实变函数直播课程学习教案VIP

1、会计学1实变函数直播课程实变函数直播课程第一页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第1页/共73页第二页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第2页/共73页第三页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第3页/共73页第四页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第4页/共73页第五页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 第5页/共73页第六页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第6页/共73页第七页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第7页/共73页第八页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第8页/共73页第九页，编辑于星期一：十九点 二十七分。比如，连续函数必定可积，但是比如，连续函数必定可积，但是具有什么性具有

2、什么性质的不连续函数也可积质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件又是可导，那么可导的充分必要条件又是什么样的？什么样的？ 第9页/共73页第十页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第10页/共73页第十一页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第11页/共73页第十二页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第12页/共73页第十三页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第13页/共73页第十四页，编辑于星期一：十九点 二十七分。什么什么是是测度呢？简单地说，测度呢？简单地说，

3、线线段的长度段的长度, ,平面平面图形图形的的面积面积 , ,空间空间立立体体的的体积体积就是它的测度。就是它的测度。 测度的概念测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念是由法国度这个概念是由法国数学家勒贝格数学家勒贝格提出来的。提出来的。 第14页/共73页第十五页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第15页/共73页第十六页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第16页/共73页第十七页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第17页/共73页第十八页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第18页/共73页第十九页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第19页/共7

4、3页第二十页，编辑于星期一：十九点 二十七分。数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。从黎曼积分的记号从黎曼积分的记号 dxxfba可以看出，它含有可以看出，它含有两个要素两个要素及及一个运算一个运算 （1）积分区间积分区间 （2）被积函数被积函数 （3）积分运算积分运算 xfba,第20页/共73页第二十一页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第21页/共73页第二十二页，编辑于星期一：十九点 二十七分。本课程的中心内容：本课程的中心内容： 推广黎曼积分为勒贝格积分推广黎曼积分为勒贝格积分记号：记号： dxxfE注意注意 这里这里E E是欧几里德是欧几里德(

5、Euclid)(Euclid)空间的空间的点集点集， 不必是区间不必是区间， 是是可测函数可测函数，而积分运，而积分运 算依赖所考虑的算依赖所考虑的测度测度。 xf第22页/共73页第二十三页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第23页/共73页第二十四页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第一章第一章 集集 合合 主要内容主要内容 集合及其运算集合及其运算 集的对等及其基数集的对等及其基数第24页/共73页第二十五页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 基本要求基本要求 1 理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。集与集之间的包含

6、关系的区别。2 掌握掌握集之间的并、交、差、余运算。集之间的并、交、差、余运算。3 掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。4 理解集列的收敛、单调集列的概念。理解集列的收敛、单调集列的概念。5 掌握掌握映射，两集合对等及集合基数等概念。映射，两集合对等及集合基数等概念。6 理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。7 理解可数集，不可数集的意义，理解可数集，不可数集的意义，掌握掌握可数集、可数集、基数为基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的

7、定理的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。的意义。 第25页/共73页第二十六页，编辑于星期一：十九点 二十七分。可数集的性质可数集的性质A.A.任何无限集必任何无限集必含有可数子集含有可数子集B.B.可数集的子集可数集的子集至多是可数的。至多是可数的。即或为有限即或为有限集或为可数集。集或为可数集。C.C.可数个可数集的并可数个可数集的并集是可数集。集是可数集。第26页/共73页第二十七页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 A=nxxxa,21LL,( )( )()nkxxxkkk., 2, 1;,21LL=则则 A A 为可数集。为可数集。第27页/共73页第二十八页，编辑于星期一

8、：十九点 二十七分。11|0|nnxxxx例例1：证明：证明第28页/共73页第二十九页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 ./1,/1, 1/1, 01|0|1nxxnxnxnxxxxn 从而从而则则令令：显然。显然。：第29页/共73页第三十页，编辑于星期一：十九点 二十七分。？真真子子集集之之间间的的一一一一对对应应一一个个怎怎样样建建立立无无限限集集与与它它的的例例2第30页/共73页第三十一页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 是一一映射。是一一映射。则则时。时。当当）时，）时，（当当，作映射作映射。令令是互不相同的元素。是互不相同的元素。取取是一个无限集，是一个无限集，设设fXXx

9、xnxxxxfxXXfxxxXXxxxXnnnn 01121021, 3 , 2 , 1,)(:,LLLLL第31页/共73页第三十二页，编辑于星期一：十九点 二十七分。例例3：证：证明明成之集是至多可数集。成之集是至多可数集。间所间所直线上互不相交的开区直线上互不相交的开区第32页/共73页第三十三页，编辑于星期一：十九点 二十七分。的。的。是至多可数是至多可数从而从而的一一映射，的一一映射，的子集的子集到到是从是从则则建立映射建立映射）（数数取有理取有理）（所成之集。所成之集。区间区间是直线上互不相交的开是直线上互不相交的开设设OQOfybaQOfbayObaO,),(,:, 第33页/共

10、73页第三十四页，编辑于星期一：十九点 二十七分。直播课程二直播课程二第34页/共73页第三十五页，编辑于星期一：十九点 二十七分。例例4：为为可可数数集集。则则成成的的集集合合。以以有有理理数数为为半半径径的的圆圆组组心心，为为平平面面上上以以有有理理点点为为中中设设AA第35页/共73页第三十六页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 。其其中中QrbarbyaxRyxrbaOOAO ,)()( |),(),(,2222第36页/共73页第三十七页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第二章第二章点点 集集 主要内容主要内容 度量空间、度量空间、n n 维欧氏空间简介维欧氏空间简介聚点、内点、界点

11、等概念聚点、内点、界点等概念开集、闭集、完备集。开集、闭集、完备集。直线上的开集、闭集及完备集的构造。直线上的开集、闭集及完备集的构造。第37页/共73页第三十八页，编辑于星期一：十九点 二十七分。1 明确明确n维欧氏空间中极限概念主要依维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。限理论中的作用。2 理解聚点，孤立点、内点、外点、界理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。点的意义，掌握有关性质。3 理解开集、闭集、完备集的意义，掌理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。握其性质。4 理解直线上开集、闭集

12、、完备集的构理解直线上开集、闭集、完备集的构造。造。5 理解康托集的构造、特性。理解康托集的构造、特性。基本要求基本要求第38页/共73页第三十九页，编辑于星期一：十九点 二十七分。例例1没没有有极极限限点点。则则界界是是正正的的，相相异异两两点点的的距距离离的的下下确确，其其所所有有已已知知某某一一平平面面点点集集EE第39页/共73页第四十页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 矛盾。矛盾。与与且且。这样。这样性质，存在性质，存在，根据聚点的，根据聚点的，则存在，则存在有聚点有聚点若若。设设rxxdrxxdxxdxxdxxdxxxExxdxBxxErxBxxEEyxyxyxdr ),(,43

13、),(23),(),(),()2/ ),(;()2/;(0,| ),(inf210120012112001020010第40页/共73页第四十一页，编辑于星期一：十九点 二十七分。例例2的一点。的一点。中中收敛于收敛于中任何一个收敛点列必中任何一个收敛点列必为闭集的充要条件是：为闭集的充要条件是：点集点集AAA第41页/共73页第四十二页，编辑于星期一：十九点 二十七分。是是闭闭集集。故故因因此此，从从而而则则存存在在：设设。则则是是闭闭集集，若若设设的的一一点点。中中收收敛敛于于中中任任何何一一个个收收敛敛点点列列必必为为闭闭集集的的充充要要条条件件是是：点点集集AAAAxxxnAxAxAA

14、AAxxxnAxAAAAnnnn, 3, 2 , 1, , 3, 2 , 1,: LL第42页/共73页第四十三页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 主要内容主要内容 外测度及其性质。外测度及其性质。 Lebesgue可测集及其性质。可测集及其性质。 基本要求基本要求 理解测度的意义。理解测度的意义。 理解外测度的意义，理解外测度的意义，掌握掌握其有关性质。其有关性质。 理解可测集的定义，理解可测集的定义，掌握掌握可测集的性质可测集的性质。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。第43页/共73页第四十四页，编辑于星期一：十九点 二十七分。测。测。零测集及其任何

15、子集可零测集及其任何子集可例例1 1例例2 2零测集。零测集。单调函数的间断点集是单调函数的间断点集是第44页/共73页第四十五页，编辑于星期一：十九点 二十七分。的间断点集是零测集。的间断点集是零测集。单调函数单调函数而可数集是零测集，故而可数集是零测集，故可数集，可数集，单调函数的间断点集是单调函数的间断点集是第45页/共73页第四十六页，编辑于星期一：十九点 二十七分。?00 EmmE能否推出能否推出例例3第46页/共73页第四十七页，编辑于星期一：十九点 二十七分。但但例如：例如：否。否。0, 0 QmmQ第47页/共73页第四十八页，编辑于星期一：十九点 二十七分。的真子集，且的真子

16、集，且为为设设0*1 EmRE中是否必含有区间？中是否必含有区间？E例例4 4第48页/共73页第四十九页，编辑于星期一：十九点 二十七分。不含区间。不含区间。但但例如：例如：否。否。EmECQE, 0, 第49页/共73页第五十页，编辑于星期一：十九点 二十七分。的真子集，的真子集，是开集是开集若开集若开集21GG?21mGmG 是否一定有是否一定有例例5 5第50页/共73页第五十一页，编辑于星期一：十九点 二十七分。)1 , 1(),1 , 0()0 , 1(21 GG第51页/共73页第五十二页，编辑于星期一：十九点 二十七分。EmRE*1有界，则必有有界，则必有若若 ， 其逆不真。其

17、逆不真。例例6 6第52页/共73页第五十三页，编辑于星期一：十九点 二十七分。无界。无界。但是，但是，反之，不成立。例如：反之，不成立。例如：。从而从而使得使得则存在实数则存在实数有界，有界，若若QQmabEmbaEbaE, 0*),(, 第53页/共73页第五十四页，编辑于星期一：十九点 二十七分。无界可测，是否必有无界可测，是否必有若若1RE 呢？呢？或或0 mEmE例例7 7第54页/共73页第五十五页，编辑于星期一：十九点 二十七分。无界，但是无界，但是否。例如：否。例如：0 mQQ第55页/共73页第五十六页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 mGG，是是否否有有对对任任一一开开集

18、集?Gm例例8 8第56页/共73页第五十七页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第四章第四章可可 测测 函函 数数 主要内容主要内容可测函数及其性质。可测函数及其性质。叶果洛夫定理。叶果洛夫定理。 可测函数的构造。可测函数的构造。依测度收敛。依测度收敛。第57页/共73页第五十八页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 基本要求基本要求 1 1 掌握掌握可测函数的定义及等价定义。可测函数的定义及等价定义。2 2 掌握掌握可测函数的有关性质。可测函数的有关性质。3 3 理解简单函数的定义，理解简单函数的定义，掌握掌握可测函数可测函数与简单函数的关系。与简单函数的关系。4 4 掌握掌握可测函数列的收敛

19、点集和发散点可测函数列的收敛点集和发散点集的表示集的表示方法。方法。 5 5 掌握掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。叶果洛夫定理，鲁津定理。6 6 理解依测度收敛的意义，理解依测度收敛的意义，掌握掌握依测度收依测度收敛与敛与 a ae e 收敛的联系与区别。收敛的联系与区别。第58页/共73页第五十九页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第59页/共73页第六十页，编辑于星期一：十九点 二十七分。测测吗吗？上上的的常常数数函函数数均均可可任任何何点点集集 E例例1 1第60页/共73页第六十一页，编辑于星期一：十九点 二十七分。数就不可测。数就不可测。的常值函的常值函否。例如：不可测集上否。例如：不可

20、测集上第61页/共73页第六十二页，编辑于星期一：十九点 二十七分。可可测测，其其可可测测，则则若若afEf 逆不真。逆不真。例例2 2第62页/共73页第六十三页，编辑于星期一：十九点 二十七分。不可测。不可测。测，但测，但单点集或空集，当然可单点集或空集，当然可为为。则。则是不可测集。令是不可测集。令否。例如：设否。例如：设fafEExxxfE,)( 第63页/共73页第六十四页，编辑于星期一：十九点 二十七分。可测能否推可测能否推或或从从| )(|)(2xfxf可测呢？可测呢？出出)(xf例例3 3第64页/共73页第六十五页，编辑于星期一：十九点 二十七分。不可测。不可测。均可测，但均

21、可测，但和和则则是不可测集。令是不可测集。令否。例如：设否。例如：设fxfxfCExExxfE1| )(|1)(, 1, 1)(2 第65页/共73页第六十六页，编辑于星期一：十九点 二十七分。第五章第五章积积 分分 论论 主要内容主要内容 黎曼积分的简单回顾。黎曼积分的简单回顾。 勒贝格积分的建立和性质。勒贝格积分的建立和性质。 积分的极限定理。积分的极限定理。 有界变差函数。有界变差函数。 不定积分与绝对连续函数。不定积分与绝对连续函数。第66页/共73页第六十七页，编辑于星期一：十九点 二十七分。 基本要求基本要求 1 1 了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处了解黎曼可积的充要条件是

22、被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。连续（不要求掌握证明）。 2 2 理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解勒贝格积分的定义及其建立过程。 3 3 理解理解R R积分与积分与L L积分的关系。积分的关系。 4 4 理解理解L L积分的性质，特别是掌握积分的性质，特别是掌握L L积分的绝对积分的绝对可积性和绝对连续性。可积性和绝对连续性。 5 5 掌握掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。 6 6 理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性质。质。 7 7 理解有界变差函数的导数性质。理解有界变差函数的导数性质。 8 8理解不定积分与绝对连续函数的意