sin 2,故选C.22002*12、使不等式 sin x acosx1 cosx对切x一）的最大值是612、354,cos都单调递增,从而y单调R恒成立的负数a的取值范围解析:即 cosx,

19、2因为sin2 xa 1 2a cosxa21 2cosx对一切xR恒成立,所以当cosx0)1时，函数y (cosx2 -一 .）有最大值(1a 1、22 )(a1"，即 a2又a 0,所以a42,即所求负数a的取值范围是,2。2001*3、在四个函数cosx , y cotx , y lgsinx| 中以 为周期、在0,一2上单调递增的偶函数是A.y sin x lgsinxB.y cosxC. y cotxD.答案:解析:y sin x不是周期函数.y cosx以2 为周期.y cotx在0,2上单调递减.只有y lgsin x满足全部条件.2000*2、设sin0,A.2k6

20、,2k且 sin 32kB. 一3cos,则一的取值范围是（32kC.2k5 2k6 ,2kD. 2k,2k4答案:2k,2 k解析：满足sin0, cos 0的 的范围是 2k ,2k2的取值范围曰2k是32k,满足sin cos的一的取值范围为2k ,2k4所求范围是2k -,2k42k2000*7、arcsin(sin 20000)的值为答案：200解析：因为20000121800 1600 .1997*5、设f(x).1 arcsin 一, 3arctan勺4，1、arccos(-),3arctan( 一),则(A. f()C. f (答案:f() f()f( f(f( f(B.D.f

21、(f()f()f(f()f()f()f()解析:f (x)的对称轴为易得,选B.1997*13、(本题满分20分)12，12求乘积cosxsin ycosz的最大值和最小值。解析：由于x,故1212cosxsin ycoszcosx1 sin(y z)2sin( yz)12一 cos21cosxsin(yz)1一 cos 2即为所求最小值.由于-x -, y63z,故 cosxsin( yz)0),所以当y z 12一时， cosxsin ycosz 3cosxsin ycoszcosz-sin(x y) 2sin(x y)12一 cos z2lcoszsin(x 2y)-cos z 21 2

22、 cos2一 cos 2121 cos由于sin(xy) 0, cos z0,故当x23一 时cos xsin y cos z取得取大值 1281996*4、3A.cosL。： 2,的大小关系答案:解析:B. 13cos sin x 0 ,cos sin x2 sin cos x ,2 C.sin cos2 D.cosx 2sin(4)于是0,cos 12 sinxsin cosxcos sin x0 ,排除B、D.1另解：也可以取x,代入计算可得41995*5、logsin1 cos1, log sin1tan1,A.B.C.D.logsin1Cos1 log cos1 sin1 logsi

23、n1tan1 log cos1 tan1log cos1 sin 1 logcos1 tan1 logcos1 tan1 logsin1 tan110gsin1log cos1tan1答案：C解析：log cosi tan 10 ，logsin1 Cos1设 10gsin1cos1 a ,贝U得 sin1 log cos1 sin 1 b ,贝U cos1 blogsin1 Cos1log cos1 sin1logsin1 Cos1log log logcos1sin1sin1log Cos1 tan 1的大小关系是()tan1tan1cos1log cos1 sin1故 0 cos1 sin

24、1 10 , log cos1sin1 0 , cos1 sin 1,所以 asin 1 cos1 ,所以 0 b设 logsintan1 c, log cos1 tan 1行比较)，c d .即 log sin1 tan11994*4、已知 0 b 1, 0 a, logb cosa z sin aA. x z y答案：A的大小关系是（B. y ztan1 .所以 logsin1 tan1 0 ,1 ;即 log cos1 sin 1 log sin1 Cos1 d ,则得sin1 C cos1 d tan1,（结合指数函数图象进log cos1 tan1.故选 C.一,则下列三数: 4)x

25、 C.sin a10gb sinalogb cosacosa ,y d.解析：由0一得 0 sina cosa 1 41,所以 10gbsin alog b cosa 0 . logbsin a sin a. log b cosa sin acosalogb cosa r即x1994*10、设 0则sin 一 1 cos 的最大值是 2答案:瞪解析：令ysin 2cos22 sin cos ,知 y 0 ,22所以2222y 2 2sin cos cos 2 222"3,当tan 三2时等号成立. 9221992*8、在区间0, 中，三角方程cos7x cos5x的解的个数是 .答案

26、：71.斛析：由题息得 7x 5x 2k ，或 7x 5x 2k , ( k Z),得 x k , x - k6 201991*7 . COS 10(k Z),在区间0, 内共有7解.2000cos 50 sin 40 sin 80答案:解析:4原式1 cos200 12141400cos20 cos8021 cos20 cos6020 cos10020cos40200 cos600 2001 cos1202cos40041990*1 .设一,一，则(cos )4 2cos(sincos),(cossin) 的大小顺序是A. (cos )coscos(sin )(cos)sinB.(cos)c

27、ossincos(cos )(sin )C. (sin )cos(cos )cos (cos)sinD.(cosincoscos(cos )(sin )答案：D解析：,得 0 cos sin 1,4 2 (cos )cos(sin )cos ； (cos )s1n(cos )cos ；选 D1990*8 .设 A(2,0)为平面上一定点，P(sin(2t 600),cos(2t 600)为动点，则当 t 由 150 变到450时，线段 AP扫过的面积是 .答案：一 6解析：点 P在单位圆上，sin(2t 600) cos(1500 2t) , cos(2t 600) sin(1500 2t).

28、厂厂当t由150变到450时，点P沿单位圆从-, 运动到-, 线段AP扫过的面积等2 22 2于扇形面积等于一.62ab .一 1990*13 .已知a,b均为正整数，且a b , sin2 ,(其中0),a2 b222. 2 . nAn (a b ) sin n .求证：对于一切自然数n , An均为整数.2ab证明：由sin得cosa2 b2当a,b均为正整数时， A 2ab、B1a b22、n .22.记 Bn (a b ) sin na ba2 b2均为整数.222.2 2A2 4ab a b , B22a b22 2 .a b 也为整数.若 Ak (a2 b2)k sin kBk (

29、a2 b2)ksink 均为整数,则 Ak 1 (a2 b2)k 1 sin k 1 (a2 b2)k 1 sin k cos cosk sin 整数.Bk 1 (a2 b2)k 1 cos k 1 (a2 b2)k 1 cosk cos sin k sin 整数.由数学归纳原理知对于一切n N , An, Bn为整数.AB1ABk 为BkB12人也为1989*2 ,函数 f(x)A (, ) B .答案：D解析：因x 1,1arctan x 一 arcsin x 的值域是() 233 C33一 C 4444，故 arctan x，且 f( 1)f(1)1989*12 .当s和t取遍所有实数时

30、,s 5 3costs 2sint 2所能达到的最小值为.答案：22解析：令x 3cost , y 2sint ,则得椭圆 91在第一象限内的弧段.再令x s 5, y s,则得y x 5,表示一条直线.s 5 3cost2sint 表示椭圆弧段上点与直线上点距离平方.其最小值为点3,0与直线y x 5距离平方等于2.1986*1、设 1A. x2nB. x2nC. x (2n 1)D. x (2n 1)答案：Da 0 , arcsin a,那么不等式sinx a的解集为()x(2n1),nZx(2n1),nZx2n,nZx2n,nZ解析：一 0,在 ,0内满足sin x a的角为x ,由单位圆易得解2为D.1