(完整版)高中导数经典知识点及例题讲解

1、11.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义.2. 会求给定函数在某个区间上的平均变化率课前热身一，一、,y1.函数 f(x)在区|HX1,X2上的平均变化率为不；=_X，一，y2.平均变化率另一种表小形式：设x=xX。，则丁X数 y=f(x)从 X0到 x 的平均变化率.答fX2fx11.x2-X1案fxo+Axfxo2.AX名师讲解1.如何理解x,y 的含义X 表示自变量 X 的改变量，即X=X2-X1；y 表示函数值的改变量，即y=f(X2)f(X1).2.求平均变化率的步骤求 函 数 y=f(x) 在 X1,X2 内 的 平 均 变 化 率 . 先 计 算

2、 函 数 的 增 量y=f(X2)f(X1).计算自变量的增量X=X2-X1.yf(3)得平均变化率:=-x对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确.如函数 y=sinx 在区可0,兀上的平均变化率为 0,而在.兀 io0,于上的平均变化率为一2=.2 兀兀7-。在平均变化率的意义中，f(X2)f(X1)的值可正、可负，也可以为零.但XX2-X10.1.1变化率与导数X2fX1X2X12典例剖析题型一求函数的平均变化率例 1 一物体做直线运动，其路程与时间 t 的关系是 S=3t-12.(1)求此物体的初速度；(2)求 t=0 到 t

3、=1 的平均速度.分析 t=0 时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量S=S(1)-S工、一 S(0)，再求时间改变重 At=1-0=1.求冏奇就可以得到平均速度.r 十 S3tt,解(1)由丁 v=-=一 t=3-1.当 t=0 时，v=3,即为初速度.(2)S=S(1)S(0)=3X1-12-0=2t=1-0=1-S2_-V-t-厂2.从 t=0 到 t=1 的平均速度为 2.误区警示本题 1 不要认为 t=0 时，S=0.所以初速度是零.变式训练 1 已知函数 f(x)=X2+x 的图像上一点(一 1,2)及邻近一点一，一y(一+x,-2+Ay),则=()Z.AxB.3Ax(x)

4、2D.3-x解析y=f(1+x)f(1).2._=一(一+x)+(一+x)(一 2)=一(x)2+3Ax.，2.yx+3Ax二7=Ax+3xx答案题型二平均变化率的快慢比较.、一，.兀、.兀.兀、一.例 2 求正弦函数 y=sinx 在 0 到之间及；到 5 之间的平均变化率.并比A.3-2C.3-(X)3632较大小.分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小.，一、一，.Tt一一解设 y=sinx 在 0 到 gZ 间的变化率为 k，贝 U4sinsin03ki=7t7t6-0兀一,兀y=sinx 在二到亏之|可的平均变化率为 k2,32兀兀3sin万-siny1-*32

5、求贝 Uk2=兀兀兀2一耳百7t,332-柬3J3-1-kik2=0,kik2.7t7t3.兀一兀、一.、答：函数 y=sinx 在 0 到云之 1 可的平均变化率为一，在；至；之|可的平均变6 兀 32e*.32-V3 口 332-V3化率为，且一*兀兀7t.兀、一、变式训练 2 试比较余弦函数 y=cosx 在 0 到之|可和到方之间的平均变332化率的大小.兀coscos0解设函数 y=cosx 在 0 到卷间的平均变化率是 ki,则 ki=3Tt302TT函数 y=cosx 在圭 U 支问的平均变化率是 k2,327t7tcos2co3贝 Uk2=兀兀23=一兀率.3-kik2=。2T

6、tkik2.一.兀.兀.兀函数 y=cosx 在 0 到=之|可的平均变化率大丁在或到间的平均变化332题型三平均变化率的应用2例 3 已知一物体的 E 动万程为 s(t)=t+2t+3,求物体在 t=I 到 t=i+t 这段时间内的平均速度.56，、一一，一、，一s分析由物体 E 动万程与出位移变化量s奇解物体在 t=1 到 t=1+这段时间内的位移增量守s(1+s(1)=(1+)+2(1+3-(12+2X1+3)=()2+4A.t物体在 t=1 到 t=1+这段时间内的平均速度为,2一sAt+4AtTrA!=4+A变式训练 3 一质点作匀速直线运动，其位移 s 与时间 t 的关系为s(t)

7、=t2+1,该质点在2,2+t(t0)上的平均速度不大丁 5,求 At 的取值范围.解质点在2,2+t上的平均速度为s2+ts2v=t2+At2+122+1At乂 v5,.4+t5.t0,At 的取值范围为(0,1.1.1 函数的单调性与极值1.1.2 导数的概念自学引导1. 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景.2. 了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数.4At+tAt2-=4+t.73. 掌握函数 f(x)在某一点 X0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点 X0处的导数.课前热身1.瞬时速度.设物体的运动方程为 S=S(t)，如果

8、一个物体在时刻 to时位丁 S(to),在时刻 to+At这段时间内，物体的位置增量是S=S(to+At)S(to).那么位置增量 AS 与时间增量t的比，就是这段时间内物体的即 3=Sto+AtStoAt.当这段时间很短，即t 很小时，这个平均速度就接近时刻 to的速度.t 越小，G 就越接近丁时刻 to的速度，当tT0 时，这个平均速度的极限 v=limtToASSto+AtSto,=lim 就是物体在时刻 to的速度即为.to2.导数的概念.设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义，xo(a,b),当 Ax 无限趋近 0 时,比值孚=fxo*:f从无限趋近丁一个常数 A,这个常数 A

9、 就是函数xx答案1.平均速度瞬时速度fxo+Axfxo2.limx-oX名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量S=S(t+At)S(t)；S(2)求平均速度 v=京；f(x)在点 x=xo处的导数，记作 f(xo)或 y|x=xo.用符号语言表达为(xo)=limXT8S求极限 lim 胡=hmAtT0AtT02.导数还可以如下定义fX0+XfX0lim7xXT0y.,、，一，、，=lim 丁.我们称匕为函数 y=f(x)在 x=x处的导数.i 己作 f(x)或 y|x=xXT0XT03.对导数概念的理解(1) “导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们

10、数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义.(2)某点导数即为函数在这点的变化率.某点导数概念包含着两层含义：_y,_ylim 及存在，则称 f(x)在 x=X0处可导并且导数即为极限值；lim2XXXT0XT0不存在，则称 f(X)在 x=X0处不可导.(3)x 称为自变量 x 的增量，x 可取正值也可取负值，但不可以为 0.(4)令 x=X0+x,得x=X-X0,丁是fXfX0f(X0)=lim 与正义中的 f(X0)=limX-X0、XTX0AXT0fX0+XfX0、rI意义相同.典例剖析St+AtStAt若极限存在，则瞬时速度Sv=lirn.tT

11、0股地，函数 y=f(x)在 x=X0处的瞬时变化率是,yfX0+XfX0X0,即 f（X0）=lim=lim；v1AxxX4.求函数y=f(x)在点 X。处的导数的步骤求函数的增量：y=f(x+x)f(X0)；(2)求平均变化率：岂=fX0+匕fX;-,y(3)取极限，得导数：f(X0)=lim 以一xXT09题型一物体运动的瞬时速度12例 1 以初速度 v(V00)竖直上抛的物体，t 秒时局度为 s(t)=vt2gt,求物体在时刻 t处的瞬时速度.一一、s,分析先求出 As,再用定乂求奇，当 Att0 时的极限值.10解s=V0(t0+At)2g(t0+t)2(vd0-2gt2)=(V0g

12、t0)t2g(At)2,.s.1.取=V0-gt0-2gt.、s,.当tT0时，云 V0gt0.故物体在时刻 t。处的瞬时速度为 V0gt0.规律技巧瞬时速度 V 是平均速度 V 在 Att0 时的极限.因此,V=limV=limtT0AtT0sJT.变式训练 1 一作直线运动的物体， 其位移 s 与时间 t 的关系是 s=5t-t2,求此物体在 t=2 时的瞬时速度。22解s=5(2+t)(2+t)-(5X2-2).、2=t(t)2,ss=lim(1-At)=1.t0物体在 t=2 时的瞬时速度为 1.题型二求函数在某点处的导数例 2 求函数 y=顼 X 在 x=1 处的导数.分析根据导数的

13、定义求导数是求函数的导数的基本方法.解法 1y=寸 1+x1,y廿 1+x1xx-x 一x 寸 1+x+1_1寸 1+x+1.y11lim-=lim=.x寸 1+x+12.一1yIx=1=2.解法 2(先求导数，再求导数值)=1t.V=limt0L 也,11_1x+计山.，11-y=lim-/=-r.”ojx+对2X，,1.y|x=1=2规律技巧求函数 y=fx 在 x=xo处的导数有两种方法：一是应用导数定义；二是先求导数再求导数值.、，1,变式训练 2 利用定义求函数 y=x+了的导数，并据此求函数在 x=1 处的导数.解x.,.、1,1、y=(x+Ax)+iTx(x+x).y=limXT

14、o=lim1-xXTo=1-4.x1-y|x=1=12=o.x=x,7xx+x题型三导数的应用例 3 某物体按照 s(t)=3t2+2t+4 的规律作直线运动，求自运动开始到4s 时，物体运动的平均速度和 4s 时的瞬时速度.分析解答本题，可先求自运动开始到 ts 时的平均速度 v(t)及函数值的增量 As,自变量的增量t,再利用公式求解即可.解自运动开始到 ts 时，物体运动的平均速度 V(t)=旦，=3t+2+4yx+尸yX,京Ax12-4故刖 4 秒物体的平均速度为 v(t)=3X4+2+二=15.413由丁s=3(t+At)2+2(t+At)+4-(3t2+2t+4)2=(2+6t)t

15、+3(t)2,s_.,.奇=2+6t+3At.s.lim2+6t.tAtT0.4s 时物体的瞬时速度为 2+6X4=26.规律技巧导数的物理意义：1若已知位移 s 与时间 t 的函数关系 s=st速度 v=sto；2若已知速度 v 与时间 t 的函数关系 v=vt加速度 a=vto.变式训练 3 竖直上抛一小球，其位移与时间的关系为试求小球何时瞬时速度为0(g9.8).12解小球的 E 动方程为 h(t)=100tgt,h=100(t+t)2g(t+t)2(100t1gt2).h 一.=limt=100 一 gtAtT0令 100gt=0,得 t=1=票10.2(s).g9.8因此，小球被上抛

16、 10.2s 时速度变为 0.100Atgtt2g(At)2.例 4 已知质点 M 按规律 s=at2+3(单位：cm)做直线运动，且质点 M 在 t=2s 时的瞬时速度为 8cm/s，求 a 的值.分析这是一道逆向思维的题目，知导数 s|t=2=8,求系数 a,先对 s 求导，可得含a 的方程.解出 a 即可.解s=a(2+t)2+3-(a22+3)=4a-t+a(t)2依题意有 4a=8,.a=2.变式训练 4 已知 f(x)=ax+b,且 f(1)=2,求实数 a 的值.,则在 to时刻的瞬时,则在 to时刻的瞬时.limAtT0sA?lim(4a+a-t)=4a.14解y=f(1+x)

17、f(1)=a(1+x)+b-(a+b)=aAx.一y.f(1)=lim 匚一=lima=a.AXAx-0乂 f(1)=2,.a=2.1.1 函数的单调性与极值1.1.3 导数的几何意义日学引导1.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义.2. 会求函数在点(xo,yo)处的切线方程.课前热身1. 几何意义：f(x)在 x=xo处的导数 f(xo)即为 f(x)所表示的曲线在 x=xo处的切线的斜率，即 k=f(xo)=lim2.物理意义：如果把函数 y=f(x)看作是物体的运动方程(或叫位移公式)，那么导数 f(xo)表小运动物体在时刻 to的速度，即在 xo的XTo3.如果 f(x)在开区问(

18、a,b)内每一点 x 的导数都存在，那么称 f(x)在区间(a,b)内可导.这样对开区问(a,b)内每一个值 x,都对应一个确定的导数 f(x),丁是在区间(a,b)内f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 y=f(x)的记为，简称为.今后，如不特别指明某一点的导数，求导数就是指求导函数.1.yf(xo)=f(xo)(xxo)fx+xfx.过点(xo, f(xo)的切线方程为.即 vxo=f(xo)=limAyx.152. 瞬时速度163.导函数 f(x)(或 yx、y)导数名师讲解1.“函数 f(x)在点 X0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系：“函数 f(X)在

19、点 X0处的导数”是一个数值； “导函数”简称“导数”， 是一个函数.所以求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值.2.可以利用导数求曲线的切线方程.由丁函数 y=f(x)在 x=xo处的导数,表示曲线在点P(Xo,f(Xo)处的切线的斜率.因此， 曲线 y=f(x)在点 P(Xo,f(Xo)处的切线方程可如下求得：(1) 求出 f(Xo)，则 f(Xo)就是点 P(Xo,f(Xo)处的切线的斜率.(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为y-f(Xo)=f，(Xo)(X-Xo).如果曲线 y=f(x)在点 P(x,f(xo)处的切线平行丁 y 轴时(此时导数不存在

20、)，切线方程为 x=Xo.典例剖析题型一求曲线上某点处的切线方程例 1 已知曲线 C：y=x3.(1) 求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程；第小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点.分析先求出函数 y=X3在 X=1 处的导数，即切线的斜率，然后写出切线C 的方程得 y=1,=limAXTo=limXTo=lim3x2+3xx+(x)2=3x2,XToy|x=1=3.过 P 点的切线方程为 y1=3(x1),即 3x-y-2=o.万程，最后列万程看交点个数.解(1)将 x=1 代入曲线.切点 P(1,1).,yy=lim-3xXTox+x3x3X2,3xx+3xxx17y=3x

21、-1+1由3可得y=x2_(x-1)(x+x-2)=0,解得 xi=1,x2=2,从而求得公共点为 P（1,1）或 P（2,8）.说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点.规律技巧先求出函数 y=fx 在 x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程.变式训练 1 求双曲线 y=1在点（；，2）处的切线的斜率，并写出切线方程.x2-11=limx2+xx=XT0一2.x二当 x=f 时，k=-4,.切线斜率为 k=4.1切线万程为 y-2=4(x2),即 4x+y4=0.题型二求过某点的切线方程例 2 求抛物线 y=x2过点（|,6）的切线方

22、程.5分析点（云，6）不在抛物线上，先设出切点坐标，求出切线的斜率，利用等量关系，求出切点坐标，最后写出切线方程.解设此切线在抛物线上的切点为（x。，x0），则x0+xx0.一.，、-:=lim（2x+x）=2x0,xXT0k=limXT011yAlim,x+xxxy|x=x=limxT0 x018x26c5=2x0，x0-2X0=2，或 X0=3.即切线经过抛物线 y=X2上的点(2,4),(3,9).故切线方程分别为y4=4(x2),v9=6(x3),即 4xy4=0,或 6xy9=0 为所求的切线方程.规律技巧求切线方程时，注意两种说法：一是在某点处的切线方程，此时点在曲线上，且以此点为

23、切点；二是过某点的切线方程，如本例，此时求解时，首先要设出切点坐标，然后求解.变式训练 2 求抛物线 y=；x2过点(4,4)的切线方程.12解设切线在抛物线上的切点为(x。，4x2),1A212-x。+x-xo44y|x=xo=lim；31xXT0.,1.11=lim(xo+Ax)=2x0.XT01274x0-41G4=2x0.2即 x8x+70,解得 x=7,或 x0=1,1c491即切线过抛物线 y=jx2上的点(7,),(1,4),故切线方程分别为49711,八y-了=2(x-7)，或 y-4=矛-1),化简得 14x4y49=0,或 2x4y1=0,此即所求的切线方程.题型三导数几何

24、意义的综合应用例 3 求曲线 y=x2在点(3,9)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.分析由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式计算.即 x5x+60,解得19解y=(3+x)2322=6Ax+(x),20yf(3)=limM=lim(6+x)=6.XT0XT0.点(3,9)处的切线方程为 y9=6(x-3),即 y=6x-9.3切线与两坐标轴的交点分别为(20),(0,9).切线与两坐标轴围成的三角形面积为c13S=x22变式训练 3 在曲线 y=x2上求一点 P,使过点 P 的切线与直线 y=4x5 平行.解设 P(

25、x,x0),一，y贝Uf(x)=limxXT0 x+x2x2=lim=lim(2x+Ax)=2x.x0由题意可得2x=4,x=2.故点 P 的坐标为(2,4).1.2 导数的计算1.2.1 几种常用函数的导数及导数的运算法则自学引导。1一1.能根据导数的正义，会求函数 y=c,y=x,y=x,y=x,yy=山的 x导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数.课前热身1.基本初等函数的导数公式X9=27421原函数导函数(1)f(x)=cf(x)=f(x)=xn(nQf(x)=22(3)f(x)=sinxf(x)=(4)f(x)=cosxf(x)=f(x)=ax

26、f(x)=原函数导函数f(x)=exf(x)=(7)f(x)=logaxf(x)=(8)f(x)=lnxf(x)=2.导数的运算法则.(1)f(x)土g(x)=(2)f(x)-g(x)=(3)f=gx答案1.(1)0nxn1(3)cosx(4)sinx(5)axlna(a0)(6)ex(7)(a0,且 a 乒 1)xlna/23答案2.(1)、(x)切(x)(2)f(x)g(x)+f(x)g，(x)fxgxfxgxgx2(g(x)-0)名师讲解f1(x)土f2(x)土土fn(x).(2) af(x)土bg(x)=af(x)土bg(x)(a,b 为常数).3.两函数商的求导法则fx,fxggxg

27、1当 f(x)=1 时，则有gx这是一个函数倒数的求导法则.4 .求导运算的技巧在求导数中，有些函数表示形式很复杂，直接求导比较困难，但经过化简整理，有可能很简单，这时再求导可能很简便，也就是说，先把复杂式子化简后再求导，减少运算量.题型一求导函数例 1 求下列函数的导数.12(1)y=x；此法则可以推广到有限个可导函数的情形.fl(x)土f2(x)土土 fn(x)，=xfxgx；(g(x)丰0),xgx(g(x)女。)(3)公式中 nQ,但对丁 nR 公式也成立.(4)特别注意 n 为负数或分数时，求导不要搞错.如2.两函数和差的求导法则的推广(1)f(x)土g(x)=f(x)土g(x)24

28、(2)y=土xy=/x2-分析这三个小题都可归为 xn类，用公式(x)=nxnT 完成.典例剖析解（1）y，=（x12），=12x121=12x11.,1,一3,31（2）y=（亍）=（）=-3x=3x变式训练 1 求下列函数的导数.(1)f(x)=10;f(x)=log2x；g(t)=e”.解(1)f(x)=(10 x)=10 xln10.一，1f(x)=(|og2x)=xny.g(t)=(e”)=e”.题型二求函数在某点处的导数例 2(1)求函数 y=ax,在点 P(3,f(3)处的导数；求函数 y=lnx 在点 Q5,ln5)处的导数.分析先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数

29、值.解(1)y=ax,y，=(ax)，=axlna.贝Uy|x=3=a3lna.(2).y=lnxy=(lnx)=.x贝Uy|x=5=5规律技巧求函数在某定点点在函数曲线上的导数，一般过程是：先求导函数；把定点的横坐标代入导函数求出导数值.变式训练 2 求下列函数在某点处的导数.(1)y=logax,x=2；兀(2)y=cosx,x=3y=2x3+法，x=1；25,八.兀(4)y=sinx,x=-3.解(1)y=(x2sinx+cosx)=(x2sinx)+(cosx)=2xsinx+x2cosxsinx=(2x1)sinx+x2cosx.lnxy=E-x+1lnx1-lnx+1xxxxlnx

30、+1222x+12x+12xx+12.f(x)=(x3+1)(2x2+8x5)=2x5+8x45x3+2x2+8x-5f(x)=(2x5+8x4-5x3+2x2+8x5)=10 x4+32x3-15x2+4x+8.(1).y=logax,yxlna.,1则y|x=2=疝.(2)y=cosx,.y=sinx.兀.兀 x/2贝 Uy|x=sin.则y|x=1=6+.33(4)y=sinx,.y=cosx.则y|x=三=cosr=1.题型三利用运算法则求导数例3 求下列函数的导数.(1)y=x2-sinx+cosx；一、lnxy=S；f(x)=(x3+1)(2x2+8x5);f(x)=1-x分析对丁

31、(1)、(2)可以利用公式直接求导,(3)、(4)先化简再求导.261+X1yfXf(x)=奇+片-*+=n=岂，4,41-x41-xf(x)=(c2)=规律技巧运用求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数=f(x)的结构特征，对丁直接求导很繁琐的，一定要先化简，再求导.变式训练 3 求下列函数的导数.(1) y=tanx；一 1.1y=顷+&；xx(3) y=1+sin2COS2;sinx解(1)y=tanx,COSxsinxcosxsinxcosxcos2x=七=七cosxcosx1.12y=1-也+1+vx=1-x，y=(7)=2厂x2=.、1x1x1xxx,1.(3

32、) .y=1+sincos.1+sinx,.，一 1.、，1.y=(1+sinx)=cosx.xy=(不)-(2x)x+1xx=22ln2x+11-x c22ln2.x+1题型四求切线方程例 4 求过点(1,1)的曲线 y=x32x 的切线方程.分析点(1,-1)虽然在曲线上，但它不一定是切点，故应先求切点.解设 P(X0,y0)为切点，则切线的斜率为 f(X0)=3X02,故切线方程为2y 一 y=(3x02)(x 一x(0),即 y(X02x0)=(3x02)(xx),乂知切线过点(1,-1)代入上述方程，2.,sinx、,y=()cosx7cosx+sinx27得一 1 一（x一 2x。

33、）=（3x一 2）（1 一 x。）,1解得 x=1,或 x=-2，17.切点为（1,1）或（3,Q）-2o故所求的切线方程为 y+1=x-1,75,1或 yo=_4（x+2，即 x-y-2=0,或 5x+4y1=0.规律技巧 1 在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点 P 处的切线方程和求曲线过点 P 的切线方程.在点 P 处的切线，一定是以点 P 为切点，过点 P的切线，不论点 P 在不在曲线上，点 P 不一定是切点.2 求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为 x,y，然后写出切线方程Vy0=fx0 x-x0，代入点 P 的坐标，求出x,y0，再写出切线方程.变式

34、训练 4 已知曲线 y=x33x,过点(0,16)作曲线的切线，求曲线的切线方程.解设切点为 01,），则切线的斜率 k=y|x=x1=3x23,切线方程为 y=（3x2-3）x+16.乂切点在切线上，2y=（3x一 3）x+16.x?-3x1=（3x2-3）x1+16,解得 x=2.切线方程为 y=9x+16,即 9xy+16=0281.2 导数的计算 1.2.2 复合函数的导数自学引导能利用出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的复合函数(仅限丁形如 f(ax+b)的导数.课前热身1.复合函数的概念.一般地， 对丁两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示

35、成x的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作2.复合函数 y=f(g(x)的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为.即 y 对 x的导数等丁 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.1.y=f(u)u=g(x)y=f(g(x)名师讲解1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析出复合过程；(3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导;(4)善丁把一部分表达式作为一个整体；(5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数.典例剖析2.求复合函数导数的方法步骤(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；(

36、2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数题型一复合函数的求导方法例 1 求下列函数的导数.2.yx=yu-ux291y=13x42(2)y=cosx;一、.一兀(3)y=sin(2x3)；(4)y=寸 1+x2.分析注意中间变量的选取，分层求导.解(1)令u=1-3x,贝Uy=j=u4,.yu=4u5,ux=3.,一-512-yx=yuux=12u=1_3x5.(2)令u=x2,贝Uy=cosu,.yx=yuux=sinu2x=2xsinx2.(3)令 u=2x-，则 y=sinu,3.yx=yuux=cosu2=2cos(2x3).1(4) 令 u=1+x2,则y=u2,1.y，x=yuux=；u22x30规律技巧求复合函数的导数，要分活函数的复合关系，对丁分式型的可化为籍的形式求导，关键选好中间变量.最后将中间变量代回到原自变量的函数.变式训练 1 求下列函数的导数.1y=1+3x5；(2)y=sin(x2-6)；(3)y=ln(lnx)；2x+1y=e.(2)令 u=x2