第二节 不定积分的换元积分法ppt课件

1、设设),()(ufuF 那么那么 CuFduuf)()(原式原式 )()()()(xdxfdxxxf CxF )( )(xu 令令第二节第二节 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法设设)(uf具具有有原原函函数数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式凑微分法）第一类换元公式凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf观察重点不同，所得结论形式不同观察重点不同，所得结论形式不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1例例1 1 求求.2sin xdx解一）解

2、一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解二）解二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解三）解三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 例例2. 求求 dxbaxf)().1(d)(mxbxam解解: 令令,bxau那么,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当当1m时bxaxdCbxaaln1注意换回原变量一般地一般地 baxuduufa)(1221d1( )xaxa例例3. 求求.d22xax解解:22dxax,a

3、xu 令那么xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan( )xa例例4. 求求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2d1 ( )xaxa)(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2d( )1 ( )xaxaCax arcsin22dxax例例5. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似Caxaxaln21例例6. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa

4、21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(d a21ax lnax lnCaxax)( d常用的几种配元形式: 1)()df axbx()f axb)(dbxa a112)()dnnf xxx)(nxfnxdn113)()dnf xxx)(nxfnxdn1nx1万能凑幂法4)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsind5)(cos )sin dfxxx )(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)62)(tan xfxtandxfxxde )(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(ln xfxlnd例7. 求.)ln21

5、 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例8. 求.de3xxx解解: 原式原式 =xxde23)3d(e323xxCx3e32例例9. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例例10. 求求.e1dxx解法解法1xxe1dxxxxde1e)e1 (xdxxe1)e1 (dxCx)e1ln(解法解法2 xxe1dxxxde1exxe1)e1 (dCx)e1ln()1(elne)e1ln(xxx两法结果一样两法

6、结果一样xxxsindsin11sin1121例例11. 求求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同样可证同样可证xxdcscCxxcotcscln或或xxdcscCx2tanln解法解法1 dxxsin1 xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdx

7、Cx 2tanln解法解法2 dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx Cxx cotcscln例例12 12 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 例例13 13 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 例例14 14 求求.)11(12dxexxx 解解,

8、1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例15 15 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx.)12(121)32(1212323Cxx 222d)(2123xax例例16. 求求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC例例17 17 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxx

9、cos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx )2cos2cos21 (241xx 例例18 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C例例19 19 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin

10、42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例20 20 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 解解例例21 21 设设 求求 . .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1

11、cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 例例22 22 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx xxxxe11e1xxxxxdedexxxde) 1(例例23. 求求.d)e1 (1xxxxx解解: 原式原式= xxxxxxxd)e1(ee)1()e1 (e1xxxx)e(d)e11e1(xxxxxx)e1 (eee1xxxxxxxx)e(dxxxxelnxxe1lnCCxxxxe1lnln分析分析: 例例24. 求

12、求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dxxxxd) 1(1102. 求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d

13、10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101问题问题dxxf )(解决方法解决方法令令)( tx ,)( dttdx dxxf)(dtttf )()( 二、第二类换元法二、第二类换元法设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 那那么么Ct )(原原式式Cx )(1 难求，怎么办难求，怎么办?CxF)()()()(ttft定理2 . 设)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中

14、txxt证证:的原函数为设)()(ttf, )(t令 )()(1xxF那么)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf则有换元公式例例1. 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax那么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2ax22axa21 cos2d2tat例例2 2 求求解解).0(122 adxax令令taxtan t

15、dtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax 122lnCaaxax 2,2t.)ln(22Caxx )ln(1aCC例例3 3 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例4. 求求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),

16、0(,sec2ttax那么22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当

17、被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换换外还可用双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换或双曲代换并不是绝

18、对的，需三角代换或双曲代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例5 5 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解例例6 6 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx说明说明(4)(4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用倒代换

19、可采用倒代换.1tx 例例7 7 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解法二法二dxxx )2(17dtxxxx )2()2(21777 dxxxdxx22112176.|2|ln141|ln217Cxx )2(2114112177xdxdxx例例8 8 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2221)1(121dtt

20、t )1(11121222tdttCtt 2322)1(311.1311322Cxxxx 原式21) 1(22ta221a例例9. 求求.d422xxxa解解: 令令,1tx 那么txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0时当 x42112tta Cata2223) 1(23 当 x 0 时, 类似可得同样结果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta说明说明(5)(5) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数） lkxx,ntx n例例10 10 求求

21、.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 基基本本积积分分表表(2)(2);seclncoslntan)16(CxCxxdx ;cscln.sinlncot)17(CxCxxdx ;tanseclnsec)18( Cxxxdx;cotcsclncsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24

22、(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax .32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC例例11. 求求例例12. 求求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212例例13. 求求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x2521xCx512arcsin例例14. 求求.1ed2xx解解: 原式原式xx2e1edCxarcsine例15. 知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 两边求导两边求导, 得得)(5xfx,12xx那么1dd)(24xxxxx

23、f)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原变量代回原变量) 三、小结三、小结两类积分换元法：两类积分换元法： （一凑微分（一凑微分（二三角代换、倒代换、根式代换（二三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)思考题思考题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 思考题解答思考题解答dxxxxd)ln1()ln( dxxxxp)1(ln)ln( )ln()ln(xxdxxp 1,lnln1,1)ln(1pCxxpCpxxpxxxd11) 132备用题 1.

24、求下列积分:) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin52. 求不定积分求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法利用凑微分法 ,xx22sin2sin1原式 =)sin1 (d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111 (22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得得分子分母同除以3.求不定积分求不定积分解解:.d1)1 (122xxx令,sintx ,sin1122txttxdco

25、sd 原式ttttdcos)sin1 (cos2ttdsin112t2costttandtan2112tttand)tan2(112221Ct )tan2arctan(21Cxx212arctan21ttttdtansecsec222一、一、 填空题：填空题：1 1、 若若CxFdxxf )()(而而)(xu 则则 duuf)(_；2 2、 求求 )0(22adxax时，可作变量代换时，可作变量代换_ _，然后再求积分；，然后再求积分；3 3、 求求 dxxx211时可先令时可先令 x_；4 4、 dxx_)1(2xd ；5 5、 dxex2_ _ _ _)1(2xed ；6 6、 xdx_ _ _ _ _)ln53(xd ；练练 习习 题题7 7、 291xdx = =_ _ _ _ _)3arctan(xd；8 8、 21xxdx_ _ _ _ _)1(2xd ；9 9、 dtttsin_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 222xadxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 求求下下列列不不定定积积分分： （第第一一类类换换元元法法）1 1、 dxxaxa； 2 2、 )ln(lnlnxxxdx；3 3、 221.1tanxxdxx； 4 4、 xxeedx；5 5、 dxxx321