2025-2026学年硚口区九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年硚口区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．将一元二次方程2x2＝4x﹣1化为一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数，常数项分别是（）A．4，﹣1 B．﹣4，2 C．2，1 D．﹣4，13．关于二次函数y＝4x2与y＝﹣4x2，下列说法错误的是（）A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称4．已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a的值是（）A．﹣5 B．﹣1 C．4 D．55．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（）A．﹣4＜x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣2 C．﹣2＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜06．把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30° B．60° C．90° D．150°7．已知m，n是方程x2+3x+c＝0的两个实数根，若m+n﹣2mn＝c，则c的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．38．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+32＝102 B．（10﹣x）2+32＝x2 C．x2+32＝（10﹣x）2 D．x2+（10﹣x）2＝329．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转50°得到对应△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AE∥BC，则∠CAD的大小是（）A．10° B．12° C．15° D．17°10．如图（1），在Rt△ABC中，∠B＝90°D是边AB上的定点．点E从点B出发，以每秒1个单位长度依次沿BC，CA两边匀速运动，运动到点A时停止．设点E运动的时间为t秒，以DE为边的正方形面积为S，S关于t的函数图象如图（2）所示，点P是其中一段曲线的最低点．图（2）中m的值是（）A．10 B．14 C．16 D．18二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么常数c的值为．12．关于x的方程x2+4x+p＝0有两个不相等的实数根，写出一个正整数p的值是．13．把点P（2，4）绕原点O逆时针旋转90°，则点P的对应点的坐标是．14．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间增加10x元，宾馆的利润为y元，则y与x之间的函数关系式是．15．抛物线y＝x2+bx+c经过A（m，1），B（n，1）两点，其中m＞n＞0．下列五个结论：①c＞1；②b＜0；③若m﹣n＝4，则抛物线的最低点的纵坐标为﹣3；④若m，n是关于x的方程bx2+cx﹣1＝0的两个实数根，则bc＝b+1；⑤若点（1，y1）（3，y2）在抛物线上，且y2≥y1，则0＜m+n≤4．其中正确的是（填写序号）．16．如图，在锐角等腰△ABC中，AB＝AC，M，N分别是边AB，AC上的动点，连接MN．若AM＝CN，AB＝10，S△ABC＝30，则MN的最小值是．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．18．（8分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？19．（8分）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，点B，C，D在一条直线上，连接AD，BE．（1）求证：AD＝BE；（2）△EBC可以看作是△DAC经过变换得到的（填“平移”、“轴对称”或“旋转”），并用数学语言写出具体的变换过程．20．（8分）某班数学小组对函数y＝ax2+b|x|的图象和性质进行了探究．探究过程（1）根据自变量x的取值范围是全体实数，列表写出了x与y的部分对应值：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…50﹣3﹣4﹣30﹣3﹣4﹣305…（2）根据表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线，画函数图象．探究应用（1）请在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（2）直接写出a，b的值；（3）该函数的对称轴是；当x＜﹣2时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）；（4）关于x的方程ax2+b|x|﹣m＝0有四个实数根，直接写出m的取值范围．21．（8分）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点都在格点．（1）在图（1）中，点D在边AC上，先画△ABC的中线CE，再连接BD，并画线段BD绕点E旋转180°的对应线段AF；（2）在图（2）中，先画△ABC的高AH，再画线段AH绕点A逆时针旋转90°的对应线段AM．22．（10分）某校组织跳长绳体育锻炼．某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综合实践活动．研究背景甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分．建立方法以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．收集信息摇绳时，甲，乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是10m，手柄A，B离地面的高度AO，BC都是1m．当绳子上D点与原点O的水平距离是1m时，其离地面的高度是1.45m．学生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子比其头顶至少高0.1m．建立模型求该抛物线的解析式．应用模型（1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为2.2m，能否让他参加跳绳活动？请说明理由；（2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是1.7m，要求小组相邻成员之间的水平距离不低于0.4m，不超过0.6m，直接写出同时跳绳人数t的取值范围．23．（10分）如图（1），点O在正方形ABCD内，连接OA，OB，OC，OD，OA＝OD．（1）求证：OB＝OC；（2）若∠AOD＝135°，探究OC与OA的数量关系，并给出证明；（3）如图（2），若∠AOD＝150°，求∠BOC的大小．24．（12分）如图（1），抛物线C的顶点坐标为（2，4），与x轴交于原点O和点A．（1）直接写出抛物线C的解析式以及点A的坐标；（2）点B在抛物线C上，设点B的横坐标为m，m＞4，连接AB，OB，若△ABO中有一个角为45°，求m的值；（3）将抛物线C向下平移2个单位长度得到抛物线C1，如图（2），直线y＝kx﹣k（k＞0）交抛物线C1于点F，H（F在H左边），过点H的直线l交抛物线C1于另一点Q，直线FQ与直线x＝1交于点K．设原点O到直线l的距离为h，若S△HFQ＝2S△HKQ，求h的最大值．

2025-2026学年硚口区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADAABBCCCD一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A是中心对称图形，B，C，D不是中心对称图形．故选：A．2．将一元二次方程2x2＝4x﹣1化为一般形式后，二次项系数为2，则一次项系数，常数项分别是（）A．4，﹣1 B．﹣4，2 C．2，1 D．﹣4，1【解答】解：将原方程转化为一般形式得2x2﹣4x+1＝0，∴一次项系数为﹣4，常数项为1．故选：D．3．关于二次函数y＝4x2与y＝﹣4x2，下列说法错误的是（）A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点坐标相同 D．两函数图象关于x轴对称【解答】解：如图所示，，显然只有A选项符合题意．故选：A．4．已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a的值是（）A．﹣5 B．﹣1 C．4 D．5【解答】解：已知点A（a，1）与点B（5，b）关于原点对称，则a＝﹣5．故选：A．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（）A．﹣4＜x＜﹣3 B．﹣3＜x＜﹣2 C．﹣2＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（0，0）和（1，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣3，0）之间，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解的范围为﹣3＜x＜﹣2或0＜x＜1．故选：B．6．把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30° B．60° C．90° D．150°【解答】解：∵360°÷6＝60°，∴旋转的角度是60°的整数倍，∴旋转的角度至少是60°．故选：B．7．已知m，n是方程x2+3x+c＝0的两个实数根，若m+n﹣2mn＝c，则c的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3【解答】解：∵m、n是方程x2+3x+c＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣3，mn＝c，则c＝m+n﹣2mn＝﹣3﹣2c，∴3c＝﹣3，∴c＝﹣1．故选：C．8．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+32＝102 B．（10﹣x）2+32＝x2 C．x2+32＝（10﹣x）2 D．x2+（10﹣x）2＝32【解答】解：设竹子折断处离地面的高度x尺．由题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，故选：C．9．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转50°得到对应△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AE∥BC，则∠CAD的大小是（）A．10° B．12° C．15° D．17°【解答】解：∵将△ABC绕顶点A顺时针旋转50°得到对应△ADE，∴∠BAD＝∠CAE＝50°，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB=12∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝50°，∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝65°﹣50°＝15°．故选：C．10．如图（1），在Rt△ABC中，∠B＝90°D是边AB上的定点．点E从点B出发，以每秒1个单位长度依次沿BC，CA两边匀速运动，运动到点A时停止．设点E运动的时间为t秒，以DE为边的正方形面积为S，S关于t的函数图象如图（2）所示，点P是其中一段曲线的最低点．图（2）中m的值是（）A．10 B．14 C．16 D．18【解答】解：∵函数图象过点（0，2），此时点E在点B处，∴S＝DB2＝2，∴DB=2∵点E运动到点C时，∴S＝DC2＝6，∴DC=6∵∠B＝90°，∴BC＝2，∵点E运动到点A时，运动时间为8，点E的速度为每秒1个单位长度，∴BC+AC＝8，∴AC＝6，∴AB=62-2∴AD＝42-2=∴m＝AD2＝18，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．如果2是方程x2﹣c＝0的一个根，那么常数c的值为4．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0，得4﹣c＝0，解得c＝4．故答案为4．12．关于x的方程x2+4x+p＝0有两个不相等的实数根，写出一个正整数p的值是3（答案不唯一）．【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+p＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即42﹣4p＞0，解得p＜4，∴p的值可以是3（答案不唯一），故答案为：3（答案不唯一）．13．把点P（2，4）绕原点O逆时针旋转90°，则点P的对应点的坐标是（﹣4，2）．【解答】解：如图，由图可得，把点P（2，4）绕原点O逆时针旋转90°，点P的对应点P'的坐标是（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．14．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间增加10x元，宾馆的利润为y元，则y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x2+340x+8000．【解答】解：由题意，∵每个房间增加10x元，∴定价为180+10x元，空闲房间数为x个，出租房间数为（50﹣x）个．又∵单个房间利润＝定价﹣支出费用，∴单个房间的利润＝（180+10x）﹣20＝160+10x．∴总利润＝单个房间利润×出租房间数，即y＝（160+10x）（50﹣x）．∴y＝﹣10x2+340x+8000．故答案为：y＝﹣10x2+340x+8000．15．抛物线y＝x2+bx+c经过A（m，1），B（n，1）两点，其中m＞n＞0．下列五个结论：①c＞1；②b＜0；③若m﹣n＝4，则抛物线的最低点的纵坐标为﹣3；④若m，n是关于x的方程bx2+cx﹣1＝0的两个实数根，则bc＝b+1；⑤若点（1，y1）（3，y2）在抛物线上，且y2≥y1，则0＜m+n≤4．其中正确的是①②③⑤（填写序号）．【解答】解：抛物线与y轴交点为（0，c），由于抛物线开口向上，且A（m，1）B（n，1）在抛物线上（m＞n＞0），顶点纵坐标小于1，但c的取值无法直接确定（例如，若抛物线过（0.5，1）、（1.5，1）解析式为y＝x2﹣2x+1.75，c＝1.75＞1），因此结论①正确；抛物线的对称轴为x=-b2，因为A、B关于对称轴对称，且m＞n＞0，所以对称轴x=m+n2＞0，即-b2若m﹣n＝4，则A、B到对称轴的距离均为2，对称轴为x＝n+2＝m﹣2，抛物线解析式可表示为y＝（x﹣n﹣2）2+k，代入B（n，1）得：1＝（n﹣n﹣2）2+k，即1＝4+k，解得k＝﹣3，抛物线的最低点（顶点）纵坐标﹣3，结论③正确；若m，n是方程bx2+cx﹣1＝0的根，由根与系数的关系得m+n=-cb，mn=-1b，又因为A（m，1）、B（n，1）在抛物线y＝x2+bx+c上，所以m2+bm+c＝1，n2+bn+c＝1，两式相减得（m﹣n）（m+因为m≠n，所以m+n+b＝0，即m+n＝﹣b，结合m+n=-cb，得﹣b=-cb，即c＝b2，此时bc＝b•b2＝b3，而b+1抛物线对称轴为x＝m+n2，点（1，y1）、（3，y2）在抛物线上，且y2≥y1，因为抛物线开口向上，所以|3-m+n2|≥|1-m+n2|，平方化简8﹣2（m+n）≥0，即m又因为m＞n＞0，所以0＜m+n≤4，结论⑤正确．故答案为：①②③⑤．16．如图，在锐角等腰△ABC中，AB＝AC，M，N分别是边AB，AC上的动点，连接MN．若AM＝CN，AB＝10，S△ABC＝30，则MN的最小值是10．【解答】解：作CD⊥AB于D，NE⊥AB于E，则EN∥CD，∴AEAD∵S△ABC＝30，∴12AB⋅CD=∵AC＝AB＝10，∴CD＝6，在Rt△ADC中，AD=AC∵AC＝AB，AM＝CN，∴BM＝AN，设BM＝AN＝x，AM＝10﹣x，∴AE8∴AE=45x，EN=∴ME＝AE﹣AM=45x﹣（10﹣x）=95在Rt△MEN中，MN2＝EN2+ME2＝（35x）2+（95x﹣10）2=9025（x﹣5∴当x＝5时，MN2的最小值为10，∴MN的最小值为10．故答案为：10．方法二：解：过点A，N分别作MN，AB的平行线，并交于点D，作射线CD，∴四边形AMND是平行四边形，∴AD＝MN，ND＝AM，当AD⊥CD时，AD最小，线段MN也有最小值，∵AM＝NC，ND＝AM，∴ND＝NC，∴∠NCD＝∠NDC，∴∠AND＝2∠ACD，∵ND∥AB，∴∠BAC＝∠AND，∴∠BAC＝2∠ACD，作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，∵AB＝AC＝10，∴∠BAE＝∠CAE，BE＝CE，∴∠BAC＝2∠CAE，∴∠CAE＝∠ACD，∵S△ABC＝30，∴12AB⋅CF=∵AC＝AB＝10，∴CF＝6，∴AF=AC∴BF＝10﹣8＝2，∴BC=BF2∴CE=1∵当AD⊥CD时，线段MN有最小值，∴此时∠ADC＝∠AEC＝90°，∠CAE＝∠ACD，AC＝CA，∴△ACD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE=10∴MN的最小值为10．故答案为：10．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，开方得：x﹣2＝±11，∴原方程的解是：x1＝2+11，x2＝2-18．（8分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），答：每个支干长出9个小分支．19．（8分）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，点B，C，D在一条直线上，连接AD，BE．（1）求证：AD＝BE；（2）△EBC可以看作是△DAC经过旋转变换得到的（填“平移”、“轴对称”或“旋转”），并用数学语言写出具体的变换过程．【解答】（1）证明：∵△ABC，△ECD都是等边三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．（2）解：△EBC可以看作是△DAC经过旋转变换得到，△DAC绕点C逆时针旋转60°得到△EBC．20．（8分）某班数学小组对函数y＝ax2+b|x|的图象和性质进行了探究．探究过程（1）根据自变量x的取值范围是全体实数，列表写出了x与y的部分对应值：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…50﹣3﹣4﹣30﹣3﹣4﹣305…（2）根据表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线，画函数图象．探究应用（1）请在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（2）直接写出a，b的值；（3）该函数的对称轴是y轴（或直线x＝0）；当x＜﹣2时，y随x的增大而减下（填“增大”或“减小”）；（4）关于x的方程ax2+b|x|﹣m＝0有四个实数根，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）如图，（2）把（2，﹣4），（1，﹣3）分别代入y＝ax2+b|x|得4a+2b=-解得a＝1，b＝﹣4，（3）根据函数图象可得该函数的对称轴是y轴（或直线x＝0）；当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；故答案为：y轴（或直线x＝0），减小；（4）当直线y＝m与函数y＝ax2+b|x|的图象有4个交点时，关于x的方程ax2+b|x|﹣m＝0有四个实数根，所以m的范围为﹣4≤m＜0．21．（8分）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的顶点都在格点．（1）在图（1）中，点D在边AC上，先画△ABC的中线CE，再连接BD，并画线段BD绕点E旋转180°的对应线段AF；（2）在图（2）中，先画△ABC的高AH，再画线段AH绕点A逆时针旋转90°的对应线段AM．【解答】解：（1）如图，取AB的中点E，连接CE，则CE即为所求．如图，连接BD，连接DE并延长，交经过点B的水平网格线于点F，连接AF，则线段AF即为所求．（2）如图，AH即为所求．取点B绕点A逆时针旋转90°得到的点B'，取点C绕点A逆时针旋转90°得到的点C'，连接B'C'，过点A作B'C'的垂线，交B'C'于点M，则AM即为所求．22．（10分）某校组织跳长绳体育锻炼．某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综合实践活动．研究背景甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分．建立方法以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．收集信息摇绳时，甲，乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是10m，手柄A，B离地面的高度AO，BC都是1m．当绳子上D点与原点O的水平距离是1m时，其离地面的高度是1.45m．学生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子比其头顶至少高0.1m．建立模型求该抛物线的解析式．应用模型（1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为2.2m，能否让他参加跳绳活动？请说明理由；（2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是1.7m，要求小组相邻成员之间的水平距离不低于0.4m，不超过0.6m，直接写出同时跳绳人数t的取值范围．【解答】解：建立模型：由题意得，甲摇绳机A坐标：（0，1），乙摇绳机B坐标：（10，1），D点坐标：（1，1.45），∵A、B纵坐标相同，∴对称轴为直线x=0+102∴可设抛物线顶点式为y＝a（x﹣5）2+k．又∵图象过A（0，1），D（1，1.45），∴1＝25a+k，且1.45＝16a+k．∴a＝﹣0.05，k＝2.25．∴y＝﹣0.05（x﹣5）2+2.25．应用模型：（1）由题意得，绳子高度≥小明头顶高度+0.1m，∴y≥2.2+0.1＝2.3m．∵顶点（5，2.25），最高高度为2.25m，∴2.25＜2.3．∴绳子最高处仍低于安全要求高度．∴小明不能参加跳绳活动．（2）由题意得，绳子高度≥1.7+0.1＝1.8，∴令y＝﹣0.05（x﹣5）2+2.25＝1.8．∴x＝2或x＝8．∴有效跳绳水平范围：2≤x≤8，总长度为8﹣2＝6m．由题意，间隔数为t﹣1，需满足0.4≤6∴11≤t≤16（t为整数）．23．（10分）如图（1），点O在正方形ABCD内，连接OA，OB，OC，OD，OA＝OD．（1）求证：OB＝OC；（2）若∠AOD＝135°，探究OC与OA的数量关系，并给出证明；（3）如图（2），若∠AOD＝150°，求∠BOC的大小．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BAO＝∠CDO，∴△ABO≌△DCO（SAS），∴OB＝OC；（2）解：结论：OC=3OA证明：如图（1），过点O作OE⊥AD于点E，交BC于点F，在线段AE上截取EG＝EO，连接OG，设OE＝EG＝x，则OG=2x，∠OGE＝∠GOE＝45∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠BCD＝90°＝∠DEF，∴OF⊥BC，四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝AD，CF＝DE，∵OA＝OD，∴AE＝DE，∠AOE＝∠DOE=12∠∵∠AOD＝135°，∴∠AOE＝67.5°，∠OAE＝22.5°，∴∠AOG＝∠AOE﹣∠GOE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠AOG＝∠OAE，∴AG＝OG=2x∴AE＝AG+EG＝（2+1）x，EF＝AD＝2AE＝2（2+1）∴OF＝EF﹣OE＝（22+1）x在△AOE中，OA2＝OE2+AE2＝x2+[（2+1）x]2＝（4+22）x2在△OCF中，OC2＝OF2+CF2＝[（22+1）x]2+[（2+1）x]2＝（12+62）x∴OC2∵OC＞0，OA＞0，∴OCOA∴OC=3OA（3）解：如图（2），过点O作OE⊥AD于点E，交BC于点F，在线段AE上取点G，使AG＝GO，连接OG，则∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝150°，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝15°，∴∠OGE＝∠AOG+∠OAG＝30°，∵∠OEG＝90°，∴OG＝2OE，设OE＝y，则OG＝2y＝AG，EG=3y∴AE＝（2+3）y＝BF，EF＝AB＝BC＝AD＝2（2+3）∴OF＝EF﹣OE＝（3+23）y，∴OB2＝OF2+BF2＝[（3+23）y]2+[（2+3）y]2＝（28+163）y2又BC2＝[2（2+3）y]2＝（28+163）y2∴OB＝BC，在△COD和△BOA中，CD=BA∠CDO=∠BAO=75°∴△COD≌△BOA（SAS），∴OC＝OB，∴OB＝O