误差平差协方差传播定律及权ppt课件

1、第三章协方差传播律及权第三章协方差传播律及权3-1 数学期望的传播数学期望的传播 3-2 协方差传播律协方差传播律3-3 协方差传播律的运用协方差传播律的运用3-4 权与定权的常用方法权与定权的常用方法本章内容包括：本章内容包括：3-5 协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律3-6 由真误差计算中误差及其实践运用由真误差计算中误差及其实践运用v本章学习的目的和要求本章学习的目的和要求v求函数的协方差阵；求函数的协方差阵；v求函数的协因数阵；求函数的协因数阵；v求两两函数的互协方差阵以及互协因数阵。求两两函数的互协方差阵以及互协因数阵。v重点和难点重点和难点v协方差、协因数传播律的运用；协方差

2、、协因数传播律的运用；v常用定权的方法。常用定权的方法。v v先看两个例子1、设有观测值向量 的方差阵为：1试写出各观测值的方差以及两两协方差；2假设有函数 ，那么该函数F的方差又如何？TLLLL1230 80 20 10 20 70 30 10 31 0.LLDFLLL123378LLLLLLLLLLLLLLL011123022123033123118031180311803（）（）（）2、等精度独立观测三角形三内角，假设知观测值的方差，那么由三个平差值构成的向量的精度如何？123TLLLLv处理类似以上问题的方法就是：处理类似以上问题的方法就是：“协方差传播律，也协方差传播律，也称称“广义

3、传播律。广义传播律。3-1 3-1 数学期望的传播数学期望的传播v 数学期望是描画随机变量的数字特征之一。数学期望是描画随机变量的数字特征之一。v 其定义是：其定义是：v 知随机变量的数学期望求其函数的数学期望知随机变量的数学期望求其函数的数学期望, ,称为数学期望称为数学期望的传播。的传播。()( )E Xxf x dx 以下给出数学期望传播的几个运算公式 1、设C为一常数, 那么: E(C)=C 2、设C为一常数,X为一随机变量, 那么: E(CX)=CE(X) 3、设有随机变量X和Y, 那么: E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4、 假设随机变量X、Y相互独立, 那么： E(XY)=E(

4、X)E(Y)3-2 3-2 协方差传播律协方差传播律v从丈量任务的现状可以看出从丈量任务的现状可以看出v 观测值函数与观测值之间的关系可分为以下两观测值函数与观测值之间的关系可分为以下两种情况：种情况：v1 1线性函数如观测高差与高程的关系；线性函数如观测高差与高程的关系；v2 2非线性函数观测角度、边长与待定点坐标的非线性函数观测角度、边长与待定点坐标的关系。关系。v故，分别从线性函数、非线性函数研讨协方差传播故，分别从线性函数、非线性函数研讨协方差传播律。律。设有观测值设有观测值 ,数学期望为数学期望为 ,协方差阵为协方差阵为 ，又设有，又设有X线性函数为线性函数为: 求求Z的方差的方差D

5、ZZ。 1nXNoImage1 1111 11200:,n nnKk kkKkZKX式中是常数。XXn nD1Xn1 11111111 112001122:,nnnnnnnnnKk kkKK XkK XK XZ式中是常数。一、观测值线性函数的方差一、观测值线性函数的方差或：或：v 为求为求Z Z的方差，我们需从方差的定义入手。的方差，我们需从方差的定义入手。v 根据方差的定义根据方差的定义,Z,Z的方差为：的方差为：v 由数学期望运算可得：由数学期望运算可得：v 将将Z Z的函数式以及数学期望的函数式以及数学期望E EZ Z代入得：代入得：2( )( )TZZZDEZE ZZE Z ）2( )

6、( )()()()()()TZZZTXXTTXXTTXXTXXDEZE ZZE ZEKXKKXKE K XXKKEXXKKDK）（000)()XE ZE KXkKE XkKk（ ） （v由上推导可得出以下结论：由上推导可得出以下结论：v 假设有函数假设有函数: :v纯量方式：纯量方式：v那么函数的方差为那么函数的方差为: :v以上就是知观丈量的方差以上就是知观丈量的方差, ,求其函数方差的公式。也称求其函数方差的公式。也称为为“协方差传播律。协方差传播律。.nnZK XK XK Xk112202TZZZXXDKDK0111111kXKZnn公式公式1 1.nnnnnxx xx xx xxx x

7、ZZnnx xx xxkkDKKKk11212 122122122121 12.nnnnZZxxnxx xx xnx xnxxDkkkk kk kk kkk1121 31122222212212131 11122222方差的纯量方式为：方差的纯量方式为：v可见：假设可见：假设DX为对角阵时，协方差传播律即为为对角阵时，协方差传播律即为“误差传播律误差传播律。例：知向量 ，且假设有函数：试求各函数的方差 。TLLLL123LLD1 0 00 2 00 0 1123，,LLLLLDLLLLLLLLLLLLLLL011123022123033123118031180311803（）（）（）二、多个观

8、测值线性函数的协方差阵二、多个观测值线性函数的协方差阵 设有观测值 ，它们的期望 、方差为 假设有X的t个线性函数为: 求函数Z的方差以及它们之间的协方差？Xn 1NoImage0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ1XnXXn nD 令: 那么X的t个线性函数式可写为: 同样,根据协方差阵的定义可得Z的协方差阵为:1111211022122220113120,0nnttnttttntZkkkkZkkkkZkkkkKZK()()()()()()TttTXXTTXXTX XEZEZZEZZ ZEK XKK XKK

9、EXXKK DKDtt n ntZK Xk0111公式公式2NoImagev可以看出可以看出v线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在方式上完全一样方式上完全一样, ,且推导过程也一样且推导过程也一样; ;v所不同的是所不同的是DZZDZZ表示的是一个方阵；表示的是一个方阵；v 前者是一个函数值的方差前者是一个函数值的方差1 1行行1 1列列; ;v 而后者是而后者是t t个函数值的协方差阵个函数值的协方差阵t t行行t t列。列。v 即：前者是后者的特殊情况即：前者是后者的特殊情况. .例5：知向量 ，且：假设有函数：并记 ，试求 。LLLLLLL

10、LLLLLLLL011123022123033123118031180311803（）（）（）TLLLL123LLD1 0 00 1 00 0 1LLDTLLLL123123211333121333112333WLLWALWW 解：解：函数式函数式利用协方差传播律利用协方差传播律v此题关健是此题关健是: :将函数式转换为将函数式转换为“同一同一 变量的方式变量的方式! ! 211333121333112333TLLLLDAD A v 两组线性函数的互协方差阵的求法两组线性函数的互协方差阵的求法 设有两组X的线性函数 假设知X的方差阵DXX; 那么Y关于Z的互协方差阵DYZ以及DZY又如何?00

11、111111FXFYKXKZrnnrrtnntt 根据互协方差阵的定义,可得: 再利用数学期望传播律，得： 同理,可得:( )( )()()()()Tr tTXXTTXXTXXEYE YZE ZYZEFXFKXKFEXXKFDKDZYt r:DTTXXYZKDFDZYD且()()TrtEYE YZE ZYZD公式公式3例:假设有函数 在知X1和X2的协方差阵D12时,试求Y对Z的协方差阵DYZ。解：1020YFXFZKXK，1120021120020000XYFXXFFFXXZXKXKKKX1200TYZXXTDFDKFD K故：故：p 协方差传播律小节协方差传播律小节p 求函数也可是向量的方

12、差方差阵；求函数也可是向量的方差方差阵；p 适用于各观测为相关观测情况；适用于各观测为相关观测情况；p 定律的通式为：定律的通式为：0TFFXXFKXKDKDK00TZYXXZKXKYFXFDKDF假假设设那那么么假假设设那那么么三、非线性函数的情况三、非线性函数的情况 设有观测值 的非线性函数为 ： 知X的协方差阵DXX。 求Z的方差阵DZZ。 处理这类问题的关键是 必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致的方式! 故，如何将非线性函数线性化，是我们先要处理的。 X1n12()(,)nZfXfXXXv 非线性函数的线性化 假设函数 在 的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，那么

13、在该邻域内 的泰勒公式为 丈量平差中，非线性函数线性化的方法是按泰勒级数展开，并取其零次项和一次项，二次以上各项舍去，即200000( )00()( )()()()()2!()()!nnfxf xf xfxxxxxfxxxn0 x( )f x( )f x000( )()()()f xf xfxxx 再来看多个变量的函数 的情况 或者为 之所以可以舍去二次以上项，是由于当 非常接近 时，上式中二次以上 各项都很微小，故可略去！12( ,)nf x xx0000012120110221200( ,)(,)() ()() ()() ()(nnnnfff x xxf xxxxxxxxxfxxx二次以上

14、项）0000012120110221200( ,)(,)() ()() ()() ()nnnnfff x xxf xxxxxxxxxfxxx0 xx120000001201102201200000001020120102012121 1220( ,)(,)() ()() ()() ()()()()(,)()()()nnnnnnnnnf x xxffff xxxxxxxxxxxxffffffxxxf xxxxxxxxxxxxK xK xK xf令故，可表达为故，可表达为v以上即为非线性函数线性化后方式。以上即为非线性函数线性化后方式。令：令：那么：那么：故可以按前推出公式得：故可以按前推出公式得

15、：以上就是求非线性函数协方差的方法。以上就是求非线性函数协方差的方法。.()(). ()(.)()nnnniiifffKKKKxxxfkf xxxxx1200012000001201112200.nnzK XK XK xkKXkTZZXXDKDK公式公式4120000001201102201200012010201200012120102012( ,)(,)() ()() ()() ()(,)()()()( ,)(,)()()()(nnnnnnnnnf x xxffff xxxxxxxxxxxxffff xxxdxdxdxxxxffff x xxf xxxdxdxdxxxxfdz0102012

16、1122)()()nnnffdxdxdxxxxdzk dxk dxk dxkdxn也可以：也可以： 假设令： 那么将展开后的函数式写为： 不难看出，上式是非线性函数式的全微分。 同理，可以得到函数Z的方差为.(.)iiiTnndxxxdxdxdxdxdzzzzf xxx012000012()().()nnfffdzdxdxdxxxxKdX0102012TZZXXDKDKv运用协方差传播律的计算步骤：运用协方差传播律的计算步骤：v1 1按要求写出函数式；按要求写出函数式；v2 2假设是非线性函数式，那么先对函数式求全假设是非线性函数式，那么先对函数式求全微分；微分；v3 3将函数式或微分关系式写

17、成矩阵方式将函数式或微分关系式写成矩阵方式有时要顾及单位的一致；有时要顾及单位的一致；v4 4运用协方差传播律公式求方差或协方差阵。运用协方差传播律公式求方差或协方差阵。例：如下图导线, A为知点，0为AB方向的方位角， 为观测角，其方差为4.0()2，观测边长S为600.00 m，其方差为0.5cm2， 试求C点的点位方差。 点位方差为点位方差为 解：解：1列函数式，列函数式， 由图知由图知: 00sin,cosSYYSXXACAC2线性化线性化 dSdSdYdSdSdXCC0000cossinsincos3运用协方差传播公式可得坐标方差计算式运用协方差传播公式可得坐标方差计算式202222

18、022sincosSXsc202222022cossinSYsc4 计算点位方差计算点位方差 2222222220202222020222284.00.4*20626510*00.6005.0cossinsincoscmSSYXssCcc3-3 3-3 协方差传播律的运用协方差传播律的运用一、水准丈量的精度一、水准丈量的精度 函数式函数式那么由协方差传播律得那么由协方差传播律得即即利用这公式的前提是：设各测站观测高差是等精度独立观利用这公式的前提是：设各测站观测高差是等精度独立观测值！测值！.ABNhhhh1222222.12NNhAB站ABhN站 假设水准道路敷设在平坦地域，设前后两测站间间

19、隔大致相等，那么得： 上式 1.公里是指一公里观测高差的中误差； 2.运用前提是当各测站的间隔大致相等s)。1ABhSNSSss站站站公里二、同精度独立观测值的算术平均值的精度二、同精度独立观测值的算术平均值的精度 算术平均值算术平均值( (函数式为函数式为由协方差传播律知，平均值的方差为由协方差传播律知，平均值的方差为可见：算术平均值的精度提高了。可见：算术平均值的精度提高了。1211111.niNixLLLLNNNN222222221111.1xxNNNNN三、假设干独立误差的结合影响三、假设干独立误差的结合影响 一个观测结果同时遭到许多独立误差的结合影响，一个观测结果同时遭到许多独立误差

20、的结合影响，如：照准误差、读数误差、目的和仪器的偏心误差如：照准误差、读数误差、目的和仪器的偏心误差对测角的影响。即对测角的影响。即那么可以得到：那么可以得到：即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。和。12.Zn 222212.Zn3-4 3-4 权与定权的常用方法权与定权的常用方法 方差是表征精度的一个绝对目的； 自然，方差之间的比例关系也可比较各观测值之间的精度； 表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权，故权是表征精度的相对的数字目的。一、权的定义一、权的定义v 设有观测值Lii=1，2，N的方差为i2，如选任一常数0，那么

21、定义：v v 并称Pi为观测值Li的权。202iiPv不难看出不难看出 权与方差成反比； 权是表征观测值之间的相对精度目的权是不独一的，单个权没意义的； 对同一问题中，为使权能起到比较精度高低的作用，0应取同一定值否那么就破坏了权间的比例关系。例：知两个观测值的中误差为1=2cm、2=4cm，试确定它们的权。解：1设0=2cm， 那么： p1=02/12=1 p2=02/22=1/4。 2设0=1cm，那么 p1=02/12=1/4 p2=02/22=1/16。思索：两种解法，得出怎样结论？思索：两种解法，得出怎样结论？例：一个角度是由两个等精度的方向值之差求得的。知方向值中误差为，求角度及方

22、向值的权。2122222TT得：则：22022022220221122TPT令：则：P解：解：由题意二、单位权中误差二、单位权中误差“单位权的定义：等于单位权的定义：等于1 1的权为单位权。的权为单位权。对应的观测值为单位权观测值；对应的观测值为单位权观测值；对应观测值的中误差称为单位权中误差。对应观测值的中误差称为单位权中误差。0202称为单位权方差。即：所选的称为单位权方差。即：所选的0202值一经选定，就有值一经选定，就有详细含义了详细含义了例：在边角网中，知测角中误差为例：在边角网中，知测角中误差为1.01.0，测边的中误差为，测边的中误差为2.02.0厘米，试确定它们的权。厘米，试确

23、定它们的权。解：设解：设0= =1.00= =1.0 那么由权定义得：那么由权定义得： 2022220221(1 )0.25( /)(2)ssppcmcmv阐明了权有时是由量纲的。阐明了权有时是由量纲的。三、丈量上常用定权的方法举例三、丈量上常用定权的方法举例1.1.水准丈量的权水准丈量的权iiCPS公式中公式中C C的含义：的含义：1 11 1个测站的观测高差权；个测站的观测高差权； 2 2单位权观测高差的测站数。单位权观测高差的测站数。公式的运用前提：公式的运用前提：1 1当各测站的观测高差为同精度时；当各测站的观测高差为同精度时；2 2当每公里观测高差为同精度时。当每公里观测高差为同精度

24、时。iiCPn或例：如下图的水准网，各水准道路长度 分别为设每公里观测高差中误差相等： S1=2.0(km) S2=2.0(km) S3=3.0(km) S4=3.0(km) S5=4.0(km) S6=4.0(km) 试确定各道路 观测高差的权。ADCBh1h6h5h2h4h3解：设取4KM的观测高差为单位权观测(C=4KM)，那么由水准丈量 常用定权公式得： P1=2， P2=2， P3=1.3， P4=1， P5=1， P6=1， v经过上例可知经过上例可知v实践定权时，并不需求知道观测值方差的详细数字，而只需实践定权时，并不需求知道观测值方差的详细数字，而只需知道公里数或测站数就可以了

25、；知道公里数或测站数就可以了；v在同一个问题中，只能选取一个在同一个问题中，只能选取一个C C值，一旦选好就不能再变了；值，一旦选好就不能再变了；v运用常用定权公式时，留意运用前提！运用常用定权公式时，留意运用前提！2 2、同精度观测值的算术平均值的权、同精度观测值的算术平均值的权NPCv运用前提运用前提: n: n次等精度独立反复观测。次等精度独立反复观测。例：设对A角和B角进展观测，A角测了4次，B角测了16次，知A=2.0，求单位权中误差0和B。解：解：1 1设设C=1C=1 那么：那么：PA=4PA=4，PB=16PB=16 因因A=2.0A=2.0，而，而PA=02/A2PA=02/

26、A2 故：故： 02=4 02=4* *4=164=162 2 那么：那么： B2=02/PB=1 B2=02/PB=1222 2设设C=4C=4，那么，那么PA=1PA=1，PB=4PB=4 同上法得：同上法得：02=102=1* *4=44=42 2 B2=02/PB=1 B2=02/PB=122可见：绝对精度是不变的！可见：绝对精度是不变的！3-5 3-5 协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律一、协因数与协因数阵、权阵一、协因数与协因数阵、权阵1.1.协因数：协因数就是权倒数，用协因数：协因数就是权倒数，用QiiQii表示。表示。即：即：2201iiiiiQpiiiQ0v阐明：任一观

27、测值的方差总是等于单位权方差与该观测值协阐明：任一观测值的方差总是等于单位权方差与该观测值协因数权倒数的乘积。因数权倒数的乘积。或：或：2.2.协因数阵协因数阵互协因数相关权倒数互协因数相关权倒数对于两个随机变量之间的互协因数，可表示为对于两个随机变量之间的互协因数，可表示为 ：协因数阵协因数阵QXXQXX 将将t t维随机向量维随机向量X X的方差阵的方差阵DXXDXX，乘以一个纯量，乘以一个纯量因子因子1/ 021/ 02，那么得协因数阵，那么得协因数阵QXXQXX，即：，即：20ijijQ21112222000111212222222200202201ttttXXtttQQQQQQDQ对

28、对称称v关于协因数阵的几点阐明关于协因数阵的几点阐明v协因数阵同协方差阵一样，是一个对称方阵；协因数阵同协方差阵一样，是一个对称方阵；v主对角线元素主对角线元素QiiQii为随机变量为随机变量XiXi的协因数，的协因数，即权倒数；即权倒数；v非主对角线元素非主对角线元素Qij(ijQij(ij那么为那么为XiXi关于关于XjXj的互协因数，是比较观测值之间相关程度的的互协因数，是比较观测值之间相关程度的一种目的。一种目的。3、互协因数阵、互协因数阵对于对于那么有协因数阵那么有协因数阵1() 11tt rrXzYXXXYYXYYQQQQZZ Qv其中非主对角线元素称其中非主对角线元素称X X关于

29、关于Y Y的互协因数阵。的互协因数阵。4 4、权逆阵、相关权逆阵、权逆阵、相关权逆阵称称QXXQXX和和QYYQYY为为X X关于关于Y Y的权逆阵；的权逆阵；QXYQXY为为X X关于关于Y Y的相关权逆阵。的相关权逆阵。5 5、权阵、权阵定义：协因数阵的逆阵为权阵。定义：协因数阵的逆阵为权阵。 即即 PXX=QXX-1 PXX=QXX-1例：知观测向量例：知观测向量L L的协因数阵为：的协因数阵为：试求观测向量试求观测向量L L的权阵的权阵P P及观测值及观测值L1L1、L2L2的权。的权。2112LLQ解：由权阵定义得又由 得观测值的权为112121112123LLLLPQ1211221

30、111,22PPQQ2201iiiiiQpv可见：可见：v1 1观测值的权与权阵中的两个主对角线元素并不一定相等！观测值的权与权阵中的两个主对角线元素并不一定相等！v2 2这时权阵中的各个元素不具有权的意义！这时权阵中的各个元素不具有权的意义！例：例： 设有独立观测值设有独立观测值LiLii=1i=1，2n2n，其方差为，其方差为i2i2，权为，权为PiPi，单位权方差为，单位权方差为0202，写出观，写出观测向量测向量L L的协因数阵以及权阵。的协因数阵以及权阵。2120121112222222202200222010.00.00.00.010.00.00.00.011.00.00.100.

31、00.LLLLnnnnnpQQpQDQp1111111122212210.00.00.00.00.00.0.00.00.00.LLLLnnnnnQpQQpQPQQpQ212220.00.0.00.LLnD解：解：v由此可见：由此可见：v当观测值是独立向量时，其协因数阵以及权阵均为当观测值是独立向量时，其协因数阵以及权阵均为对角阵；对角阵；v这时权阵中主对角线上元素才是对应观测向量的权！这时权阵中主对角线上元素才是对应观测向量的权！v思索：思索：v1、相关观测时，权阵、相关观测时，权阵 PX中主对角线元素中主对角线元素Pii是不是不是观测值是观测值L的权？假设不是的话，的权？假设不是的话，Lii

32、的权又如何求的权又如何求得？得？v2、当观测值独立时，情况又怎样？、当观测值独立时，情况又怎样？例：知观测向量L的权阵为： 求观测值L1、L2、L3的权。321242123Lp1132121012421214123012LQPQQQ11223321421232LLLPPP解：解：v可以看出：当可以看出：当QXXQXX是非对角阵时，不可从权阵中来直接是非对角阵时，不可从权阵中来直接“提取提取权！权！二、协因数传播律二、协因数传播律 知观测向量的协因数阵QLL 求其函数的协因数阵QFF？00;XXYFXFZKXKQ且已知。?YYZZYZQQQv下面由协方差传播律来导出协因数传播律下面由协方差传播律

33、来导出协因数传播律TYYXXDFDF则：2200TTYYXXXXQFDFFQF故：TYYXXQFQF即：v称称“协因数传播律或协因数传播律或“权逆阵传播律。权逆阵传播律。0XXYFXFQ若：,且已知。2020XXXXYYYYDQDQ又因：公式公式5TYYXXTZZXXTYZXXTZYXXDFDFDKDKDFDKDKDF可得：00;XXYFXFZKXKQXX若：且,D 已知。TYYXXTZZXXTYZXXTZYXXQFQFQKQKQFQKQKQFv将以上协方差传播律、协因数传播律合称为将以上协方差传播律、协因数传播律合称为“广义传播律。广义传播律。例：知观测向量X1和X2的协因数 和互协因数 ，

34、 或写为设有函数 试求Y关于Z的协因数 。1122,X XX XQQ12X XQ1112222212,X XX XXXX XX XQQXXQXQQ12YFXZKXYZQ解：解：函数式可写为函数式可写为运用协因数传播律得运用协因数传播律得121200XYFXXZKX1200YZXXTTX XQFQKFQK例：知观测向量 试求函数 的协因数以及权。123210131012TLLLLLP 23sinsinLZL解：非线性函数线性化得：按协因数传播律：那么权为：3131111313223333113122333cossincoscos1cossin()sinsinsinsinsincoscos0sin

35、sinLLLLdZL dLLdLdLdLLLLLdLLLLdLLLdL131312331323cossinsincoscos00sinsinsincossinZZLLLLLLLQQLLLLL1ZZZPQ代入知数据求解即可解1：由题可得运用协因数传播律得由于故有111100()() ()()()TTTTLLLLLLLLKAQ AWAQ AALAAQ AALAQ AA 11111( ()( ()()()()()TTTKKLLLLLLTTTLLLLLLTLLQAQAA QAQAAAQAAQAAQAAQA 11()()()()()TTTVVLLKKLLTTTTLLLLLLTTLLLLLLQQAQQAQ

36、AAQAQAQAAQAAQTLLKIKVQA K1()()TTTKVKKLLLLLLQIQQ AAQ AAQ2先运用协因数传播律求QWW：而：故：那么由：得：求QVW方法一样。TWWLLQAQ A1TLLKAQ AW （）11111TTTKKLLWWLLTTTTLLLLLLLLQAQ AQAQ AAQ AAQ AAQ AAQ A（）（）（） （）（） （）TTTTVVLLKKLLLLLLLLQQ A QQ AQ AAQ AQ AT -1（）（） （）TLLVQA Kv运用协因数传播律的步骤：运用协因数传播律的步骤：1 1按要求写出函数式；按要求写出函数式；2 2假设是非线性函数式，那么先对函数

37、式求全微分；假设是非线性函数式，那么先对函数式求全微分；3 3将函数式或微分关系式写成矩阵方式有时要顾及将函数式或微分关系式写成矩阵方式有时要顾及单位的一致；单位的一致；4 4运用协因数传播律公式求协因数或协因数阵。运用协因数传播律公式求协因数或协因数阵。v几种特例情况独立观丈量几种特例情况独立观丈量1现有独立观测值 ，假定各 的权为 ，那么L的权阵为对角阵其协因数阵也为对角阵iL1nLip120.00.0.00.n nnPPLLPp11122210.00.010.00.0.00.100.n nnnnpQQpLLQpQ可以阐明，独立观丈量的权阵主对角线上元素就是对应的可以阐明，独立观丈量的权阵

38、主对角线上元素就是对应的权！权！2假设有函数 ： Z=fL1，L2，Ln 那么全微分为由协因数传播律展开后得纯量方式为1212.nnfffdZdLdLdLKdLLLL112212222112210.010.0.100.111()(). ()TZZLLnnnnnfpLffffpLQKQ KLLLfpLfffLpLpLp22211221111()().()ZnnfffpLpLpLpv以上为独立观测值权倒数与其函数的权倒数之间的关系式。以上为独立观测值权倒数与其函数的权倒数之间的关系式。通常称之为通常称之为“权倒数传播律。权倒数传播律。3 3知独立观测值知独立观测值LiLii=1i=1，2 2，nn

39、的权均为的权均为P P，试求算，试求算术平均值的权术平均值的权PXPX。12111.nXLLLnnn2111111(.)XpnpppnpXpnpv即算术平均值之权等于观测值之权的即算术平均值之权等于观测值之权的n n倍。倍。4知独立观测值 的权为 ，试求加权平均值的权 。iL(1,2,. )ip in11niiiniiPLXpXp112211(.)nnniiXPLP LP LP2222121211111111(.)nnnXniiiiPPPpPPpPp1nXiipPv即带权平均值的权等于各观测值权之和。即带权平均值的权等于各观测值权之和。3-6.3-6.由真误差计算中误差及实践运用由真误差计算中误差及实践运用一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的根本公式一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的根本公式假设有一组同精度独立观测的真误差为：假设有一组同精度独立观测的真误差为： 那么该组观测的中误差为：那么该组观测的中误差为：12, .,n21niinu思索：求出的是什么量的中误差？思索：求出的是什么量的中误差？ 现