同济大学高等数学D几何应用学习教案

1、同济大学同济大学(tn j d xu)高等数学高等数学D几何应几何应用用第一页，共53页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 定积分(jfn)的元素法一、什么一、什么(shn me)问题可以用定积分解决问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第六六章 第1页/共53页第二页，共53页。表示(biosh)为niiixfU10)(lim1) 所求量 U 是与区间(q jin)a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd

2、)(niiixf10)(lim定积分定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量 ;第2页/共53页第三页，共53页。第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零(hu zhng wi lng) , 以常代以常代变变” 求出局部量的求出局部量的微分(wi fn)表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共53页第四页，共53页。四、四、 旋转体的

3、侧面积旋转体的侧面积(min j) (补充补充)三、已知平行截面三、已知平行截面(jimin)面积函数的面积函数的 立体体积立体体积一、一、 平面平面(pngmin)图形的面积图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在几何学上的应用 第六六章 第4页/共53页第五页，共53页。1. 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)情形情形设曲线(qxin)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为 A ,右下图所示图形面

4、积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd第5页/共53页第六页，共53页。22,xyxy在第一(dy)象限所围所围图形(txng)的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共53页第七页，共53页。xxy22oy4 xyxy22与直线(zhxin)的面积(min j) . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图

5、形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有yyyd42A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共53页第八页，共53页。abxoyx12222byax解解: 利用利用(lyng)对称性对称性 , xyAdd所围图形(txng)的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxd第8页/共53页第九页，共53页。oyxababoyx)()(tytx给出时,按顺时针方

6、向规定(gudng)起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形(txng)面积21d)()(tttttA机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(1axt对应)(1bxt对应第9页/共53页第十页，共53页。)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面(pngmin)图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2第10页/共53页第十一页，共5

7、3页。,0)(, ,)(C设求由曲线(qxin)(r及,射线围成的曲边扇形(shn xn)的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共53页第十二页，共53页。对应(duyng) 从 0 变解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 到 2 所围图形面积 . 第12页/共53页第十三页，共53页。ttadcos82042所围图形(txn

8、g)的面积(min j) . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a心形线 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共53页第十四页，共53页。2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a与圆所围图形(txng)的面积 . 解解: 利用利用(lyng)对对称性称性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共53页第十五页

9、，共53页。a2sin2a所围图形(txng)面积 . 解解: 利用利用(lyng)对称性对称性 ,2cos22ar d2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积(min j)为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462a机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox44答案答案:第15页/共53页第十六页，共53页。定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线(zhxin)段的最大边长 0 时,折线的长度(chngd)趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的

10、弧长 ,即并称(bn chn)此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称第16页/共53页第十七页，共53页。sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(yun s)(弧微分) :xxxdxyd12因此(ync)所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共53页第十八页，共53页。)()()(ttytx弧长元素(yun s)(弧微分) :因此(ync)所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(d

11、dyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共53页第十九页，共53页。)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此(ync)所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(yun s)(弧微分) :(自己验证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共53页第二十页，共53页。)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(shxxshxch机动 目录(ml

12、) 上页 下页 返回 结束 cxbboy下垂(xi chu)悬链线方程为第20页/共53页第二十一页，共53页。ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共53页第二十二页，共53页。)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动(jdng)

13、目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2第22页/共53页第二十三页，共53页。d222aa相应(xingyng)于 02一段的弧长 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P364 公式(gngsh)39)212a21ln2102)412ln(24122aa小结 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共53页第二十四页，共53页。设所给立体垂直于x 轴的截面(jimin)面积为A(x), ,)(baxA在则对应(duyng)于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xa

14、bxxxd)(xA上连续,第24页/共53页第二十五页，共53页。xyoabxyoab)(xfy 2)(xf轴旋转一周围成的立体(lt)体积时,有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑(kol)连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共53页第二十六页，共53页。ayxb12222byax所围图形(txng)绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积(tj). 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxa

15、ab0a234aboaV02xy d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 x第26页/共53页第二十七页，共53页。tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体(qit)的体积.343a机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第27页/共53页第二十八页，共53页。xyoa2)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形(txng)分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕绕 x 轴旋转轴旋转(xunzhun)而成的体积为而成的体积为xyVaxd202

16、利用对称性利用对称性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay机动 目录 上页 下页 返回 结束 )2(tu 令第28页/共53页第二十九页，共53页。xyoa2a)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意(zh y)上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注注 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 )(

17、1yxx 第29页/共53页第三十页，共53页。分部(fn b)积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d )sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用(lyng)“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226第30页/共53页第三十一页，共53页。a2柱壳体积(tj)xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积(min j)xyxd2)cos1 ()sin(tayttax机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td

18、02第31页/共53页第三十二页，共53页。偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共53页第三十三页，共53页。轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()()(xfy 在 x0 时为连续(linx)的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周(y zhu)所成旋转体体积 ,证明(zhngmng):. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytx

19、xd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第33页/共53页第三十四页，共53页。并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系,则圆的方程(fngchng)为垂直于x 轴 的截面(jimin)是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .机动 目录 上页 下页 返回

20、 结束 oRxyx第34页/共53页第三十五页，共53页。oRxy此时(c sh)截面面积函数是什么 ?如何用定积分(jfn)表示体积 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页/共53页第三十六页，共53页。abzxyco垂直(chuzh) x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby1222222czbyax所围立体(lt)(椭球体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别当 a = b = c 时就是球体体积

21、 .)(axaaV02x233axx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积.第36页/共53页第三十七页，共53页。ox1 2yBC3A132xy与 x 轴围成的封闭(fngb)图形绕直线 y3 旋转(xunzhun)得的旋转(xunzhun)体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxd)4(322122第37页/共53页第三十八页，共53页。xyoab设平面(pngmi

22、n)光滑曲线, ,)(1baCxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分(jfn)后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoab)(xfy abx第38页/共53页第三十九页，共53页。xyo)(xfy abxsySd2d侧面积(min j)元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线(qxin)由参数方程)()()(ttytx给出,则它绕 x 轴旋转一周(y zhu)所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)

23、()(22S机动 目录 上页 下页 返回 结束 侧面积为第39页/共53页第四十页，共53页。xRyo上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得(su d)的球台的侧面积 S .解解: 对曲线对曲线(qxin)弧弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式24 RS机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x2xozyx第40页/共53页第四十一页，共53页。一周(y zhu)所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用利用(lyng)对对称性称性2022Sta3sin22 ttasinc

24、os32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转(xunzhun) 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 taytax33sin,cos第41页/共53页第四十二页，共53页。taytax33sin,cosa星形线是内摆线(bi xin)的一种.t点击图片点击图片(tpin)任意处任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆(d yun)半径 Ra小圆半径4ar 参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)第42页/共53页第四十三页，共53页。1. 平面(pngmin)图形的面积边界(binji)方

25、程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A机动 目录 上页 下页 返回 结束 第43页/共53页第四十四页，共53页。baxxAVd)(旋转体的体积(tj)2)(yxA绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积(min j)sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4

26、4页/共53页第四十五页，共53页。1.用定积分表示图中阴影(ynyng)部分的面积 A 及边界长 s .提示提示(tsh): 交点为交点为, ) 3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y) 32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 第45页/共53页第四十六页，共53页。)()(222bRRbyx绕 x 轴oxyRbR上上半圆(bnyun)为22xRby y22xRx下下222)(xRb

27、222)(xRbRV02xdbR222求体积(tj) :提示提示:方法方法1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .第46页/共53页第四十七页，共53页。RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222说明说明(shumng): 上式可变形为上式可变形为2RVb2d2bR 20机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). dd2bRV第47页/共53页第四十八页，共53页。oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用(lyng)对称性RS2b2S机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 上式也可写成d2bR20上