线性代数课件chapter3修

1、第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换与与 线性方程组线性方程组知识点回顾：克拉默法则知识点回顾：克拉默法则结论结论1 1：如果线性方程组：如果线性方程组(1)(1)的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . .（P24 P24 定理定理4 4 ）结论结论1 （逆否命题）（逆否命题） 如果线性方程组无解或有两个不同如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的解，则它的系数行列式必为零. （P24 定理定理4 ）设设11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa x

2、a xba xa xaxba xaxa xb 用克拉默法则解线性方程组的两个条件用克拉默法则解线性方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.用克拉默法则解线性方程组需满足两个条件：用克拉默法则解线性方程组需满足两个条件：(1)方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. 若系数行列式阶数较高，或等于零若系数行列式阶数较高，或等于零 或方程个数或方程个数不等于未知量个数，不等于未知量个数，（1）怎样判别线性方程组是否有解？）怎样判别线性方程组是否有解？（2）若有解，怎样求线性方

3、程组的解？）若有解，怎样求线性方程组的解？一般我们还希望行列式阶数较低一般我们还希望行列式阶数较低1231231232xx2x4xx2x14x4x8x4 用用Gauss消元法求解下面方程组消元法求解下面方程组 引例1231231232xx2x4xx2x14x4x8x4 -4 123123123xx2x12xx2x44x4x8x4 00 123123xx2x12xx2x400 2 12323xx2x13x2x200 恒等式恒等式取取 x3 为自由变量，则为自由变量，则 132345,3322,33 xxxx令令 x3 = c ，则，则 12345332233 cxXxcxc453322.3310

4、 c取取 x3 为自由变量，则为自由变量，则 132345,3322,33 xxxx三种变换：三种变换： 交换方程的次序，记作交换方程的次序，记作 ； 以非零常数以非零常数 k 乘某个方程，记作乘某个方程，记作 ； 一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作倍，记作 . 其逆变换是：其逆变换是：结论：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同逆变换，因此变换前后的方程组同解解.（或称为方程组等价）（或称为方程组等价）在上述变换过程中，实际上只对方程在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数组的系数

5、和常数进行运算，未知数并未参与运算并未参与运算iji k i k jiji k i+k jijik ik j1 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作对调两行，记作 ；ijrr以非零常数以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作乘某一行的所有元素，记作 ； irk 某一行加上另一行的某一行加上另一行的 k 倍，记作倍，记作 .ijrkr 把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”，就，就得到矩阵的初等列变换的定义得到矩阵的初等列变换的定义 矩阵的初等行变换与初等列变矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换

6、换统称为初等变换 初等变换初等变换初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换下面讨论矩阵的初等变换与线性方程组初等变换的关系下面讨论矩阵的初等变换与线性方程组初等变换的关系1231231232xx2x4xx2x14x4x8x4 增广矩增广矩阵阵2124A11214484 214114 228414412rr314 rr1231231232xx2x4xx2x14x4x8x4 123123xx2x12xx2x400 2124A11214484 112121240000 2 12323xx2x13x2x200 212 rr11210322000012323xx2x1

7、3x2x200 112103220000132345,3322,33 xxxx行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.2( 3) r12 r r4510332201330000 行最简形矩阵：行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元这些非零元所在的列的其它元素都为零素都为零.结论：结论： 对原线性方程组施行的变换可以转化为对对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换增

8、广矩阵的变换. 只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，从而再化为行最简形。阶梯形不唯一，但行最简形唯从而再化为行最简形。阶梯形不唯一，但行最简形唯一。一。行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素元素.行最简形矩阵：行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元这些非零元所在的列的其它元素都为零素都为零.1121032200002( 3) r12 r

9、r4510332201330000 3124233ccc4125233ccc100001000000标准形矩阵：标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零元素全为零. 0000100021200211 00000000002100010230 下面形状的矩阵为下面形状的矩阵为(行行)阶梯形矩阵阶梯形矩阵下面形状的矩阵为下面形状的矩阵为(行行)最简阶梯形矩阵最简阶梯形矩阵 0000100001100201 00000000002100010210rm nOEFOO 标准形矩阵由标准形矩阵由m、n、r三个参三个参数完全确定，其中数完全确定，其中 r 就是行阶就是行阶

10、梯形矩阵中非零行的行数梯形矩阵中非零行的行数.任何矩阵任何矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等行变换 有限次初等列变换有限次初等列变换 有限次初等变换有限次初等变换 结论结论有限次初等行变换有限次初等行变换 矩阵矩阵 化为化为 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 步骤：步骤：n 首先使第一行第一个元素为首先使第一行第一个元素为“1”，然后将，然后将其下方同列元素化为其下方同列元素化为“0”；n 再将第二行从再将第二行从 第一个非零元素下方元素第一个非零元素下方元素化为化为“0”，依次类推，直至将矩阵化为阶梯，依次类推，直至将矩阵化为阶梯形矩阵。形

11、矩阵。例例 设设 ，利用初等行变换化为行最简形矩阵利用初等行变换化为行最简形矩阵. 66904460413113123122rrrrrrA 223022304131)3(232rr 00002230413123rr解解 00003/23/21023013221rrr行阶梯形行阶梯形行最简形行最简形 97963422644121121112 9796321132211124121121rr 321r 3433063550022204121132rr 143rr 132rr 31000620000111041211221r243rr 235rr 00000310000111041211 00000

12、31000301104010143rr 342rr 21rr 32rr 练习练习1 97963422644121121112 00000310003011040101练习练习2（接练习（接练习1）r43 cc 00000001000001000001 00000301003001040001 00000301003101041001214ccc 3215334cccc OOOEr形状为形状为AB有限次初等行变换有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等列变换rAB行等价，记作行等价，记作 cAB列等价，记作列等价，记作 二、矩阵之间的等价关系二、矩阵之间的等价关系AB有限次初等变换有限次初等变

13、换AB矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 等价，记作等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性反身性 ；对称性对称性 若若 ， 则则 ；传递性传递性 若若 ，则，则 AAAB, AB BCBAAC定义：由单位矩阵定义：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵.对调单位阵的两行（列）；对调单位阵的两行（列）；(2)以常数以常数 k0 乘单位阵的某一乘单位阵的某一 行（列）；行（列）；(3)以以 k 乘单位阵单位阵的某一乘单位阵单位阵的某一 行（列）加

14、到另一行（列）加到另一 行（列）行（列） 三、初等变换与矩阵乘法的关系三、初等变换与矩阵乘法的关系0000000000000000000011111000000000000000000001111150000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 35rr001000000135cc0010000001(1) (1) 对调单位阵的第对调单位阵的第 i, j i, j 行（列），行（列）， 记作记作 E5(3, 5) E5(3, 5)记作记作 Em( i, j ) Em( i, j )000000000000000001111000k

15、000000000000000001111000k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 3rk 3ck 00001(2)(2)以常数以常数 k0 k0 乘单位阵第乘单位阵第 i i 行（列），行（列）， 记作记作 E5(3(5) E5(3(5) 记作记作 Em(i(k) Em(i(k) 000000000000000001111100k000000000000000000011111k50000000000000000011110100E 50000000000000000011110100E 35rrk35cck000

16、01(3)(3)以以 k k 乘单位阵第乘单位阵第 j j 行加到第行加到第 i i 行行, ,记作记作 E5(3 E5(3，5(k) 5(k) 记作记作 Em(i Em(i，j(k)j(k) 以以 k k 乘单位阵第乘单位阵第 i i 列加到第列加到第 j j 列列 53cck000000000000000000011111k?两种理解！两种理解！ 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。同一种初等矩阵。),(),(1jiEjiE )()(11kiEkiE )(,()(,(1kjiEkjiE 为什么为什么?100001010100001010?10

17、00/1000110000001 kk?1001000110010001 kk回想它们逆变换？再验证如下：回想它们逆变换？再验证如下：111213143 42122232431323334aaaaAaaaaaaaa 3100(2,3)001010E 33 4(2,3)EA 313233321222111213142443aaaaaaaaaaaa 211121122232313233134344100001010aaaaaaaaaaaa 初等变换与矩阵乘法的关系初等变换与矩阵乘法的关系111213143 42122232431323334aaaaAaaaaaaaa 410000010(2,3)0

18、1000001E 3 44(2,3)AE 1114212431132331222323341000001001000001aaaaaaaaaaaa 111421243113231222333423aaaaaaaaaaaa 结论结论( , )mm nEi j A 把矩阵把矩阵A的第的第 i 行与第行与第 j 行对调，即行对调，即 .ijrr( , )nnmAEi j 把矩阵把矩阵A的第的第 i 列与第列与第 j 列对调，即列对调，即 .ijcc( ( )mm nEi kA 以非零常数以非零常数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第 i 行，即行，即 .irk ( ( )nnmAEi k 以非零常数以非零常

19、数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第 i 列，即列，即 .ick ( ( )mnmEij kA 把矩阵把矩阵A第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行，即行，即 .ijrkr ( ( )nnmAEij k 把矩阵把矩阵A第第 i 列的列的 k 倍加到第倍加到第 j 列，即列，即 .jickc 性质性质1 设设A是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，对对 A 施行一次初等行变换，相当于在施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相的左边乘以相应的应的 m 阶初等矩阵；阶初等矩阵；对对 A 施行一次初等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相的右边乘以相应的应的 n 阶初等矩阵

20、阶初等矩阵.口诀：左行右列口诀：左行右列. 333231232221131211aaaaaaaaaA31rr Baaaaaaaaa 131211232221333231B 333231232221131211001010100aaaaaaaaa)3 , 1(E 333231232221131211aaaaaaaaaA2krBaaakakakaaaa 333231232221131211 33323123222113121110000001aaaaaaaaakB)(2(kE 333231232221131211aaaaaaaaaA13rkr Bkaakaakaaaaaaaa 1333123211

21、31232221131211 33323123222113121110010001aaaaaaaaakB)( 1 , 3(kE20082008100010101987654321100001010 720089674200865412008321例例1定理定理1：设：设A 与与 B 为为 矩阵，那么：矩阵，那么： m n1） 的充要条件是存在的充要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P ，使得，使得 PA=BArBm2） 的充要条件是存在的充要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q ，使，使得得 AQ=BAcBn3） 的充要条件是存在的充要条件是存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P及及 阶可逆矩阵阶可逆

22、矩阵 Q ，使得，使得 PAQ=BABmn根据根据“左行右列左行右列”原则，注意到初等矩阵是可逆原则，注意到初等矩阵是可逆的，的，且可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，可得且可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，可得 OOOEArnm根据根据“左行右列左行右列”原则和原则和“等价标准形定理等价标准形定理”得一些有用的推论：得一些有用的推论：推论推论1存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵 和和sPPP,21 OOOEQQAQPPPrts2112tQQQ,21使得使得在推论在推论 1 中如果中如果 A 可逆可逆, 右边的标准形是什么？右边的标准形是什么？EQQAQPPPts 2112111111 QQPPAts注意

23、到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得注意到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得 推论推论2方阵方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使，使 A = P1 P2 , Pl 推论推论2 方阵方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl，使，使 A = P1 P2 , Pl 这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵. 其实，可其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵推论推论3 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 .r

24、AE四、初等变换的应用四、初等变换的应用11120 lAAAP PP当当时时，A A可可逆逆，也也可可逆逆。由由，有有11, lA APP AE 1 AE. )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对112 lP PP EA以以及及1 lPP A E11,llPPAPPE. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563

25、020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换例例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可逆，则可逆，则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 31100640

26、2023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即可得即可得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换),)( ,(),1TTTTCAECA （行变换行变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得矩阵方程矩阵方程 AX=B (假设假设 A 可逆可逆)，如何求

27、解？，如何求解？1 ABAX1 , XEBArBAX1 则则1 A1 BAXXA=B (假设假设 A 可逆可逆) ？ TrTTXEBA BXATTTBXA 2 矩阵的秩矩阵的秩 , .m nA 任任何何矩矩阵阵总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行变变换换把把它它变变为为行行阶阶梯梯形形，中中非非零零行行的的行行数数是是唯唯一一行行阶阶梯梯形形矩矩确确定定的的阵阵一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩问题：问题：怎样求任意矩阵的秩？怎样求任意矩阵的秩？ 064212100321A比如：比如： 在矩阵在矩阵 A 中中, 任取任取 k 行行 k 列列, 位于这些行列交点位于这些行列交点上的元素按原次序

28、构成的上的元素按原次序构成的 k 阶行列式阶行列式, 称为称为 A 的的 k 阶阶子式子式. 132212210101A12002221122121001132121011例如例如等等等等, 它们都是二阶子式它们都是二阶子式.等等等等, 它们都是三阶子式它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式每一个元素都是一阶子式. 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 在矩阵在矩阵 A 中中, 任取任取 k 行行 k 列列, 位于这些行列交点位于这些行列交点上的元素按原次序构成的上的元素按原次序构成的 k 阶行列式阶行列式, 称为称为 A 的的 k 阶阶子式子式. 定义定义2 设矩阵设矩

29、阵 A 不等于零的子式的不等于零的子式的 最高阶数为最高阶数为 r ，即：存在即：存在 r 阶子式不为零，任何阶子式不为零，任何 r+1 阶子式都为零，阶子式都为零，则：数则：数 r 称为矩阵称为矩阵 A 的秩，记作的秩，记作R(A),或秩或秩(A).r全全为为零零不不全全为为零零1 r如下图如下图222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩阵矩阵 A 的一个的一个 3 阶子式阶子式111213212223313233aaaaaaaaa矩阵矩阵 A 的的 2 阶子式阶子式 如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 2 阶子式都等于零，那么这个阶子式都等

30、于零，那么这个 3 阶子式也阶子式也等于零等于零 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 064212100321A例例012132 因有二阶子式：因有二阶子式：所有三阶子式都为零，所有三阶子式都为零，( )2 R A故故 074212100321B，有三阶子式有三阶子式01742210321: 无四阶子式，无四阶子式，( )3R B显然，显然，若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) 若矩阵若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则 R(A) s ；若矩阵若矩阵 A 中所有中所有 t 阶子式等于零，则

31、阶子式等于零，则 R(A) t 若若 A 为为 n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A 的的 n 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A| 当当|A|0 时，时， R(A) = n ; 可逆矩阵又称为满秩矩阵可逆矩阵又称为满秩矩阵 满秩矩阵需满足两个条件：满秩矩阵需满足两个条件：当当|A| = 0 时，时， R(A) n ; 不可逆矩阵又称为降秩矩阵不可逆矩阵又称为降秩矩阵R(AT) = R(A) ( )AnAn 为为 阶阶方方阵阵，且且R R，矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式TD 矩阵矩阵 AT 的一个的一个 2 阶子式阶子式111213142122232431323334aaaaAaa

32、aaaaaa 12132223aaaaD AT 的子式与的子式与 A 的子式对应相等，从而的子式对应相等，从而 R(AT) = R(A) 112131122232132333142434TaaaaaaAaaaaaa 12221323aaaa例例1.174532321的秩的秩求矩阵求矩阵 A解解中，中，在在 A，阶子式只有一个阶子式只有一个的的又又AA3. 03221 ，且且0 A. 2)( AR例例2 2，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223

33、 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR例例3.00000340005213023012的秩的秩求矩阵求矩阵 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一个行阶梯形矩阵，是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零阶子式全为零的所有的所有B, 0400230312 而而. 3)( BR还存在其还存在其它它3 3 阶非阶非零子式吗？零子式吗？解（续）：解（续）：B 还有其它还有其它 3 阶非零子式，例如阶非零子式，例如203012800421203518003 2020156003 结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数2103203125000

34、4300000B 1. 规定零矩阵的秩等于零。规定零矩阵的秩等于零。一些特殊矩阵的秩一些特殊矩阵的秩NoImage2.() nR En3. 非零行阵，列阵的秩等于非零行阵，列阵的秩等于1。),0321( A如如( )1 R A111 m nR个个r4. 标准形标准形() R Dr“1”的个数。的个数。nmrnrjnjjnjjjaaaaaaaaaArrr 000000000000000022211112215. 阶梯形矩阵阶梯形矩阵( ) R Ar其中，其中，),2 , 1(0riaiij 非零行的行数。非零行的行数。以后常用！以后常用！ 00000540005430054321A例如例如( )

35、3R A 012400430431 所有四阶子式为零。所有四阶子式为零。一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的 .行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数. .一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.两个等价的矩阵的秩是否相等？两个等价的矩阵的秩是否相等？（二）、矩阵秩的计算（二）、矩阵秩的计算定理定理1 （P.67） 初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。BA初等变换初等变换即即( )( )R AR B 则则证明略证明略

36、求矩阵秩的求矩阵秩的 初等变换法：初等变换法：A经有限次初等变换经有限次初等变换B=阶梯形矩阵阶梯形矩阵或或A经有限次初等变换经有限次初等变换F=标准形矩阵标准形矩阵有有 R(A)=R(B)B中非零行行数中非零行行数有有 R(A)=R(F) F中中“1”的个的个数数常用常用建议只用行变换建议只用行变换做初等变换，做初等变换，对矩阵对矩阵 510231202231A例例2另解另解,000031202231510231202231 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2， . 2 AR一定要化成阶梯形，不易出错。一定要化成阶梯形，不易出错。,0212012 aaaA, 2)( Ar练习练习 设

37、矩阵设矩阵 (1) 若若 则则 a =_.(2) 若若_;, 3)( aAr则则解解 )2(00002010212012aaaaaaA(1)解法解法1:由由)2(|2 aaA0 20 aa或或解法解法2:20 aa或或(2) 最好用解法最好用解法22 a一般：一般：r(A)=2 |A|=0否则，要将否则，要将a=0带入带入A排除。排除。分析：对分析：对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯的行阶梯形矩阵为形矩阵为 ，则，则 就是就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出中同时看出R(A)及及 R(B) 例：设例：设 ，求矩

38、阵，求矩阵 A 及矩阵及矩阵B = (A, b) 的秩的秩1221124802, 2423336064Ab ( , )BA b A 解：解：1221112211248020021024233000013606400000rB R(A) = 2R(B) = 3例：求矩阵例：求矩阵 的的秩，并求秩，并求 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式32050323612015316414A 解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A) = 3 第二步求第二步求 A 的最高阶非零子式选取

39、行阶梯形矩阵中非零行的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列的第一个非零元所在的列0161041004000B 0325326205161rA , ,与之对应的是选取矩阵与之对应的是选取矩阵 A A 的第一、的第一、二、四列二、四列3205016414323610431120153000481641400000rA 00325161326041205004161000rAB R(A0) = 3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式3253256113266011216025205205 因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式如

40、何求矩阵的秩及其中一个最高阶非零子式如何求矩阵的秩及其中一个最高阶非零子式 ？)0(000000000000000000 0 如何求矩阵的秩及其中一个最高阶非零子式如何求矩阵的秩及其中一个最高阶非零子式 ？ 02646131202aA.02646131202的秩的秩求矩阵求矩阵 aA 20202646131a aaa62320246606131,66220041106131Baa ,1,( )2;aBR A所所以以 当当时时 阶阶梯梯形形矩矩阵阵有有两两行行不不为为零零1,( )3.aR A当当时时例例解解注意：在化阶梯形矩阵的过程中，注意：在化阶梯形矩阵的过程中， 不要作参数在分母的分数运算

41、！不要作参数在分母的分数运算！矩阵的秩的重要的性质矩阵的秩的重要的性质 若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若若 A B，则，则 R(A) = R(B) 若若 P、Q 可逆，则可逆，则 R(PAQ) = R(A) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特别地，当特别地，当 B = b 为非零列向量时，有为非零列向量时，有R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若若 Amn Bnl = O，则，则 R(A)R(B)n (5)的证明的证明:( )( )ARR

42、AR BB只证只证 OTA1r OTB2r阶梯形阶梯形1( )R AT 的的行行数数2( )R BT 的的行行数数阶梯形阶梯形考虑转置考虑转置 ()()( )( )TTTTAR ABRR AR BR AR BB)()(21的行数的行数的行数的行数TT ( )( )R AR BARB 以上行以上行BAO1T2TO(6)()( )( )R ABR AR B证证BABBAc ( )( )R ABBR ABR AR B例例: 设设A为为n阶方阵阶方阵, 证明证明R(A+E)+R(AE) n .证明证明: 因为因为(A+E)+(EA)=2E, 由性质由性质6知知,R(A+E)+R(EA)R(2E)=n,

43、而而R(EA)=R(AE), R(A+E)+R(AE) n .所以所以3 线性方程组的解线性方程组的解3.3 线性方程组的解线性方程组的解(1) 如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？(2) 如何求方程组的通解？如何求方程组的通解？(3) 根据方程组解的判别定理，进行理论证明。根据方程组解的判别定理，进行理论证明。 25262428323 243214214321421xxxxxxxxxxxxxx解方程组解方程组例例1 0000000000541003102125121620428312131021rA( )( )R AR A ( )( )R AR

44、 A 问问:此时此时 其含义是其含义是( )( )2R AR Ar 独立独立(或有效或有效)方程的个数。方程的个数。以下问题针对以下问题针对 的一般方程组来回答。的一般方程组来回答。bxAnm 问：自由变量的个数问：自由变量的个数 =即未知数的个数减去独立方程的个数（矩阵的秩）。即未知数的个数减去独立方程的个数（矩阵的秩）。24 rn问：何时有无穷多解？何时有唯一解？问：何时有无穷多解？何时有唯一解？ 543243421xxxxx 5410031021当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当没有自由变量时有唯一解。即当当没有自由变量

45、时有唯一解。即当 时，时，有无穷多解，当有无穷多解，当 时有唯一解。时有唯一解。( )( )R AR An ( )( )R AR An 2142,xcxc令令11221324223 45 xccxcxcxc 通解通解121234213100045010 xxxccxx 即即 543243421xxxxx线性方程线性方程组的通解组的通解对于非齐次方程组对于非齐次方程组)0( bbxAnm如果如果 ，则无解；，则无解；( )( )R AR A 如果如果 ，则有解；，则有解；( )( )R AR A 当当 时，有唯一解；时，有唯一解；( )( )R AR An 当当 时，有无穷多解时，有无穷多解.(

46、 )( )R AR An ( , )AA b 定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 Ax = b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 定理：线性方程组定理：线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) 对于齐次方程组对于齐次方程组0 xAnm当当 时，有唯一的零解；时，有唯一的零解；nAr )(当当 时，有无穷多解，即有非零解。时，有

47、无穷多解，即有非零解。nAr )(分析：因为对于分析：因为对于 AX = 0 必有必有 R(A, 0) = R(A) ，所以可从，所以可从 R(A) 判断齐次线性方程组的解的情况判断齐次线性方程组的解的情况定理：定理：n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件有非零解的充分必要条件是是 R(A) n 例例2求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 341122121221A 46304630122113122rrrr 解解 对系数矩阵对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形施行初等行变换化为最简阶

48、梯形: 00003/42101221 00003/42103/520123rr 212rr 000046301221231r 写出等价方程组并移项写出等价方程组并移项: 432431342352xxxxxx2413,cxcx 令令写出参数形式的通解写出参数形式的通解,再改写为向量形式再改写为向量形式: 2413212211342352cxcxccxccx通解通解.103/43/50122214321 ccxxxx即即其中其中21,cc为任意实数。为任意实数。例：求解非齐次线性方程组例：求解非齐次线性方程组12341234123412342 2, 2 4,46224,36979.xxxxxxxx

49、xxxxxxxx 2111210104112140110346224000133697900000rB 解：解：R(A) = R(A, b) = 3 4，故原线性方程组有无穷多解，故原线性方程组有无穷多解2111210104112140110346224000133697900000rB 解（续）：解（续）：写出与原方程组同解的方程组写出与原方程组同解的方程组令令 x3 做自由变量，则做自由变量，则 方程组的通解可表示为方程组的通解可表示为 132344,3,3.xxxxx 132344,3,3.xxxxx 123414131003xxcxx 3xc 令令例：求解非齐次线性方程组例：求解非齐次

50、线性方程组12341234123423 1,3 532,2 223.xxxxxxxxxxxx 123111231131532 054012122300002rB 解：解：R(A) = 2，R(A, b) = 3 ，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解例：设有线性方程组例：设有线性方程组问问 l 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1) 唯一解；唯一解；(2) 无解；无解；(3) 有无有无限多个解？并在有无限多解时求其通解限多个解？并在有无限多解时求其通解123123123(1) 0,(1) 3, (1).xxxxxxxxx 定理：定理：n 元线性方程组元线性方程组 AX = b无解的充

51、分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n 11101113111B 解法解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵11101113111 1311111131110rr 2131(1)111030(2)(1)rrrr 321110300(3)(1)(3)rr 附注：附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1， l

52、 +3 等因式可能等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或（或 l +3 = 0）的情况）的情况另作讨论另作讨论 2111rr 2(1)r 3(3)r 11101111113 0311100(3)(1)(3)rB分析：分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l 取何值时，取何值时，r2 、r3 是非零行是非零行在在 r2 、r3 中，有中，有 5 处地方出现了处地方出现了l ，要使这，要使这 5 个元素等于零，个元素等于零， l = 0，3，3，1 实际上

53、没有必要对这实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从方程个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手组有唯一解入手11101111113 0311100(3)(1)(3)rB于是于是当当 l 0 且且 l 3 时，时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解，有唯一解当当 l = 0 时，时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解，无解当当 l = 3 时，时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解，有无限多解11101113111B 解法解法2：因为系数矩阵：因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是分必要条件是 |A| 0 2111|111(3)11