专升本高等数学课件《内部资料》PPT课件

1、高校专升本高校专升本 高等数学辅导高等数学辅导 主讲主讲: :教授教授1 高等数学主要内容高等数学主要内容 A A 三大概念三大概念 一一. .函数函数, ,极限极限, ,连续连续; ; 二二. .导数导数, ,微分微分, ,偏导数偏导数, ,全微分全微分 三三. .积分积分专升本专升本2B B 四大运算四大运算一一. .求求Lim 1. Lim 1. 2. 2. 洛必达法则洛必达法则二二. .求求三三. .求求exxxxxx)11 (, 1sinlimlim0,xyy dy ZZdZ21,( , )1baaDxdxf x y dx 四四. .解微分方程解微分方程3C.C.三大应用三大应用一一

2、. .导数的应用导数的应用1. 1.函数单调性、极值，曲线凹凸性、拐点，函数单调性、极值，曲线凹凸性、拐点， 作图作图. .2. 2.应用题应用题. .求求Max,Min.Max,Min.3. 3.利用中值定理证明等式或不等式利用中值定理证明等式或不等式. .二二. .定积分的应用定积分的应用. .1. 1.几何应用几何应用2. 2.物理应用物理应用三三. .微分方程的简单应用微分方程的简单应用LVS,FW,4D.向量代数与空间解几简介向量代数与空间解几简介1 1.空间直角坐标系空间直角坐标系2. 2.向量代数初步向量代数初步3. 3.平面平面4. 4.空间直线空间直线5. 5.曲面与空间曲线

3、曲面与空间曲线6. 6.二次曲面二次曲面5 多做练习多做练习方可方可熟能生巧熟能生巧 善于归纳善于归纳才能才能灵活应变灵活应变6第一章函数第一章函数, ,极限极限, ,连续连续一一. .函数函数( (一一) )函数概念函数概念 1. 1.函数定义函数定义 2. 2.函数关系两要素函数关系两要素: : (1) (1)对应关系对应关系f; (2)f; (2)定义域定义域D(f)D(f)例例225( )ln(41xf xxx）求 )( fD)()()(.)()()(.)()()(.)()()(.(),ln)(yfxfyxfDyfxfyxfCyfxfxyfByfxfxyfAxxf则Dxxfy),(7

4、1,1)211yxx21yx11lg21xyx11xyx（0808）下列函数中，定义域为下列函数中，定义域为的函数是（的函数是（ ） （B B） （C C） （D D）（A）（模（模C C） ( )1 cos , ( )sin2( )(.)xfxxxf x 则8( (二二) )函数特性函数特性1. 1.单调性单调性2. 2.奇偶性奇偶性3. 3.周期性周期性 4. 4.有界性有界性关于原点对称定义域为奇函数为偶函数Dxfxfxfxfxfxf)()()()()()()()(xfTxfBxfAMxf)()(或9例例 偶函数偶函数2)(xxeexf奇函数奇函数xxeexfxxxf11)()1ln()

5、(2周期函数周期函数Txxy求周期,2cos3sinBxAy)sin(2( )(1)cosf xxx（1010）10（0808） 是（是（ D D ）（A A） （B B） （C C）单调增函数）单调增函数（D D）奇函数奇函数偶函数偶函数非单调函数非单调函数( ), ( ), ( )f x g xx（0707） 均为奇函数，均为奇函数， 则下列为偶函数的是则下列为偶函数的是 （ ）22( )2, 12xf xxex ( ) ( )( )f x g xx( )( ) ( )f xg xx( )( )( )f xg xx( ) ( ) ( )f x g xx（A A） （B B）（C C）（D

6、D）1111 ( )()f xfx dx则（.)( ) 1,1f x在连续，（0707）1( ).(.(.(f x 在(0,+ )有界，无界）x在(0,1有界，无界）在1,+ )有界，无界）egeg12( (三三) )反函数反函数1. 1.反函数定义反函数定义. . 特点特点2. 2.举例举例)11()(,11)1(1xxxfxxxf则2, 0,3 , 3,3arccos21,2cos3yxxyxy其反函数为的反函数求)(21xxaay（0505）13( (四）复合函数四）复合函数1. 1.定义定义2. 2.分解标准分解标准-分解到每一步都是基本初等函分解到每一步都是基本初等函 数的和数的和,

7、 ,差差, ,积积, ,商为止商为止. .3. 3.复合函数定义域求法复合函数定义域求法 的定义域求的定义域为)ln11 (),1 , 0)(xfxf的定义域求的定义域为)11(,2 , 0)(2xfxf注意：并非任何两个函数都可以复合注意：并非任何两个函数都可以复合无意义)4ln(4ln22xyxuuy14（0303）（0707）（0808）24211(),( )12xf xf xxxx则111( ),()112xxf xfxxx则111( ),( )1xxffxxxx则15 ( (五五) )基本初等函数基本初等函数 常用的有六类常用的有六类1414个个;Cy );( 为常数xy ) 1,

8、0(log);1, 0(aaxyaaayax,cot,tan,cos,sinxyxyxyxyxysecxycscxyarcsinxyarccosxyarctanxarcycot16 ( (六）初等函数由基本初等函数（）经六）初等函数由基本初等函数（）经过过有限次的和有限次的和, ,差差, ,积积, ,商运算商运算，（），（）有限次有限次的复合运算的复合运算，（）且，（）且可用一个公式表示可用一个公式表示的的函数函数. .非初等函数举例初等函数举例: :231.(2)sin(1),1(3)11,1nxyxxxxyxxxaxxyxex（）17二二. .极限极限( (一一) )极限定义极限定义Ayx

9、xxnlim0XN( (二二) )性质性质1. 1.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .2. 2.夹逼定理夹逼定理3.AxfxfAxfxx)0()0()(lim04.四则运算四则运算( (有极限有极限; ;有限个有限个) )18( (三三) )求极限求极限1. 1.两个重要极限两个重要极限)41(4)2sin(22limxxx)()411 (414limexxx)21(.)(limbebtbttt则(06) (03) (03) (09) (09)100(1 5 ).(2)limkxxxe则k011sin( )22limxxx(10)(10)192. 2.其他其他举例举例mnbamnm

10、nbxbxbxbaxaxaxamnmmmmnnnnx, 0,01110111lim xxexx10sinlim 1212limxxx )11 ()311)(211(222limnn 203. 3.罗必塔法则罗必塔法则0 , , 1 , , 0, , 000021三三. .无穷小无穷小. .无穷大无穷大1. 1.定义定义 2. 2.性质性质 )0,()()(0)()(0)(),(,)(0)()(, 0)(, 0)(),(0)()(, 0)(, 0)(),(0000lim0 xxAxfAxfxfxxxxxMxfxxxxxxxxxxxxxxxx当则当则当则当 22例题(性质性质) ) 0221sin

11、, 01sinlimlim020 xxxxxxx2tan01sin1222limlimxxarexxxxx 233.无穷小阶的比较无穷小阶的比较( (教材教材P27)P27)设（等价）称当特别，是同阶无穷小与，称当低阶的无穷小是较，称当高阶的无穷小是较，称当, 1, 0, 00000lim0 xxcxxcxxxxxx0, ,xx 当都是无穷小（或x)24例题(阶比较阶比较) (05) (05)不是无穷小）（的等价无穷小）（的同阶无穷小）（的高阶无穷小）（）是（则当都是无穷小当DCBAAxxxx;,00 220, 11 sin,xaxxa当求 无穷大高阶的无穷小比同阶但非等价的无穷小与等价的无穷

12、小；与是当)( ;523)(;523)(523)()(21sin,)03(DnCnBnABnn250 x 2xcos1x1 cos2x211x(1)sinxex（0707）当当时，下列函数中能成为时，下列函数中能成为的等价无穷小的是（的等价无穷小的是（ D D ） （B B） （C C） （D D）（A A）0 x22xx与sin xx与21 cosxx与tan2xx与（0909）当当 时，下列四组函数中为等价时，下列四组函数中为等价无穷小的是无穷小的是 （ B B ） （A A） （B B）（C C）（D D）264.等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理( (教材教材P27P27）定理定理l

13、imlimlimlimlim00000,0 xxxxxxxxxxxx则存在当xnxxxxxxexxxxxxxxxnx111,21cos1,)1ln(,1,arctan,arcsin,tan,sin, 02有当结论结论27例题例题( (等价无穷小代换等价无穷小代换) )21sinsintansin)41ln(sin2322030limlimlimxxxxxxxeexxxxx 28四四. .连续与间断连续与间断( (一一) )连续连续1 1. .2 2.连续三要素连续三要素)()()3()()2()() 1 (000limlim00 xfxfxfxfxxxx存在存在 3. 3.左右连续左右连续00

14、01.02.( )()limlimxxxDefDeff xf xy 0000( )()( )()limlimxxxxf xf xf xf x左连续右连续29(二)间断点分类间断点分类第一类（第一类（ 都存在的间断点）都存在的间断点）(1)(1)可去间断点可去间断点(2)(2)可去间断点可去间断点(3)(3)跳跃间断点跳跃间断点 第二类（第二类（ 至少一个不存在的间断点）至少一个不存在的间断点） (4)(4)无穷间断点无穷间断点(5)(5)振荡间断点振荡间断点00(0)(0)f xf x，)0()0()()0()0()()0()0(00000000 xfxfxfxfxfxfxfxf不存在；不定)

15、()(limlim00 xfxfxxxx00(0)(0)f xf x，30（0707）211( ),( )1xxf xf xe求的间断点并判别其类型。22( ),( )(1)xxf xf xx x求的间断点并判别其类型。( ),tan4( )xf xxxf x 5,4求的间断点并判别其类型。（模（模A A） eg eg31( (三三) )闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理1 1定理定理2 2定理定理3( 3(介值定理）介值定理） （教材（教材P3132)P3132)定理定理4 4（根值定理）（根值定理） , maxmin( )( ),( )a bf xCf xf x存在 ,

16、( )( )a bf xCf x在a,b有界 , 00( ),( )( ),( , ),()0a bf xCf af bxa bf x与异号则必使32（模（模B B）21xx求证方程至少有一个小于1的正根sin(0,0)xaxb abab求证方程至少有一个不超过的正根egeg33( )0, , ,1)( )( )1.( )22.( )0( , )xxabf xa bxf t dtdtf tF xF xa b设在连续令F(求证：方程在内有且仅有一个实根。（模（模C C）34第二章导数与微分第二章导数与微分一一. .导数的概念导数的概念1. 1.定义定义2. 2.几何意义几何意义3. 3.左右导数

17、左右导数4. 4.可导与连续的关系可导与连续的关系000. ( )()()Thf xxfxfx在 可导存在连续在可导在00)()(.xxfxxfThxxfxxfxfx)()()(0000lim000)()()(lim0 xxxfxfxfxx35( )0().f xxxABCD在处是,可导但不连续; 不连续且不可导;连续且可导;连续但不可导（1010）函数定义，极限，连续，可导，可微的关系36二二. .求导数归纳求导数归纳2. 2.四则运算四则运算3. 3.反函数求导反函数求导例例 xxfxxfxfx)()()(0000lim.)(.)7(.12)2(,1)()(3fyyxxfy则知互为反函数与

18、000)()()(lim0 xxxfxfxfxx1. 1.基本导数公式基本导数公式37.,)(.)(yeefyfxfx求可微， （0404）(06)(06)4. 4.复合函数求导复合函数求导 )ln(sin2xy )(arctancos4xy 22arccos,(0).ayxaaxax求dy.)(,.)(xxnnzybaxfzbaxfy求(10)(10)( )(2 )lndf xfxxdx，求38(10)(10)计算题计算题( )xf xexxddyy fdxdx，g( )=cos ,g= (),求395. 5.隐函数求导隐函数求导 显函数显函数- 隐函数隐函数-)(xfy 0),(yxFyy

19、yexexy求,4yyyxy .).tan(求dxdyyxxy求.1lnln).06(02.sin)ln().07(xdxdyxxyyx求 yyxe22,dy d ydx dx求 （0909）40对数求导法对数求导法(1)()(xvxuy 例 xxy xxysin3cos)2(tanxxy xyyx5232).)(ln(cos)43() 12().2(xxxxy416.参数方程求导参数方程求导(1)(2)(3)(4)222.arctan)1ln()03(dxyddxdyttytx求.sin2sin2)04(dxdytytx求.)sin1 (2)cos(2)05(dxdytyttx求.010)1

20、 (dxdyetettxyy求4221(ln ).lntxtyttt dy求dx(6)(6)（0909）0(1 sin ).cosxydy求dx(5)(5)（0808）437.高阶导数高阶导数例例)(.,11nyxy求)(.),1ln(nyxy求(10)(05)(0).(07).(09)( )fyfx求求求)(2.1071nyxxy求)(.,nxyxey求).1()07( f求44例例( (高阶导数高阶导数) )(.,sinnyxy求)(.,cosnyxy求)2sin()(sin)(nxxn)2cos()(cos)(nxxn458. 8.分断函数求导分断函数求导0000000000),(,),

21、()(),(,),()(,),()(,),()(xxxgxxxxxxfxxxgxxAxxxxfxxxxxxfxxAxxxxf从定义求之从定义求之 46例题例题( (分断函数求导分断函数求导) )0),21ln(310,32sin)(/1xxxxxfx 讨论 在 的连续性； 讨论 在 的可导性； 求)(xf)(xf0 x0 x)(xf 479. 9.从定义求导从定义求导定义定义xxfxxfxfx)()()(0000lim000)()()(lim0 xxxfxfxfxx48例题例题( (从定义求导从定义求导) )(05)12.()32()2(3)2(lim0 xxfxffx(.)sinh) 1 (

22、)31 (.) 1 ()21 () 1 (limlim00fhfhfhfafhh49(10)(10)10( )( )1,1(12 )(1).2limxxdf xf xxdxfxfx在处可导则( )tanf xx4( ) 1lim4xf xx（.)A12B22C2D 则 2（模（模B B）50三三. .微分微分( (一一) )概念概念1. 1.定义定义2. 2.几何意义几何意义3. 3.微分两个特性微分两个特性4. 4.微分形式的不变性微分形式的不变性( (二二) )计算计算1. 1.公式公式2. 2.四则运算四则运算51第三章第三章 中值定理中值定理. .导数应用导数应用一一. .中值定理中值

23、定理( (一一) Rolle Th) Rolle Th 若若)()()3(),()()2()() 1 (,bfafbaxfCxfba可导在0)(),(fba则至少则至少使使52注意注意:(1):(1)条件是充分条件条件是充分条件; ; (2) (2)条件不成立条件不成立, ,结论未必成立结论未必成立. .例例不求 的导数, 验证 必有根)23()(2xxxxf0)( xf4 , 0 x32)2()(xxf验证对的正确性Rolle ThRolle Th 不求 的导数, 说明 有几个实根,并指出 根所在区间.)3)(2)(1()(xxxxxf0)( xf53 , ( ),( )( , )( )(

24、),( , )( )a bf xCf xa bf af ba byf xx设在可导,则在内，曲线上平行 轴的切线（.）A.至少有一条；B.仅有一条；C.不一定存在；D.不存在(10)(10)54(二)Lagrange Th若若可导在),()()2()() 1 (,baxfCxfba则至少则至少)()()(),(fabafbfba使使55推论推论: :若在若在 则在则在Cxfbaxfba)().,(0)().,(例题例题( (Lagrange Th) )证明证明: :ln(1),(0)1xxx xx56例题例题( (Lagrange Th) ) 验证验证 在在 对对 Lagrange Th La

25、grange Th 的正确性的正确性; ; 验证验证 在在 对对Lagrange Lagrange Th Th 的正确性的正确性; ;证明证明: :对对 , ,恒有恒有xxfarctan)( 1 , 0 xxfln)(, 1 eyx yxyxsinsin 证明证明: :当当 恒有恒有, 1x2arccosarcsinxx57(三)Cauchy Th若若0)(,)(),()2()(),() 1 (,xgxgxfCxgxfba)()()()()()(),(gfagbgafbfba则至少则至少使使58二二. .洛必达法则洛必达法则定理定理: :若若 则则)()()()3(0)(.).().()2()

26、.(.00)()(,) 1 (lim00Axgxfxgxgxfxxgxfxxxx有当)()()()()(limlim00Axgxfxgxfxxxx59洛必达法则几种形式洛必达法则几种形式000 ,00,10 60例题例题(洛必达法则洛必达法则)xxxxxxeexxxxxlncotln)2()ln(sincos12limlimlim022/0)111(lim0 xxex)ln11()1()sin(limlimlimlim1)1ln(10tan0cos110 xxxxxxxxexxxxxx61注意注意(1)只有 ,才可考虑用 Th(2)每次用 Th后,必须化简(3) 不能断定 不存在, . 只能说

27、明Th失效.00)()()(lim0Axgxfxx)()(lim0 xgxfxxxxeeeexxxxxxxxxxxxxxx2201.sinsin,.sin1sinlimlimlimlim（4）还原例子62例题例题(洛必达法则洛必达法则)75166.4152121limlimaxaxxbabxaxxxx则则（0303） 63三三. .单调性单调性. .极值极值. .凹凸凹凸. .拐点拐点. .作图作图(一)单调性单调性Def1Def1Th1Th1).().,(0)().,().().,(0)().,(),()(.)(,xfbaxfbaxfbaxfbabaxfCxfba在在在在可导在64例题例题(

28、单调性单调性)0.1.23)(1)2(.2) 1 (31292)(3223xxxxxfffxxxxf不可导点驻点22(04)2. 0112 .(1)2(06)ln(1(,)yxxfyxx 的单调区间和极值。（ ， ）（， ）大)的单调增区间为652.(1)(0)(1)(0);.(1)(0)(1)(0);.(1)(1)(0)(0);(1)(0)(0)(1);d fdxA ffffB ffffC ffffDffff2设f(x)在0,1有0，则成立（.）(10)(10)66讨论单调性讨论单调性, ,极值步骤极值步骤1. 1.求求2. 2.求驻点与不可导点求驻点与不可导点3. 3.由两种点分由两种点分

29、D(f)D(f)为若干区间为若干区间, , 由由 ThTh判别单调性判别单调性, ,极值极值. .)(xf 67例题例题(单调性证明不等式单调性证明不等式)0.(2)1ln()06()0.(1)1ln(1)0.(1)0.(132222xxxxxxxxxxxexxxx求证：求证：求证：求证：68( (二二) )极值极值Def2. Def2. 定义在定义在 极小极大则有则有yxfxfxfyxfxfxf)(.).()()(.).()(0000)(xf),().,(00 xNxxN极小点极大点极值点极小值极大值极值00.)(xxf在69例题例题( (极值极值) )0.1.23)(1)2(.2) 1 (

30、31292)(3223xxxxxfffxxxxf不可导点驻点求极值求极值求极值求极值 求极值求极值3.1593)(23xxxxxxf驻点70极值判别法极值判别法),(0 xN 在 可导可导)(xf 在在 连续连续. .0 x极小极大则则yxfxfyxfxfxxxxx)(.).()(.).(.00000Th2Th271极值判别法极值判别法Th3Th31., 0)()3()(0)()2()(0)() 1 (0)(.0)().().(.).,().(00000000改用判别法不能判别，极大极小 xfyxfxfyxfxfxfxfxfxfxNxf72极值存在的必要条件极值存在的必要条件（费马定理）（费马

31、定理）Th4Th40)().(.)(000 xfxfxf为极值极值点可从极值点可从驻点驻点与与不可导点不可导点找找1. 1.可导函数的极值点可导函数的极值点 驻点驻点2. 2.不可导点（临界点）也可能取得极值不可导点（临界点）也可能取得极值73举例举例3/2332)()4()()3()()2()().1 (xxfxxfxxfxxf驻点取得极值驻点取得极值驻点不取得极值驻点不取得极值不可导点不取得极值不可导点不取得极值不可导点取得极值不可导点取得极值74( (三三) )最大值最大值. .最小值最小值1. 1.一般情况一般情况2. 2. 只有一个只有一个极大极大( (小小) )值值 而无极小而无极

32、小( (大大) )值值 则则(min)maxyy（极小）极大)(xfy )(),(),(),(min)(),(),(),(maxbfafxfxfmbfafxfxfM不驻不驻75例题例题( (最大值最大值. .最小值最小值) )52)2(.52)2(.21) 1(.21) 1 (,.2 , 2.1)().07(minmax2ffffyyxxxf3.0.2.1.)()06(23baxbxaxxxf求取极值在76例题例题( (最大值最大值. .最小值最小值) )无盖圆柱形水池无盖圆柱形水池, ,体积定值体积定值V,V,底造价是侧面造价的底造价是侧面造价的2 2倍倍. . 问问: :半径半径r=? r

33、=? 高度高度h=?h=? 用费最省用费最省? ?77( (四四) )凹凸凹凸. .拐点拐点1.凹凸定义凹凸定义2. 2.凹凸判别凹凸判别3. 3.拐点判别拐点判别4. 4.两种特殊情况两种特殊情况78讨论曲线凹凸与拐点步骤讨论曲线凹凸与拐点步骤1. 1.求求2. 2.求使求使 与与 不存在不存在的点的点3. 3.由两种点分由两种点分D(f)D(f)为若干区间为若干区间, , 由由 ThTh判别判别曲线凹凸与拐点曲线凹凸与拐点. .( )0fx( )fx( )fx( )fx323(13)yxx曲线-x的拐点坐标为，（1010） 7932, (1,3):39(,)22a bPl yaxbxab

34、为何值为曲线的拐点。egegegeg32(0,1)Pyaxbx为曲线 +c 的拐点。则（ B ）(A)a=1,b=-3,c=1 (B)a任意,b=0,c=1(C)a=1,b=0,c任意 (D)a,b任意,c=180( (五五) )渐近线渐近线. .作图作图1.水平渐近线渐近线2. 2.垂直渐近线垂直渐近线3. 3.作图步骤作图步骤 (1)(1)求求D(f),Z(f)D(f),Z(f)(2)(2)奇偶性、周期性奇偶性、周期性(3)(3)单调性、极值单调性、极值(4)(4)凹凸性、拐点凹凸性、拐点 812) 1(12xxy例例3. 3.作图步骤作图步骤 (5)(5)渐近线渐近线(6)(6)特殊点特

35、殊点(7)(7)描图描图 82第四章第四章 不定积分不定积分4.14.1概念概念. .性质性质4.24.2换元积分法换元积分法4.34.3分部积分法分部积分法4.44.4几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分834.14.1概念概念. .性质性质一. .原函数原函数 Def1 Def1 若若.)()(.)()(的全体原函数表示则上的一个原函数在是xfCxFIxfxF说明说明:1.:1.2. 2.)()().()(上的一个原函数在是IxfxFIxxfxFCxFxGIxfxGxF)()(.)()()(则上的原函数在都是与则称则称84二二. .不定积分不定积分.)()(,.)()(CxFdxx

36、fcxFxf记为称为不定积分的原函数全体不定积分的几何意义不定积分的几何意义表示积分曲线族表示一条积分曲线CxFyxFy)()(Def2851ln1lnxxdxxcx 注意：03ln(4)(.)1111. . . .44yxABCDxxxx（ ）是的原函数。三三. .基本积分公式基本积分公式P88P8886222209arctan(.)122.arctan . . . .11(1)yxxxAx BCDxxx（ ）是f(x)的一个原函数,则f(x)的导函数为.arctan(.)yx（10）是f(x)的一个原函数,则f(x)=.87222222207). .2.2(12). .2(1)xxxxCA

37、 xeB x eCx eDx e2x（ ） f(x)的一个原函数是e ,则f (x)=(.88四四. .不定积分的性质不定积分的性质1. 1.2. 2.3. 3.4. 4.dxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxfCxFxdFCxFdxxFdxxfdxxfdxfdxxf)()()()()()()()(.)()()()().()(89例题例题dxxxxdxxxdxedxxxxxxxx)1 (311)3(5222224433dxxxdxxxxdxxdxx222222sincos1sincos2cos2costan904.24.2换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法CxFxdxfCxFdx

38、xxfxuCuFduuf)()()()()()()()()(即则具有连续导数设特点特点uxux新旧令)(ThTh91( (一一) )凑微分举例凑微分举例1. 1.形如形如Cxxdxdxxx1)()()()()(1dxxconxdxxxdxbaxdxxx561002sin).4.(cossin)3()().2.(8) 1 (92凑微分举例凑微分举例2. 2.Cxxxddxxx)(ln)()()()(dxxxxxxxdxxdxdxxxxdxdxxxdxdxxxxdxdxxxcotcsc)cot(csccsccsc).6.(tan).3(.2cos2sin21csc).5.() 1(ln)2(sin

39、sincsc).4.(3) 1 (25493凑微分举例凑微分举例3. 3.Caaxdadxxaxxxln)()()()()(dxxdxxexdexdxexxxxx)52(3)3.()2(tansec) 1 (5tan2tan294凑微分举例凑微分举例4. 4.)()(cos)()(cos)()(sin)()(sinxdxdxxxxdxdxxxdxxxxdxxdxxx23234)(sec)sintan()3()2(sin)2.()cos(ln) 1 (95凑微分举例凑微分举例5. 5.)()(csc)()(csc)()(sec)()(sec2222xdxdxxxxdxdxxxdxxxdxxx3/

40、23222)(sec)2(.1)(arctancsc) 1 (96凑微分举例凑微分举例6. 6.)(1)()(1)()(1)()(1)(2222xxddxxxxxdxdxx22222221(1).(2)9411.(0)ln.ln54(1)(4)1(3)(2).(0)(2)11.(0)arctan254(1)dxdxxxdxdxxxxxdxxdxxdxdxxxx 幂函数97( (二二) )特殊三角函数积分举例特殊三角函数积分举例222221.2. sincos. ,3. sincos4. tansec. cotsc5. sec. csc.6. tan.mnmnmnmnmnmxxdx m nxxd

41、xxxdxx cxdxmnxdxxdxxdx积化和差之一为正奇数为正奇数或 为正偶数可积递推98换元积分法换元积分法ThTh CxFdxxftxxtttxCtFdtttf)()(.)(.)(. 0)(.)()2()()()() 1 (11则的反函数是具有连续导数设特点特点uxux新旧令)(txtx新旧令)(99类型类型1. 1.三角置换三角置换222222axxaxataxtaxtaxsectansin令令令.41)4.(41)3(.941)2).(0.() 1 (222222dxxdxxxdxxadxxa100类型类型2. 2.含含cbxax22,.axbxc先对配方再三角置换dxxdxxx

42、dxxdxxxdxxxdxxxx222222) 1(41231)3(3)3(1661)2(4) 1() 1(352) 1(3) 1 (101类型类型3. 3.nnnntdcxbaxtbaxdcxbaxbax.则令被积函数含).()1 (6)1 ()2()2,2.(1321) 1 (6623533323txtxdttttxxdxtxtxdxttxdx则令则令102类型类型3( 3(续续) )1ln(,1) 1(21)6(.)5().(121)4()3(2222324txtetttdtedxdtxaxadxxaxatxtdttxxdxxxxdxxx则令令1034.34.3分部积分法分部积分法重点重

43、点每年必考！每年必考！设设vduuvudvdxuvuvdxvuxvvxuu有连续导数).().(104类型类型一一. .xdxdxxdxxbxdxebxdxebxdxxbxdxxdxexbxdxxxxbx3sec.)sin(ln.)cos(ln.sin.cos.arctan.ln.cos二二. .三三. .( (分部分部2 2次次, ,要移项要移项) )105例题例题( (分部积分法分部积分法) )23(1)cos2.(2).(3).(4) arctan3.(5)ln.(6)cos2.xxxxxdxxe dxx e dxxdxxxdxexdx106例题例题( (分部积分法分部积分法) ).).

44、(arctanarctan)10.().()9()tan.(.)1 (arctan)8(.1arcsin2)(arcsin)(arcsin)7(3222223xxxxxededxeetxdxetxdxxxxdxxxxxxdxx10722222222)( ).(21).( ).(21)( ).(21).().(21)xxxxAxeCBxeCCxeCDxeC2-x(11) f(x)的一个原函数是e,则 xf (x)dx=(A .( )( ).( )( )( ).( )( )( ).()( )( )A xfxCB fxf xCC xfxf xCD xfxf xC(12) xf (x)dx=(C)10

45、84.44.4几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分一一. .有理函数积分有理函数积分（了解）（了解）1. 1.有理真分式的分解有理真分式的分解1312) 1)(1(12)2(3625653) 1 (2222xxxxxxxxxxxxxx2. 2.待定系数待定系数(1)(1)比较法；（比较法；（2 2）代入法）代入法 例例1093, 3,有理真分式的积分有理真分式的积分.)arctan.).(ln0.()3(. 1.(1)()()2(.)ln.(.ln) 1 (21dxqpxxBAxnCnaxAdxaxACaxAdxaxAnn幂函数）例例dxxxx52532110二二. .三角函数有理式的

46、积分三角函数有理式的积分1. 1.万能置换万能置换.2tantx令则则dttdxttxttxttx222221211cos12sin12tan111例题例题( (万能置换万能置换) )xbadxxbadxtdtxdxttdtxxdxsin.cos)3(2cos31)2(24423cossin2) 1 (221122. 2.凑微分凑微分2222222222(1).4sin9cossincos(2)23cos.cossin(3)(sincos )dxdxxxaxbxdxxdxdxabxabxdxxx113三三. .简单无理函数的积分简单无理函数的积分).(6)2() 1,1.(1111) 1 (6

47、623532txtxdttttxxdxtxtxdxxx则令则令114第五章第五章 定积分定积分5.15.1定积分的概念定积分的概念5.25.2定积分的性质定积分的性质5.35.3微积分的基本公式微积分的基本公式5.45.4定积分的换元积分法定积分的换元积分法5.55.5定积分的分部积分法定积分的分部积分法5.65.6广义积分广义积分1155.15.1定积分的概念定积分的概念一一. .引例引例 1. 1.曲边梯形面积曲边梯形面积2. 2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程二二. .定积分的定积分的DefDef注注(1)2(1)2个有关个有关; (2) 3; (2) 3个无关个无关; ; (3)

48、 (3).0maxnx116注注(4)(4)充分条件充分条件可积有限个间断点，则有界，且只有在可积)(,)(.2)()(.1,xfbaxfThxfCxfThba三三. .几何意义几何意义baSdxxf曲边梯形)(1175.25.2定积分的性质定积分的性质dxxgdxxfxgxfbaabdxxfbafdxfdxdxfbcadxxfkdxxkfdxxgdxxfdxxgxfbababacabcbabababababa)()(),()(,)5(1, 1)(.,)4(.)3()()()2()()()()() 1 (则在则在1185.25.2定积分的性质定积分的性质 , (6). , ,max( ).mi

49、n( ). ()( )()(7). ( ). , .( )( )().()baa bbaa b Mf xmf xm baf x dxM baf xCa bf x dxfbaab估值定理在则积分中值定理则至少 一使得119例题例题( (概念概念. .性质性质) )1. 1.比较大小比较大小. 2. 2.估值估值. .112300222111100332(1).(2)ln.(ln )(3).ln(1)(4)ln.(ln )eex dxx dxxdxx dxxdxx dxxdxx dxdxxdxxxedxex2123312121) 1()3(arctan)2(.2,2.)04)(1 (21205.3

50、5.3微积分的基本公式微积分的基本公式一一. .变上限积分变上限积分二二. .牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式babaabxFaFbFdxxfxfxFCxfTh)()()()(.)()()2()() 1.(2,则一个原函数是 , 1. ( ).( )( )( )a bxaThf xCdxf t dtf xdx则1210400sin300(tansin )1(1)(03)( )8(tansin )(2)ln(3)(0),limlimxxxxxxeatt dtxtt dtt dttdyydt atdx求122322205( )3(). (2). .3 (2). . (6). .3 (6)08

51、( )3(). (2). .2 (2). . (4). .2 (4)xxtyfdtDA fBfC fDftyfdtDA fBfC fDf(4)（ ）f(u)为连续函数,在x=6的导数为.(5)（ ）f(u)为连续函数,在x=6的导数为.1235.45.4定积分定积分的的换元积分法换元积分法 , ( )(2)( ) ,( ),( )( ), ( )( ) ( ) ( )a bbaf xCxtttatbabf x dxftt dt Th 设(1)在上单调，连续(3) 当有且则124注意：注意：1 1换元法实质：换元法实质： 换元同时换限（切记）换元同时换限（切记）2 2遇到被积函数含有偶次根式，遇

52、到被积函数含有偶次根式， 注意注意取算术根取算术根12513/4830350/220(1)(05)1 ln411(2)3ln31(3)sinsin4/51(4)sinsin4dxxdxxxxdxxxdx126220515232ln2,015(5)(06) ( ),( )3 61,122,0(6) ( ),(1)21,07(21),( )2(8),1xxtxxxf xf x dxxxxxf xf xdxxexfxxef t dtedtxe求求（ ）(04)求求127结论结论0002( ),( )( )0,( ).( )3,()1( ).aaaaaaaf x dx f xf x dxf xegf

53、x dxf xa dxf x dx为偶函数为奇函数已知则1285.55.5定积分的分部积分法定积分的分部积分法( ).( ).bbbaaauu xvv xudvuvvdu有连续导数1294111ln(1)(2)ln(3)sin(ln )eeexdxxxdxx dx1305.65.6广义积分（也称反常积分）广义积分（也称反常积分）一一. .积分区间为无穷的广义积分积分区间为无穷的广义积分二二. .被积函数含无穷间断点的广义积分被积函数含无穷间断点的广义积分1312220012211001(1).(5)121(2).(6)111(3).(7)(0)(4)sin.(8)1abppdxdxxaxxdx

54、dxxxdxdx bxxdxxxdxx x讨论讨论132第五章第五章 定积分定积分5.75.7定积分的元素法定积分的元素法5.85.8平面图形的面积平面图形的面积5.95.9体积体积5.105.10平面曲线的弧长平面曲线的弧长5.115.11定积分定积分的的物理应用物理应用133定积分的几何应用定积分的几何应用 5.7 5.7 5.8 5.8 5.9 5.9 5.105.10( (一一) )一个量一个量Q Q可用定积分计算的条件可用定积分计算的条件(1)Q(1)Q是是a,ba,b上的定量上的定量(2)Q(2)Q对对a,ba,b具有可加性具有可加性 (3)x,x+dx(3)x,x+dx上部分量上

55、部分量 可近似表为可近似表为niiQQ1iQiiixfQ)(简记为简记为dQdxxfQ)(134( (二二) )元素法步骤元素法步骤(1)建立坐标系,确定积分变量 (2)求 上部分量 的近似值(3)定限积分求总量QdQdxxfQ)(,bax,badxxxbadxxfQ)(135定积分的几何应用定积分的几何应用一一. .平面图形的面积平面图形的面积二二. .体积体积三三. .平面曲线的弧长平面曲线的弧长136( (模模A)29A)29. .求由曲线求由曲线 与直线与直线 所围成的平面图形的面积；且求上述平所围成的平面图形的面积；且求上述平面图形绕面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体轴旋转一周所得旋

56、转体的体积。积。yx.yx. x2y (eg)(eg). .求由曲线求由曲线 与它的过原点的一条与它的过原点的一条切线及切线及 轴所围成的平面图形的面积；轴所围成的平面图形的面积；且求上述平面图形绕且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得轴旋转一周所得旋转体的体积。旋转体的体积。xyeyx21,262xeSVe517,66xSV137(03).(03).(1) 1)求曲线求曲线 在点在点 的切线方程；的切线方程；（2 2）由曲线、切线及）由曲线、切线及 轴所围成的平面图形轴所围成的平面图形 的面积；的面积；（3 3）求上述平面图形绕）求上述平面图形绕 轴旋转一周所得轴旋转一周所得 旋转体的体积。旋转

57、体的体积。2xy(1,1). x. x(eg)(eg). .求正劈锥的体积。求正劈锥的体积。1(1)210;(2),(3)36xxySV 138定积分的物理应用定积分的物理应用 5.115.11一一. .变力作功变力作功二二. .液体静压力液体静压力139第七章第七章. .向量代数与空间解几向量代数与空间解几（不考）（不考）7.1 7.1 空间直角坐标系空间直角坐标系. .一一. .空间直角坐标系空间直角坐标系. .1.Def1.Def ZZYYXX坐标轴面面面坐标面YOZXOZXOY140八个挂限八个挂限, ,点的坐标符号点的坐标符号 1(+,+,+) 2(-,+,+) 3(-,-,+) 4

58、(+,-,+)1(+,+,+) 2(-,+,+) 3(-,-,+) 4(+,-,+) 5(+,+,-) 6(-,+,-) 7(-,-,-) 8(+,-,-) 5(+,+,-) 6(-,+,-) 7(-,-,-) 8(+,-,-)2. 2.空间中点的坐标空间中点的坐标),(zyxM有序数组空间点11141二二. .空间两点间的距离空间两点间的距离设点设点则则212212212)()()(zzyyxxAB).,().,(222111zyxBzyxA1427.27.2向量代数向量代数一一. .向量概念向量概念与与 同方向的单位向量同方向的单位向量二二. .向量加法向量加法aaa0aba平行四边形法则

59、平行四边形法则三角形法则三角形法则三三. .数乘向量数乘向量a1437.27.2向量代数向量代数四四. .向量在坐标轴上的投影向量在坐标轴上的投影1. 1.两向量夹角两向量夹角2. 2.向量在轴上的投影向量在轴上的投影()cosuABAB ( , ).(0)a b1447.27.2向量代数向量代数五.向量分解向量分解. .向量坐标向量坐标. .向量的模向量的模. .方向余弦方向余弦 点点 向径向径 坐标表达式坐标表达式 分量表达式分量表达式MO( , , )() , , M x y zr MOMOMx y zOMxiyjzk 1457.27.2向量代数向量代数五.向量分解向量分解. .向量坐标

60、向量坐标. .向量的模向量的模. .方向余弦方向余弦 点点 向量向量 坐标表达式坐标表达式 分量表达式分量表达式11112222121221212112212121( ,).(,).(),(),()()()()Mx y zMxyzM MM MxxyyzzM Mxx iyyjzz k向量的模向量的模222,zyxazyxa1467.27.2向量代数向量代数五.向量分解向量分解. .向量坐标向量坐标. .向量的模向量的模. .方向余弦方向余弦向量的方向余弦向量的方向余弦azayaxcoscoscoscoscoscosxayaza 147222coscoscos112cos,cos33公式eg.设a