中北大学信号与系统第3章

1、第第3章章 连续时间信号与系统连续时间信号与系统 的频域分析的频域分析中北大学信息与通信工程学院主讲：陈友兴第3章 连续时间信号与系统的频域分析2 /109信号与系统3.0 引言从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析傅里叶分析（频域分析）（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为。将信号进行正交分解，即分解为三角函三角函数数或或复指数函数复指数函数的组合。的组合。频域分

2、析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。制等重要概念。 第3章 连续时间信号与系统的频域分析3 /109信号与系统第3章 连续时间信号与系统的频域分析n3.0 3.0 引言引言（2 2）n3.1 3.1 用正交函数集表示信号用正交函数集表示信号（4 4）n3.2 3.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数（8 8）n3.3 3.3 非周期信号的

3、傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换（2929）n3.4 3.4 傅里叶变换的性质及其应用傅里叶变换的性质及其应用（4646）n3.5 3.5 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换（7070）n3.6 3.6 调制与解调调制与解调（7979）n3.7 3.7 线性时不变系统的频域分析法线性时不变系统的频域分析法（8383）n3.8 3.8 无失真传输无失真传输（9292）n3.9 3.9 理想低通滤波器理想低通滤波器（9898）n3.103.10系统的物理可实现性系统的物理可实现性（107107）第3章 连续时间信号与系统的频域分析4 /109信号与系统3.1 用正交函数集表示信号 满足一定条

4、件的信号可以被分解为正交函数的满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的线性组合。线性组合。 即任意信号即任意信号x(t)在区间在区间(t1, t2)内可由完备内可由完备正交函数集的线性组合表示为正交函数集的线性组合表示为11221( )( )( )( )( )nnniiix tC g tC g tC g tC g t11221( )( )( )( )( )nniiix tC g tC g tC g tC g t近似为近似为各分量的标量系数为各分量的标量系数为2121*2( )( )d( ) dtitititx t g ttCg tt第3章 连续时间信号与系统的频域分析5 /109信号与系统 包

5、含正、包含正、 余弦函数的三角函数集是最重要余弦函数的三角函数集是最重要的完备正交函数集。的完备正交函数集。 它具有以下优点：它具有以下优点： (1) 三角函数是基本函数；三角函数是基本函数； (2) 用三角函数表示信号，用三角函数表示信号， 建立了时间与建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系；频率两个基本物理量之间的联系； (3) 单频三角函数是简谐信号，单频三角函数是简谐信号， 简谐信号简谐信号容易产生、容易产生、 传输、传输、 处理；处理； (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后，三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信号，仍为同频三角函数信号， 仅幅度和相位有变化，仅

6、幅度和相位有变化， 计算更方便。计算更方便。复指数函数集与三角函数集类似，还可以互相转换复指数函数集与三角函数集类似，还可以互相转换第3章 连续时间信号与系统的频域分析6 /109信号与系统cos()cos( )cos( )sin( )sin( )sin()sin( )cos( )cos( )sin( )ABABABABABABsinsin2sin()cos()22coscos2cos()cos()22coscos2sin()sin()22ABABABABABABABABAB sin( )sin( )(cos()cos()/ 2cos( )cos( )(cos()cos()/ 2sin( )c

7、os( )(sin()sin()/ 2ABABABABABABABABAB 三角函数运算关系式三角函数运算关系式第3章 连续时间信号与系统的频域分析7 /109信号与系统 00cos,sin,0,1,2,ntntn 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内在一个周期内 2002cossin0TTntmt 2002,coscos20,TTTmnntmtmn 2002,sinsin20,TTTmnntmtmn 三角函数集和复指数函数集返回000002200002j n mtjntjmtmneedtedtmn 0,0, 1, 2,jnten 第3章 连续时间信号与系统的频域分析8

8、/109信号与系统3.2.1 3.2.1 傅里叶级数傅里叶级数狄里克雷(Dirichlet)条件n(1) 在一周期内连续或有限个第一类间断点； n(2) 一周期内函数的极值点是有限的； n(3) 一周期内函数是绝对可积的， 即00( )tTtx t dt 3.2周期信号的傅里叶级数第3章 连续时间信号与系统的频域分析9 /109信号与系统 02 , , x tTT周期信号周期为基波角频率为在满足狄氏条件时，可展成0001( )cossinnnnx taantbnt直流分量直流分量0001( )dtTtax ttT余弦分量的幅度余弦分量的幅度0002( )cosdtTntax tnttT正弦分量

9、的幅度正弦分量的幅度0002( )sindtTntbx tnttT称为三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数，其系数三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数第3章 连续时间信号与系统的频域分析10 /109信号与系统三角形式傅里叶级数的其他形式三角形式傅里叶级数的其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 001( )sinnnnx tddnt22nnnbad 001( )cos nnnx tccnt第3章 连续时间信号与系统的频域分析

10、11 /109信号与系统关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图关系曲线称为相位频谱图可画出频谱图可画出频谱图周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 nc n幅度频率特性和相位频率特性幅度频率特性和相位频率特性周期信号可分解为直流、基波周期信号可分解为直流、基波 和各次谐波和各次谐波（ 基波角频率的整数倍）的线性组合基波角频率的整数倍）的线性组合0 0n 第3章 连续时间信号与系统的频域分析12 /109信号与系统例3.2.1：已知周期信号画出其频谱图tttttx00003sin21sin2)452cos(cos21)(00000

11、051( )1 2cos()cos(2)cos(3)442211 2cos()cos(2)cos(3)4422x ttttttt 0211cn000n000442(a)(b)210直流分量基波2次谐波幅度频谱图相位频谱图第3章 连续时间信号与系统的频域分析13 /109信号与系统欧拉公式欧拉公式0000000001cos()21sin()2cossinjnjnjnjnjnneeneejenjntjnnntjnneXenXtx00)()(000001()( )tTjntntXX nx t edtT指数形式傅里叶级数指数形式傅里叶级数njnneXX第3章 连续时间信号与系统的频域分析14 /109

12、信号与系统指数形式与三角形式系数之间的关系为指数形式与三角形式系数之间的关系为00011()2211()2212arctan2 Re()2 ImnnnjjnnnnnjnnnnnnnnnnnnnnnnnnXacXXeajbc eXajbc eXcXbaXXXaj XXjXb 第3章 连续时间信号与系统的频域分析15 /109信号与系统3.2.23.2.2周期信号的功率谱周期信号的功率谱 周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。22221( )TTnnPxt dtXT 平均功率0022222*1( )1( )TjntTnnTjntTnnnnnnnnnnPx tX ed

13、tTXx t edtTX XX XX时域频域第3章 连续时间信号与系统的频域分析16 /109信号与系统n上式反映了周期信号的平均功率与离散谱之间的关系，称为功率信号的帕塞瓦尔（帕塞瓦尔（ParsevalParseval）关系式。n周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量时域和频域的能量是守恒的是守恒的。n信号的幅频特性决定了信号的平均功率分布规律， 随 分布的特性称为周期信号的功率谱功率谱。 显然，周期信号的功率谱是离散谱离散谱。n从周期信号的功率谱中可以直观的看到平均功率在各频率分量上的分布情况。 2nX0n22221( )TTnnPxt d

14、tXT 第3章 连续时间信号与系统的频域分析17 /109信号与系统3.2.33.2.3傅里叶级数系数与函数对称的关系傅里叶级数系数与函数对称的关系1 1、偶函数、偶函数( )()x txt/2/200/20/20/224( )cos( )cos2( )sin0TTnTTnTax tntdtx tntdtTTbx tntdtT00arctan02nnnnnnnnaabXXaa nX傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。为实函数。第3章 连续时间信号与系统的频域分析18 /109信号与系统2 2、奇函数、奇函数( )()x txt 202/20/2/2/200/201 ( )d =0 2(

15、 )cos024( )sin( )sinTTTnTTTnTax ttTax tntdtTbx tntdtx tntdtTT/20arctan/202nnnnnnnnbbbXXjba nX傅里叶级数中无余弦分量，为虚函数。第3章 连续时间信号与系统的频域分析19 /109信号与系统2,4,6 0nnnab时3 3、奇谐函数（半波像对称）、奇谐函数（半波像对称）20041,3,5 ( )cosdTnnax tnttT时2004( )sindTnbx tnttTx(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即( )2Tx tx t 若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对

16、于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：00a 第3章 连续时间信号与系统的频域分析20 /109信号与系统 2Tx tx t02T4 4、偶谐函数、偶谐函数2004( )sindTnbx tnttT1,3,5 0nnnab当时20042,4,6 ( )cosdTnnax tnttT当时x(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量2T波形移动与原波形重合，称为偶谐函数。第3章 连续时间信号与系统的频域分析21 /109信号与系统0001cossinNNnnnSaantbnt误差函数 ( )NNtx tS均方

17、误差00221( )( )dtTNNNtEtttT 0001cossinnnnx taantbnt) 12(N)(tx取傅里叶级数的前 项来逼近周期信号 22222011( )2NNNnnnEtxtaab3.2.43.2.4周期信号傅里叶级数的近似周期信号傅里叶级数的近似第3章 连续时间信号与系统的频域分析22 /109信号与系统方波信号傅里叶有限级数方波信号傅里叶有限级数第3章 连续时间信号与系统的频域分析23 /109信号与系统吉布斯现象n当选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形中出现的峰值起伏越靠近的不连续点。但是对任何有限的N值，部分和所呈现的峰值的最大值趋于一个常数，它大约等于

18、总跳变值的9，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象通常称为吉布斯（吉布斯（Gibbs）现象）现象。n吉布斯现象吉布斯现象表明：用有限项傅氏级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随项数的增加而减少。只是随着项数的增多，振荡频率变高，向间断点处压缩，而使它所占有的能量减少。第3章 连续时间信号与系统的频域分析24 /109信号与系统3.2.53.2.5周期矩形脉冲信号的傅里叶级数周期矩形脉冲信号的傅里叶级数其它022)(tEtx0000/22/20222000011|1222sin22jntjntnnnjjEXEedteTTjnEeeTn

19、jnnEESaTnT 第3章 连续时间信号与系统的频域分析25 /109信号与系统0Sa2nEXnT频谱及其特点频谱及其特点(1)(1)包络线形状：抽样函数包络线形状：抽样函数(3)(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性）0 n当时取值(2) 0EnT其最大值在处，为。5/nX（）是是复复函函数数（此此处处为为实实 函函数数），幅幅度度 相相位位 2)4 第第一一个个零零点点坐坐标标：（ET 222令=000,nnXX，相位为，相位为。5T 第3章 连续时间信号与系统的频域分析26 /109信号与系统 00ETTx t当时，为无限小由周期信号非周期信号。02TT幅度谱线间隔 矩形脉冲的频谱说明了

20、周期信号频谱的特点： 离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性。ET 22第一零点20 时，第3章 连续时间信号与系统的频域分析27 /109信号与系统频带宽度频带宽度ET 2第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的由频谱的收敛性收敛性可知，信号的功率集中在低频段。可知，信号的功率集中在低频段。第3章 连续时间信号与系统的频域分析28 /109信号与系统在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的的信号来表示，此频率范围称为信号来表示，此频率范围称为频带宽度频带宽度。对于一般周期信号，将幅

21、度下降为对于一般周期信号，将幅度下降为 (20dB)的频率区间定义为频带宽度。的频率区间定义为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： ，带宽与脉宽成反比。，带宽与脉宽成反比。或或 12 fBB语音信号语音信号 频率大约为频率大约为 3003400Hz，音乐信号音乐信号 5015,000Hz，扩音器与扬声器扩音器与扬声器 有效带宽约为有效带宽约为 1520,000Hz。系统的通频带信号的带宽，才能不失真max110nX返回第3章 连续时间信号与系统的频域分析29 /109信号与系统3.3.1 3.3.1 傅里叶变换的引出傅里叶变换的引出再用

22、再用 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数频谱密度函数。nXET 2( )x t：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号0j221( )edTntTnXx ttT 连续谱，幅度无限小连续谱，幅度无限小离散谱离散谱T 002 T 0各系数各系数谱线间隔谱线间隔第3章 连续时间信号与系统的频域分析30 /109信号与系统010, ()0 fX nT 0j2021()( )edTntTX nx ttT 0j202( )edlimlimTntTTTXjTX nx tt 000dnn 0001X

23、nX nTX nfT T （1） 0X nf 频谱密度函数频谱密度函数简称频谱函数简称频谱函数T T 单位频带上的单位频带上的频谱值频谱值T j( )edtx tt 有界函数有界函数连续连续第3章 连续时间信号与系统的频域分析31 /109信号与系统频谱密度函数的表示频谱密度函数的表示j ()() |()|eX jX j Xj j()( )ed( )tX jx ttF x t 幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱傅里叶变换傅里叶变换第3章 连续时间信号与系统的频域分析32 /109信号与系统反变换反变换0j000()( )entnX nx t 000()()2limlimTTXjTX nX n j

24、1ed2tx tXj 0j0( )()entnx tX n 0d,0nT 当当 时，时， 00()2limTXjX n 第3章 连续时间信号与系统的频域分析33 /109信号与系统傅里叶变换对傅里叶变换对 j()( )ed( )tX jx ttF x t j11( )d2tx tXjeFXj x tXj 第3章 连续时间信号与系统的频域分析34 /109信号与系统 求和求和 振幅振幅 指数信号指数信号 jj1( )edde22ttXjx tXj 无穷多个振幅为无穷小 的连续指数信号之和，频域范围 1 d 2Xj (,) 傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义第3章 连续时间信号与系统的频域分

25、析35 /109信号与系统傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。所有能量信号均满足此条件。 dx tt 有有限限值值 函函数数类类型型大大大大扩扩展展了了。傅傅里里叶叶变变换换的的函函数数的的概概念念后后，允允许许作作当当引引入入 绝对可积绝对可积充分条件充分条件第3章 连续时间信号与系统的频域分析36 /109信号与系统3.3.23.3.2典型非周期信号傅里叶变换典型非周期信号傅里叶变换1 1、矩形脉冲信号、矩形脉冲信号 ( )()()22x tE u tu tjj22jj2222sinee2ede.j2 j22ttEEXjEtESa2ESa2XjE 2 21 4

26、 00,1,2,2 21 2 22 nnnnn 幅度频谱 相位频谱 第3章 连续时间信号与系统的频域分析37 /109信号与系统 12 fBB或或 Sa2XjE 频宽：频宽：幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱频谱频谱第3章 连续时间信号与系统的频域分析38 /109信号与系统2 2、单边指数信号、单边指数信号 e000 0a ttax tt()0()0()( )|j tajajtX jx t edtedteaj1aj第3章 连续时间信号与系统的频域分析39 /109信号与系统 221Xj 10,0XjXj arctan 2,2,0, 0 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：第3章 连续时间信

27、号与系统的频域分析40 /109信号与系统3 3、双边指数函数、双边指数函数( ),0,atx teat 00()11atj tatj tX je edteedtajaj222aa第3章 连续时间信号与系统的频域分析41 /109信号与系统4 4、符号函数、符号函数10sgn( )10ttt00sgn( )limsgnlim( )()ataatatateteu te utt11 )sgn(tOte te 1( )( )()atatx teu te ut0jj1022eede ed11j2jja tta ttXjttaaa第3章 连续时间信号与系统的频域分析42 /109信号与系统 2je22j

28、j2sgn t 是奇函数是奇函数 0,20 ,202arctan 2Xj100112()lim()limaaX jXjajajj第3章 连续时间信号与系统的频域分析43 /109信号与系统5 5、冲激函数、冲激函数 j()ed1tX jtt Bt,01时时的的矩矩形形脉脉冲冲，看看作作冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不不满足绝对可积条件，不能用定义求。满足绝对可积条件，不能用定义求。 第3章 连续时间信号与系统的频域分析44 /109信号与系统6 6、直流信号、直流信号 比照单位冲激函数的傅里叶变换，由傅里叶逆变换容易求得( )1x t ()

29、1j tX jedt112( )2j ted 所以12( )j tedt 逆变换逆变换正变换正变换第3章 连续时间信号与系统的频域分析45 /109信号与系统 21 j1sgn21t7 7、阶跃函数、阶跃函数 ttusgn2121 O j1)( tuOt2121 tsgn21返回第3章 连续时间信号与系统的频域分析46 /109信号与系统1 1、线性性质、线性性质( )(), ( )()x tX jy tY j若 则 ( )( )()()ax tby taX jbY j ( )()(1,2, )iix tXjin11( )()nniiiiiia x ta Xj若 则 a、b为常数 ai为常数

30、( )( )( )( )( )( )j tj tj tF ax tby tax tby t edtax t edtby t edt第3章 连续时间信号与系统的频域分析47 /109信号与系统2 2、尺度变换性质、尺度变换性质( )()x tX j若 则 1x atXjaa ()()j tF x atx at edt1 ()( )11( )()juajuaF x atx u eduax u eduX jaaa1 ()( )11( )()juajuaF x atx u eduax u eduX jaaa0a 0a uat第3章 连续时间信号与系统的频域分析48 /109信号与系统(1) 0a1意义

31、意义第3章 连续时间信号与系统的频域分析49 /109信号与系统a1持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降频带展宽，各分量的幅度下降a倍。倍。0a1脉冲持续时间增加脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升倍。高频分量减少，幅度上升a倍。倍。此例说明：此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。要以展开

32、频带为代价。 3 1 ( ),ax txtXjXj第3章 连续时间信号与系统的频域分析50 /109信号与系统12( )( )( )x tx tjx t3 3、奇偶虚实性、奇偶虚实性()R j()I j121212()( )( )( )cossin( )cos( )sin( )sin( )cos()()j tX jx t edtx tjx ttjt dtx ttx tt dtjx ttx tt dtR jjI j22()()()X jRjIj()( )arctan()I jR j 第3章 连续时间信号与系统的频域分析51 /109信号与系统（1） 是实函数是实函数( )x t()( )cosR

33、 jx ttdt()( )sinI jx ttdt 偶函数奇函数*()()()()XjR jjI jXj22()()()X jRjIj()( )arctan()I jR j 偶函数奇函数实部实部虚部虚部幅度幅度相位相位1( )( )x tx t第3章 连续时间信号与系统的频域分析52 /109信号与系统 是实偶函数是实偶函数( )x t()0I j()()X jR j也是实偶函数也是实偶函数 是实奇函数是实奇函数( )x t()0R j()()X jjI j是虚奇函数是虚奇函数()( )cosX jx ttdt()( )sinX jjx ttdt 第3章 连续时间信号与系统的频域分析53 /1

34、09信号与系统（2） 是虚函数是虚函数( )x t2()( )sinR jx ttdt2()( )cosI jx ttdt 偶函数奇函数22()()()X jRjIj()( )arctan()I jR j 偶函数奇函数实部实部虚部虚部幅度幅度相位相位2( )( )x tjx t第3章 连续时间信号与系统的频域分析54 /109信号与系统jj()()ed( )ed()tuF xtxttx uuXj()()xtXj*( )()x tXj*()()xtXj*j*j*( )*( )ed( )ed()ttF x txttx ttXj 第3章 连续时间信号与系统的频域分析55 /109信号与系统4 4、时

35、移特性、时移特性( )()x tX j若 则 00()()j tx ttX je1( )()2j tx tX jed00()01()()21()2jttjtjtx ttXjedXjeed00()()j tx tteXj时域的平移对应频域的相移时域的平移对应频域的相移 第3章 连续时间信号与系统的频域分析56 /109信号与系统例3.4.3 求 信号的频谱。( )()y tx atb( )()x tX j11( )()()()j bx tx tbeX jXj1111( )()()()()jbay tx atbx atXjeX jaaaa1()()jbaY jeX jaa221( )()()()x

36、 tx atX jXjaa221( )()()()()bbjjaaby tx atbx teXjeX jaaa方法一方法一方法二方法二第3章 连续时间信号与系统的频域分析57 /109信号与系统5 5、频移特性、频移特性( )()x tX j若 则 令00( ) ()jtx t eX j01( )( )jtx tx t e则 00jj1j0()( )ee( )etttXjx tdtx tdtX j 时域的相移对应频域的平移时域的相移对应频域的平移 0001( )cos( ()( ()2x ttX jX j0001( )sin( ()( ()2x ttX jX jj第3章 连续时间信号与系统的频

37、域分析58 /109信号与系统正弦信号的傅里叶变换（例正弦信号的傅里叶变换（例3.4.43.4.4）002()jte 000cos()()t 000sin()()tj 12( ) 第3章 连续时间信号与系统的频域分析59 /109信号与系统 例3.4.5 已知矩形调幅信号 ，如图所示,求其频谱。 0cosx tGtt2G jESa00001122SaSa2222XjG jG jEE第3章 连续时间信号与系统的频域分析60 /109信号与系统( )()x tX j()2X jtx 2Xjtx6 6、对偶性质、对偶性质 x t1( )()2j tx tX jed将变量t与互换，得到2( )()j

38、txX jt edt则2()()j txX jt edt所以()2()X jtx若 则 若 为偶函数，则 意义：意义：傅里叶变换对傅里叶变换对第3章 连续时间信号与系统的频域分析61 /109信号与系统7 7、时域微分特性、时域微分特性( )()x tj X j若 ( )()x tX j则 ( )()x tjX jj1( )()ed2tx tX j两边分别对t求微分，得111( )()()()221()()2j tj tj tx tX jedX jedX jj edFX jj( )( )()()nnxtjX j意义：用于求解微分方程意义：用于求解微分方程（频域分析）（频域分析）注意：常数的运算

39、注意：常数的运算第3章 连续时间信号与系统的频域分析62 /109信号与系统若 ( )()x tX j则 1( )()(0) ( )txdX jXj 特别地，当 (0)0X时 1( )()txdX jj8 8 时域积分特性时域积分特性第3章 连续时间信号与系统的频域分析63 /109信号与系统()( )( ) ()1( )()( )( )1( ) ( )( )1( )( )()(0) (tj tj tj tjjjY jxdedtxu tdedtxu tedt dxedjxedxedjxdX jjX 1)()X jj( )( )ty txd第3章 连续时间信号与系统的频域分析64 /109信号与

40、系统9 9、频域微分特性、频域微分特性( )()x tj X j若 ( )()x tX j则 ( )()djtx tX jd()()( )nnnd X jjtx td ( )()dtx tjX jd()( )( )( )j tj tj tdX jdx t edtdddx tedtdjtx t edt()( )nnnnd X jt x tjd或 或 第3章 连续时间信号与系统的频域分析65 /109信号与系统1010、频域积分特性、频域积分特性1( )()(0) ( )txdX jXj 若 ( )()x tX j则 ( )(0) ( )()x txtX jdjt第3章 连续时间信号与系统的频域分

41、析66 /109信号与系统1111、时域卷积特性、时域卷积特性若 1122,x tXjxtXj则 1212x txtXjXj d2121txxtxtx j1212j12j12j2112dededdeded()ttF x txtxxttxxttxXjXjxXjXj第3章 连续时间信号与系统的频域分析67 /109信号与系统意义： 两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，即在时域中两信号的卷积等效数频谱的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘。于在频域中频谱相乘。 在频域分析法中具有重要的应用价值。在频域分析法中具有重要的应用价值。( )(

42、 )* ( )y tx th t()()()Y jX jH j时域：频域：1()() ()()( )1(0) ( )()Y jX jU jX jjXX jj ( )( )( )* ( )ty txdx tu t例如例如第3章 连续时间信号与系统的频域分析68 /109信号与系统1212、频域卷积特性、频域卷积特性若 1122,x tXjxtXj则 12121( )( )()()2x tx tXjXj 1212x txtXjXj时域卷积 第3章 连续时间信号与系统的频域分析69 /109信号与系统1313、帕塞瓦尔定理、帕塞瓦尔定理若 ( )()x tX j则 221| ( )|()|2x td

43、tX jd2*2| ( )|( )( )1( )()21()( )21()()21|()|2j tj tx tdtx t x t dtx tXjeddtXjx t edt dXjX jdX jd22221( )TTnnx t dtXT周期信号周期信号返回第3章 连续时间信号与系统的频域分析70 /109信号与系统n不满足绝对可积不满足绝对可积n无法直接求解傅里叶变换无法直接求解傅里叶变换n引入奇异函数引入奇异函数正弦信号正弦信号002()jte 000cos()()t 000sin()()tj 1( )ju t 12( ) 第3章 连续时间信号与系统的频域分析71 /109信号与系统 )()(

44、cos000 t000sinjjt 频谱图频谱图:cos0频谱图频谱图t :sin0频谱图频谱图t 第3章 连续时间信号与系统的频域分析72 /109信号与系统傅里叶级数的指数形式：傅里叶级数的指数形式：傅氏变换傅氏变换1 1、一般周期信号的傅里叶变换、一般周期信号的傅里叶变换02( ):x tT ntjnnXtx0e 00jjnn0ee2ntntnnXjF x tFXX FXn 02nnXn 设周期信号设周期信号第3章 连续时间信号与系统的频域分析73 /109信号与系统（1） 的频谱由冲激序列组成的频谱由冲激序列组成强度：与强度：与 成正比成正比位置：位置： （谐波频率、离散谱）（谐波频率

45、、离散谱）（2）谱线的幅度不是有限值，）谱线的幅度不是有限值， 因为因为 表示的是频谱密度表示的是频谱密度 ( )x t0n几点认识几点认识()X j。幅度为幅度为频率范围无限小频率范围无限小 ,02nXjXn nX第3章 连续时间信号与系统的频域分析74 /109信号与系统单个脉冲的单个脉冲的 与周期信号与周期信号 的谱系数的谱系数 的关系的关系 j20002 edTtTxtXjxtt0()Xj 0j221edTntTnXx ttT( )x tnX02T00,( )( )nx tx t001nXXjnT比较以上两式，在一个周期内则第3章 连续时间信号与系统的频域分析75 /109信号与系统

46、TnttnT 00jjTn1 eentntnntXT所以2 2、周期周期单位冲激序列的傅里叶变换单位冲激序列的傅里叶变换 1 t 因因为为 的傅氏级数谱系数的傅氏级数谱系数所以所以tT 1nXT02T第3章 连续时间信号与系统的频域分析76 /109信号与系统 0jT1entnXjFtFT02nnT 012nnT 0000nn 的频谱密度函数仍是冲激序列，强度和间隔都是 Tt0第3章 连续时间信号与系统的频域分析77 /109信号与系统3 3、周期矩形脉冲序列的傅氏变换、周期矩形脉冲序列的傅氏变换方法方法1 1)()()(10 FnFF0()Sa2XjE001 nXXjnT所以000000()

47、22Sa2Sa2nnnnnEX jXnnTnEn 第3章 连续时间信号与系统的频域分析78 /109信号与系统0T( )( )( )x tx tt000()()()nX jXjn 方法方法2 2利用时域卷积定理，周期利用时域卷积定理，周期T利用冲激函数的抽样性质利用冲激函数的抽样性质0()Sa2XjE0000000000 ()()()Sa()2Sa2nnX jXjnnnEnnEn 返回第3章 连续时间信号与系统的频域分析79 /109信号与系统相乘)(tgt0cos ttgtf0cos)()( 调制信号调制信号:)(tg：已调信号：已调信号)(tf ：载波信号：载波信号t0cos ：载波角频率

48、：载波角频率0 幅度调制幅度调制001()( ()( ()2F jG jG j性质性质5 5频移特性频移特性第3章 连续时间信号与系统的频域分析80 /109信号与系统 )( F0 0 m0 m0 2A2AO第3章 连续时间信号与系统的频域分析81 /109信号与系统m0cm2 解调：解调：将已调信号恢复成原来信号的过程。将已调信号恢复成原来信号的过程。本地载波，本地载波，与发送端载波与发送端载波同频同相同频同相 ttgttgtg00202cos1)(21cos)()( 000111()()( (2)( (2)244GjG jG jG j0()()()GjH jG j第3章 连续时间信号与系统

49、的频域分析82 /109信号与系统返回第3章 连续时间信号与系统的频域分析83 /109信号与系统则依卷积定理有( )(j ),( )(j ), ( )(j )zszsx tXytYh tH( )( )* ( )zsytx th t两边求傅里叶变换 ()()()zsYjX jH j()()()()()jzsYjH jH jeX j 所以 3.7.1 系统的频率响应函数系统的频率响应函数系统的频率系统的频率响应函数响应函数幅频特性幅频特性相频特性相频特性第3章 连续时间信号与系统的频域分析84 /109信号与系统微分方程微分方程00( )( )kkNMkkkkkkd y tdx tabdtdt对

50、上式两端同时求傅里叶变换，由时域微分性质，可得 MkkkNkkkjXjbjYja00)()()()(NkkkMkkkjajbjXjYjH00)()()()()(所以 第3章 连续时间信号与系统的频域分析85 /109信号与系统并联系统并联系统12( )( )( )h th th t12()()()H jHjHj级联系统级联系统12( )( )*( )h th th t12()()()H jHjHj第3章 连续时间信号与系统的频域分析86 /109信号与系统 例3.7.1 已知描述线性时不变系统的常系数微分方程为 22( )( )( )68 ( )3 ( )d y tdy tdx ty tx t

51、dtdtdt求系统的频率响应函数。 对方程两端同时求傅里叶变换，可以得到2()()6()8 ()()3()jY jj Y jY jj X jX j2()68 ()(3)()jjY jjX j23()()6()8jH jjj所以 第3章 连续时间信号与系统的频域分析87 /109信号与系统例3.7.2 设某线性时不变系统的单位冲激响应为 2( )2( )th teu t求该系统的频率响应函数 1()22H jj根据单边指数信号的傅里叶变换，得 第3章 连续时间信号与系统的频域分析88 /109信号与系统3.7.2系统的频域分析系统的频域分析()()()Y jX jH j11( ) ()()()y

52、 tFY jFX jH j零状态响应零状态响应卷积定理分析卷积定理分析( )( )* ( )y tx th t第3章 连续时间信号与系统的频域分析89 /109信号与系统1( )()2j tx tX jed()1( )* ( )( )j tj tjtey teh thed( )()j tjj tehedH je11()d()()d22j tj tX jeH jX je11()()()22j tj tX jedH jX jed信号分解的角度分析信号分解的角度分析j te1( )( )()()x ty tFX jH j()2X jd第3章 连续时间信号与系统的频域分析90 /109信号与系统1()

53、3X jj()()()111(1)(2)12Y jX jH jjjjj所以 12( )()() ( )tty tFY jeeu t3()(1)(2)jH jjj求该系统在激励 3( )( )tx teu t下的零状态响应 ( )y t例3.7.4 已知系统函数第3章 连续时间信号与系统的频域分析91 /109信号与系统* ( )()j tj tj teeh tH je正弦响应正弦响应00000()00* ( )()()jtjtjtjteeh tH jeH je0001sin2jtjtteej000() sin()H jt00000()()()2jtjtH jeej返回第3章 连续时间信号与系统

54、的频域分析92 /109信号与系统n线性失真线性失真n振幅失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减（放大），使各频率分量之间的相对振幅关系发生了变化。n相位失真：系统对信号中各频率分量产生的相移与频率不成正比，使各频率分量在时间轴上的相对位置发生了变化。n这两种失真都不会使信号产生新的频率分量。n非线性失真非线性失真：是由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通过系统后产生了新的频率分量。第3章 连续时间信号与系统的频域分析93 /109信号与系统n所谓无失真传输无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化 ( )h t()xtt( )

55、y tt0t0( )()y tKx tt0( )()h tKtt00t 第3章 连续时间信号与系统的频域分析94 /109信号与系统几点认识：几点认识：要求幅度为与频率无关的常数要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为，系统的通频带为无限宽。无限宽。相位特性与相位特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线成正比，是一条过原点的负斜率直线不失真的线性系统其冲激响应是冲激函数。不失真的线性系统其冲激响应是冲激函数。 0()()()j tjH jKeH je ()H jK 0t 第3章 连续时间信号与系统的频域分析95 /109信号与系统相位特性与频率成正比关系相位特性与频率成正比关系 thttK

56、KHt 0j0e)j ( 只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。延迟时间延迟时间t0 是相位特性的斜率：是相位特性的斜率： 0ddt 群时延群时延或称群延时或称群延时 dd 在满足信号传输不产生相位失真的情在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。况下，系统的群时延特性应为常数。 第3章 连续时间信号与系统的频域分析96 /109信号与系统 信号传输后失真信号传输后失真此系统不满足此系统不满足0ddt tsintOtOt 2sintOtt2sinsin 2sin ttOtO 32sin ttO 32sin2sin tt输入输入输出输出第3章 连续时间信号与系统的频域分析97 /109信号与系统返回第3章 连续时间信号与系统的频域分析98 /109信号与系统0jccej0tH 的低频段内，传输信号无失真的低频段内