娃娃空间几何体的表面积和体积学习教案

1、娃娃空间娃娃空间(kngjin)几何体的表面积和体积几何体的表面积和体积第一页，共46页。 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道(zh do)正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表几何体表(t bio)面积面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题第1页/共46页第二页，共46页。 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个表面积就是各个(gg)面的面积的和面的面积的和 因此，我们可以把它们展

2、成平面图形，利用因此，我们可以把它们展成平面图形，利用(lyng)平面平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积图形求面积的方法，求立体图形的表面积 棱柱、棱锥棱柱、棱锥(lngzhu)、棱台都是由多个平面图形、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？的表面积？第2页/共46页第三页，共46页。 棱柱的侧面棱柱的侧面(cmin)(cmin)展开图是什么？如何计算展开图是什么？如何计算它的表面积？它的表面积？h正棱柱正棱柱(lngzh)的侧的侧面展开图面展开图第3页/共46页第四页，共46页。 棱锥的侧面展开棱锥的

3、侧面展开(zhn ki)(zhn ki)图是什么？如何图是什么？如何计算它的表面积？计算它的表面积？/h/h正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图第4页/共46页第五页，共46页。 棱锥的侧面展开棱锥的侧面展开(zhn ki)(zhn ki)图是什么？如图是什么？如何计算它的表面积？何计算它的表面积？侧面(cmin)展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图第5页/共46页第六页，共46页。 棱台的侧面展开棱台的侧面展开(zhn ki)(zhn ki)图是什么？如何图是什么？如何计算它的表面积？计算它的表面积？侧面(cmin)展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图第6页/共46页第七页，共4

4、6页。 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个表面积就是计算它的各个(gg)(gg)侧面面积和底面面侧面面积和底面面积之和积之和h第7页/共46页第八页，共46页。 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开分析：四面体的展开(zhn ki)图是由四个全等的正三角图是由四个全等的正三角形组成形组成因为因为BC=a，aSBSD

5、2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此因此(ync)，四面体，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点作的面积，过点作 ，ABCBCSD 22343.4Saa第8页/共46页第九页，共46页。OOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开圆柱的侧面展开(zhn ki)图是矩形图是矩形第9页/共46页第十页，共46页。圆锥的侧面圆锥的侧面(cmin)展开图展开图是扇形是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr第10页/共46页第十一页，共46页。 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象参照圆柱和圆锥的侧面

6、展开图，试想象(xingxing)圆台的侧面展开图是什么圆台的侧面展开图是什么 )(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO r2 r圆台的侧面圆台的侧面(cmin)展开展开图是扇环图是扇环第11页/共46页第十二页，共46页。lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么(shn (shn me)me)关系？关系？rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小第12页/共46页第十三页，共46页。 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20

7、 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圆台的表面积公式解：由圆台的表面积公式(gngsh)(gngsh)得得 花盆的表面积：花盆的表面积：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 2cm第13页/共46页第十四页，共46页。 以前学过特殊的棱柱以前学过特

8、殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱(yunzh)(yunzh)的体积公式的体积公式, ,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：ShV （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高第14页/共46页第十五页，共46页。圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 31第15页/共46页第十六页，共46页。探究棱锥与同底等高的棱柱体积探究棱锥与同底等高的

9、棱柱体积(tj)之间的关系之间的关系三棱锥与同底等高的三棱柱三棱锥与同底等高的三棱柱(lngzh)的关系的关系第16页/共46页第十七页，共46页。ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的底面面积乘高的 31 经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：31第17页/共46页第十八页，共46页。 由于圆台由于圆台(

10、 (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥(yunzhu)(yunzhu)(棱锥棱锥) )截成的，因此可截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台以利用两个锥体的体积差得到圆台( (棱台棱台) )的体积公式的体积公式( (过程略过程略) )根据台体的特征，如何根据台体的特征，如何(rh)求台体的体积？求台体的体积？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31第18页/共46页第十九页，共46页。棱台（圆台棱台（圆台(yunti)）的体积公式）的体积公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高（棱台）的高SS第1

11、9页/共46页第二十页，共46页。柱体、锥体、台体的体积公式柱体、锥体、台体的体积公式(gngsh)之间有什么关系？之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积为底面面积(min j)，h为为柱体高柱体高ShV 0S S分别分别(fnbi)为上、为上、下底面面积，下底面面积，h 为台为台体高体高ShV31SS S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小第20页/共46页第二十一页，共46页。 例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边形，边长为形，边长

12、为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg 解：六角螺帽的体积是六棱解：六角螺帽的体积是六棱柱柱(lngzh)(lngzh)的体积与圆柱体积的体积与圆柱体积之差，即之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为252)956. 28 . 7(10008 . 5（个）（个）答：这堆螺帽大约答：这堆螺帽大约(dyu)(dyu)有有252252个个第21页/共46页第二十二页，共46页。柱体、锥体柱体、锥体

13、(zhu t)、台体的表面积、台体的表面积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆圆锥锥第22页/共46页第二十三页，共46页。柱体、锥体柱体、锥体(zhu t)、台体的体积、台体的体积ShV31锥锥体体hSSSSV)(31台台体体柱柱体体ShV SS 0S第23页/共46页第二十四页，共46页。第24页/共46页第二十五页，共46页。生活生活(shnghu)中中常见的球体：常见的球体：第25页/共46页第二十六页，共46页。思考思考(sko)： 一一 球的概念是什么？球的概念是什么？ 二二 球有哪些球有哪些(nxi)性

14、质？性质？ 三三 如何求球的体积如何求球的体积 和表面积？和表面积？第26页/共46页第二十七页，共46页。1 1 球的球的概念概念(ginin)(ginin)和和性质性质2 2球的球的体积体积(tj)(tj)3 3 球的球的表面积表面积4 4 例题例题(lt)(lt)讲解讲解5 5 课堂课堂练习练习6 6 课堂课堂小结小结7 7 课堂课堂作业作业球球第27页/共46页第二十八页，共46页。球的概球的概念和性念和性质质 球的概念球的概念(ginin)ABORC一一 如图所示，半圆以它的直如图所示，半圆以它的直径径(zhjng)(zhjng)为旋转轴，旋转为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面所成的曲

15、面叫做球面. . 球面所球面所围成的几何体叫做球体，简称围成的几何体叫做球体，简称球球. . 半圆的圆心叫球心半圆的圆心叫球心, ,图中点图中点O. O. 连结球心和球面上任意一点连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，图中线的线段叫做球的半径，图中线段段R. R. 连结球面上两点并且经过连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径球心的线段叫做球的直径(zhjng)(zhjng)，图中线段，图中线段AB.AB.第28页/共46页第二十九页，共46页。球的概球的概念和性念和性质质 球的概念球的概念(ginin)一一QPO 球面被经过球心的平面球面被经过球心的平面(pngmin)(pngmi

16、n)截得的圆叫做截得的圆叫做大圆（如图中红色部分），被不经过球心的截面截得的大圆（如图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆（如图中绿色部分）圆叫做小圆（如图中绿色部分）. . 球面上两点之间最短连线的球面上两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做个弧长叫做(jiozu)(jiozu)两点的两点的球面距离（如图中球面距离（如图中 的长度就的长度就是是P P、Q Q两点之间的球面距离两点之间的球面距离 ）. .PQ第29页/共46页第三十页，共46页。球的概球的概念和性念和性质质 球的性

17、质球的性质(xngzh)二二do1o2Rr 用一个用一个(y (y )平面（如图中平面平面（如图中平面 ）去截一）去截一个个(y (y )球，截面是圆面，球的截面有下面的球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：性质：、球心和截面圆心的连线、球心和截面圆心的连线(lin xin) (lin xin) 垂直于截面垂直于截面（如图直线（如图直线o1o2o1o2垂直于平垂直于平面面 ）；）；、球心到截面的距离、球心到截面的距离d d与球的半径与球的半径R R及截面的半及截面的半径径r r有下面的关系：有下面的关系：第30页/共46页第三十一页，共46页。球的球的体积体积(tj)我们我们(w men)先来

18、回忆圆面积计先来回忆圆面积计算公式的导出方法：算公式的导出方法：联想(linxing) 把一个半径为把一个半径为R R的圆分成若干等分后重新拼接起的圆分成若干等分后重新拼接起来，就可以近似的看成是边长分别为来，就可以近似的看成是边长分别为 R R和和R R的矩形，的矩形，所以圆的面积近似等于所以圆的面积近似等于 . .2R第31页/共46页第三十二页，共46页。AO球的球的体积体积(tj) 类似的，我们也可以用这种方法导出球的体积公式类似的，我们也可以用这种方法导出球的体积公式. .如图所示，把半球的垂直于底面的半径如图所示，把半球的垂直于底面的半径OAOA作作n n等分，过这些等分，过这些(

19、zhxi)(zhxi)等分点用一组平行于底面的平面把半球切割成等分点用一组平行于底面的平面把半球切割成n n层层. .每一层都近似于圆柱形的每一层都近似于圆柱形的“小圆片小圆片”，这些，这些(zhxi)“(zhxi)“小圆片小圆片”的体积之和就是半球的体积的体积之和就是半球的体积. .上面求圆的面积上面求圆的面积(min j)所用的所用的方法为：方法为：分割分割近似求和近似求和化成准确值化成准确值第32页/共46页第三十三页，共46页。球的球的体积体积(tj)AOO1O2RriB“小圆片小圆片”的厚度的厚度(hud)为为 ，Rn22ir(1) ,1,2,., .RRiinn32211 () ,

20、1,2,iiRRiVrinnnn第第i i层层“小圆片小圆片”的下底面半径的下底面半径(bnjng)(bnjng)12nVVVV半球3222212(1)Rnnnn321(1)(21)6Rnnnnnn 第33页/共46页第三十四页，共46页。6)12)(1(11 23 nnnR 球的球的体积体积(tj)6)12)(11(13nnRV 半球半球.01,nn时时当当.343233RVRV 从而从而半球半球343VRR半径是 的球的体积为：定理：第34页/共46页第三十五页，共46页。 球的球的表面积表面积 我们再次运用推导我们再次运用推导(tudo)(tudo)球的体积公式球的体积公式时的方法，推导

21、时的方法，推导(tudo)(tudo)球的表面积公式球的表面积公式. .（1 1）、分割）、分割. .如下图如下图. .把球把球O O的表面分成的表面分成n n个小网个小网格，设它们的表面积分别格，设它们的表面积分别(fnbi)(fnbi)是是S1S1，S2 S2 ， ，SnSn，显然，球的表面积是，显然，球的表面积是S= S= S1+ S1+ S2 + S2 + Sn.Sn. 把球心把球心O O和每个小网格的顶点连接起来，整和每个小网格的顶点连接起来，整个个(zhngg)(zhngg)球体就被分割成球体就被分割成n n个个“小锥体小锥体”.”.第35页/共46页第三十六页，共46页。oSi

22、球的球的表面积表面积以第以第i i个网格为底面的个网格为底面的“小锥体小锥体(zhu t)”(zhu t)”，其底面为球面的一部分，其底面为球面的一部分，所以是曲的，但如果每个小所以是曲的，但如果每个小网格都非常网格都非常(fichng)(fichng)小，小，就近似于就近似于“平平”的，每个的，每个“小棱体小棱体”就近似于棱锥，就近似于棱锥，它们的高近似于球半径它们的高近似于球半径R.R.o第36页/共46页第三十七页，共46页。 球的球的表面积表面积(2)(2)、近似、近似(jn (jn s)s)求和求和. .O OiSiV由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV

23、 31313131332211 iiihSV 31 第37页/共46页第三十八页，共46页。 球的球的表面积表面积RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小锥体锥体(zhu t)”(zhu t)”就越接近小棱就越接近小棱锥锥. .RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又球的体积为：又球的体积为：23441,33RRSSR从而Rhi的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径 iS iVihRSiVi（3 3）、化为准确）、化为准确(zhnqu)(zhnqu)值值第38页/共46页第三十九页，共46页。例例题题

24、(lt)讲讲解解例例1.1.一种空心钢球的质量一种空心钢球的质量(zhling)(zhling)是是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm2)7.9g/cm2)ORx答答: :空心空心(kng xn)(kng xn)钢球的内钢球的内径约为径约为4.5cm.4.5cm.14234)25(349.733 x 3351423( )11.327.94x由计算器算得由计算器算得: :24. 2 x24.5x 解解: :设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是第39页/共46页第四十页，共46页。例题例题(lt)讲解讲解例例2 2、如图，圆柱的底面直径如图，圆柱的底面直径(zhjng)(zhjng)与高都与高都等于球的直径等于球的直径(zhjng).(zhjng).求证：求证：（1 1） 球的表面积等于球的表面积等于 圆柱圆柱(yunzh)(yunzh)的侧面积；的侧面积；（2 2） 球的表面积等于球的表面积等于 圆柱全面积的圆柱全面积的2/3.2/3.OR证明证明：（：（1 1）设球的半径为）设球的半径为 R R，则圆柱的底面半径，则圆柱的底面半径 为为R R，高为，高为2R2R，得，得第40页/共46页第四十一页，共