机械振动和机械波三

1、 ),(txyy )cos( tAyOuxt )(cosuxtAyP )(costtAyP)cos( tAyO )(cos uxtAy)(2cos xTtAy)(2cos xtAy)cos( kxtAy ux 2T2 uuT )(cos uxtAy ux)(2cos xTtAy)(2cos xtAy)cos( kxtAy /2 kOxyAu即即。)( )2(t Acos )( cos11tyxxutAy 。该。该质点振动的初相质点振动的初相: 或或 1ux 12x tyOA。 xtAy2cos1即即xyOux1x2 。)2()2(2121 xtxt 2212 xx12xx )(cosuxtAy

2、 若若 , ,则则 (k=0 1 2 3) ,说明说明若若,则则 ,yxuOyxuOt时刻时刻tt 时刻时刻x。 )()(cosutuxttA )(cosuxtAy tttuxtxttuu 例题1 一波源以s0.04cos2.5t(m)的形式作简谐振动，并以100m.s-1的速度在某种介质中传播。试求：波动方程；在波源起振后1.0 s，距波源20m处质点的位移及速度。 解：(1)根据题意，波动方程为(2)在x=20m处质点的振动为)(2 . 0(5 . 2cos04. 0mts)(100(5 . 2cos04. 0mxts在波源起振后1.0s,该处质点的位移为)(1045 . 2cos04.

3、02ms该处质点的速度为0).(0 . 2sin04. 05 . 2)2 . 0(5 . 2sin1smtAdtdsv由此可见，质点的振动速度与波的传播速度是两个完全不同的概念。例2 设波方程为0),2005 . 0(cos2txs式中，x及s以厘米计，以t秒计。试求其振幅、波长、波速、周期及波的传播方向。解：将波动方程写成标准形式。)4100(2cos2xts则振幅为:A=2cm波长为：=4cm周期：T=1/=1/100=0.01s波速为 u=1004=400cm.s-1)(2cos xTtAy2 00 v,y00 xt yAO 2)0.20.2(2cos)0.1( mxstmy 0 tm0

4、 . 2 m0 . 1 As0.2 Tx)msin(m)0.1(1 s0 . 1 t)m(2cosm)0 . 1(1xy s0.1 t2)m0 . 2s0 . 2(2cosm)0 . 1( xtyom/ym/x2.01.0-1.0 s0.1 tm5 . 0 x)scos(m)0 . 1(1 ty2)m0 . 2s0 . 2(2cosm)0 . 1( xty m5 . 0 x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234*1234m5 . 0 x1.0Vmdd dV)(sinddduxtVAmEK 2 22 22 22 22 21 12 21 1当平面简谐波波传到此当平面简谐波波传到此d dV

5、V 时，体积元时，体积元为：为：)(cosuxtAy kpdEuxtAVE )/(sin)( 2 22 22 22 21 1dd由介质体积元形变产生的由介质体积元形变产生的：2 22 21 1)d(dykE pVmdd dV)(cosuxtAy 2 22 21 1)d(ddyxYSE pxYSkd/ 2 22 21 1 xyVYEddpxSVdd uxtuAxysin 2 2uY )/(sin)(uxtAVEEE 2 22 22 2ddddkp振动过程中总能量守恒振动过程中总能量守恒波动的能量随波动过程变化波动的能量随波动过程变化. .动能和势动能和势能在位移为零处同时达到最大能在位移为零处同

6、时达到最大, , 总能量总能量也同时达到最大也同时达到最大, ,并随波动向波的传播并随波动向波的传播方向运动方向运动. .2 2 tx, ， )(sinE222uxtAV22021d1AtTT )(sinE222uxtAV uSPI IuTSuuAI2221 uSASuP2221 uTuSSuTSuTP )cos(tAy)cos(uxtAy振动和波动的联系与区别振动和波动的联系与区别振动波动区别方程 只具有时间周期性(T)。特征量A、和和。在空间没有能量的传播。振子的机械能守恒。振子的动能和势能相互转化，不能时时相等。方程既具有时间周期性(T)，又具有空间的周期性() )。除特征A、，还有，还

7、有在空间有能量的传播。各质点的机械能不守恒。各质点的动能和势能时时相等。联系振动是基础，波动是振动的延续。没有振动就没有波。谐波中每个质点都作简谐振动。机械振动和机械波都离不开弹性力。振动和波都无质量的迁移。惠更斯于1690年解释波的传播时提出：介质中波前上每一点都可以作为独立的波源,发出球面子波,这些子波的包迹就是新的波前.3-6 波的叠加原理和干涉一、波的叠加原理1、惠更斯原理 ttt tur r u 2 2、波传播的独立性：、波传播的独立性：两列波在某区域相遇两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰扰. . 3 3、波的叠加性：

8、、波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振动的合成为二波单独在该点引起的振动的合成. .（沿相反方向传播的两列波的叠加为例）（沿相反方向传播的两列波的叠加为例）二、波的干涉二、波的干涉(interference of wave)1o2op1r2r1o)cos(11010 tAy2o)cos(22020 tAy1op2op)2cos()(cos1111111 rtAurtAy)2cos()(cos2222222 rtAurtAy)(2cos21212212221rrAAAAA )2cos()2cos()2sin()2sin(tan22211122211

9、1 rArArArA 12122rr )cos(21 tAyyy21AAA ，A 12122rr ）（,.3,2, 1 ,0 2 kk )(2cos21212212221rrAAAAA 21AAA )(2)(1212rr ,.3 , 2 , 1 , 0)12( kk )(2)(1212rr 2 A1=A2，A=0， 21AAA 21AAA )(2cos21212212221rrAAAAA 12rr 21 2 21AAA 21AAA ,2, 1 ,02)12( kk 2121AAAAA , 2, 1 , 022 kk 3223)(2212 rr 21212221cos2AAAAAAA 1r,2r

10、例例2、 如图所示如图所示,两列相干波在两列相干波在p点相遇点相遇.一列波在一列波在B点点的振动为的振动为 ; 另一列波在另一列波在C点的点的振动为振动为 ； BP=0.45m, CP=0.30m.波的传播速度为波的传播速度为0.20m/s,求求p点的合振动的点的合振动的振动方程振动方程. 3103 10cos2()yt SI 32013 10cos(2)()2ytSI 解解:在在p点引起的分振动点引起的分振动.3133 10cos2 ()93 10cos2 ()4xytut3233 10cos2 ()23 10cos2 (1.5)2xytut12cos(2)yyyAt则:其中:2212122

11、12cos()AAAA A1122112sinsinarctancoscosAAAA结果请同学们代入自行运算. 如图所示，如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波两点为同一介质中两相干波源源.其振幅皆为其振幅皆为5cm，频率皆为，频率皆为100Hz，但当点，但当点 A 为波为波峰时，点峰时，点B 恰为波谷恰为波谷.设波速为设波速为10m/s，试写出由，试写出由A、B发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时干涉的结果时干涉的结果.解解15m20mABPm25m201522BPm10. 0m10010u 设设 A 的相位较的相位较 B 超前，超前，则则 .BA2011 . 0152522APB

12、PAB点点P 合振幅合振幅021AAA求：求：12 mu2510 krr 21 k)xl (x)(522mkklx x0l5,4,3,2,1 ,0 k10,9,8,7,6,5 x0,1,2,3,4)(mmAA04. 021 l1s2sxxl 、1s2sml10 mAA02. 021 Hz5 021 smu/10 51021 mlrrl1s2s1r2rl2)12( kl4 1s2p1p1r1r2r2r1p2p0422)(21212 rr )4(22)(21212rr12AA 0 A2s 2s1s2 21AA 4 l*三、驻波三、驻波(Standing wave )当两列频率相同、振动方向相同、传播方向相反的波相遇时产生所谓驻波.考虑两列波分别为方程中的正负号表示了传播方向上的不同. )(2cos1xTtAy)(2cos2xTtAy运用三角叠加公式,得到将上述公式看成两项 和TtxAyyy2cos2cos221xA2cos2Tt2cos其中第一项与时间无关,并且存在一些空间点使第一项为0.第二项与空间位置无关,位移是时间的余弦函数.两者的乘积表明：在某些位置有最大振幅,这些位置的位移随时间做余弦式改变. 在另一些位置,质点位移永远为零.波腹与波节波腹与波节在上述讨论中我们看到：两列相对传播的波相遇时一些点可以有最大位移,这些可以出现最大位