高考数学复习 第九章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 文

1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程总纲目录教材研读1.直线的倾斜角考点突破2.斜率公式3.两条直线平行与垂直的判定考点二两条直线的平行与垂直考点二两条直线的平行与垂直考点一直线的倾斜角与斜率4.直线方程的五种形式考点三求直线方程考点三求直线方程考点四直线方程的综合问题考点四直线方程的综合问题1.直线的倾斜角直线的倾斜角(1)定义定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l 向上方向向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角,当直线l与x轴平行或重合平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2)范围范围:直线l倾斜角的范围是0,).教材研读教材研读2.斜率公式斜率公式(1)若直线l的倾斜

2、角90,则斜率k= tan .(2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1x2,则l的斜率k= .2121yyxx3.两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1l2k1=k2 .特别地,当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1与l2平行平行.(2)两条直线垂直两条直线垂直如果两条直线l1、l2的斜率都存在,设为k1、k2,则有l1l2 k1k2=-1.当一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在时,两条直线互相垂直垂直.4.直线方程的五种形式直线方程的五种形式常见的直线

3、系方程常见的直线系方程(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可设为x=x0).(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+=0(C).(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+=0.(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).1.(2015北京海淀期末)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:ax-y+2=0,若l1

4、l2,则实数a的值是()A.0或-3 B.2或-1C.0 D.-3答案答案 A因为l1l2,所以a(-1)=(a+2)a,即a2+3a=0,故a=0或a=-3,经检验均符合题意.故选A.A2.(2015北京东城3月联考)已知直线ax+y-1=0与直线x+ay-1=0互相垂直,则a=()A.1或-1 B.1 C.-1 D.0答案答案 D直线ax+y-1=0与直线x+ay-1=0互相垂直,1a+1a=0,即2a=0,a=0,故选D.D3.(2016北京房山一模)某市2015年前n个月空气质量优良的总天数Sn与n之间的关系如图所示.若前m个月的月平均空气质量优良天数最多,则m的值为()A.7 B.9

5、 C.10 D.12C答案答案 C2015年前n个月空气质量优良的总天数Sn与n在题图中对应点P(n,Sn),则前n个月的月平均空气质量优良天数即为直线OP的斜率.由题图易得当n=10时,直线OP的斜率最大.故m=10.4.(2016北京东城期末)经过圆x2+y2-2x+2y=0的圆心且与直线2x-y=0平行的直线方程是()A.2x-y-3=0 B.2x-y-1=0C.2x-y+3=0 D.x+2y+1=0答案答案 A由题意得所求直线的斜率为2,且直线过点(1,-1),所以直线的方程为y+1=2(x-1),即2x-y-3=0,故选A.A5.(2015北京海淀一模)对于A:x2+y2-2x=0,

6、以点为中点的弦所在的直线方程是 .1 1,2 2答案答案 y=x解析解析方程x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,易知圆心坐标为(1,0),以点为中点的弦所在的直线与过圆心(1,0)和点的直线垂直,所以所求直线的斜率为-=1.所以所求直线方程为y-=x-,即y=x.1 1,2 21 1,2 21121021212y=x考点一直线的倾斜角与斜率考点一直线的倾斜角与斜率考点突破考点突破典例典例1(1)直线xsin +y+2=0的倾斜角的范围是()A.0,) B.C. D.(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .0,

7、43,4 0,40,4,23答案答案(1)B(2)(-,-1,+)3解析解析(1)设直线的倾斜角为,则有tan =-sin ,又sin -1,1,0,),所以0或.(2)如图,kAP=1,kBP=-,直线l的斜率k(-,-1,+). 434102 1300 133易错警示易错警示由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由直线斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x在和上的单调性求解.应注意任何直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率.当倾斜角为时,直线斜率不存在.0,2,22变式变式1-1若将本例(2)中的条件“P(1,0)”改为“P(-1,0)”,则直线l的斜率的取值范

8、围是什么?解析解析P(-1,0),A(2,1),B(0,),kAP=,kBP=.如图,可知直线l的斜率的取值范围为. 31 02( 1) 13300( 1) 31, 331-2 (2017北京朝阳二模)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150 B.135 C.120 D.3022xA答案答案 A如图所示,曲线y=表示以O(0,0)为圆心,为半径的上半圆.SAOB=|OA|OB|sinAOB=sinAOB.易得当AOB的面积最大时,OAOB,此时O到直线l的距离OQ=1.在RtPOQ中,可知OPQ=30,故直线l

9、的倾斜角为150.故选A.22x212考点二考点二两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直典例典例2已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)当l1l2时,求a的值;(2)当l1l2时,求a的值.解析解析(1)当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a1且a0时,两直线方程可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1l2可得解得a=-1.综上可知,a=-1.(2)当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不符合

10、;当a1时,l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),2a11a1,213(1),aaa 2a11a由l1l2得=-1a=.2a11a23方法技巧方法技巧两直线平行或垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等;两直线垂直两直线的斜率之积为-1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在,当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则两直线重合.(3)已知两直线的一般方程设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10;l1l2A1A2+B1B2=0.该方法可避

11、免对斜率是否存在进行讨论.注意注意当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑斜率存在的一般情况,还要考虑斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.2-1 (2017北京昌平上学期期末)已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为()A.4 B.-4 C.2 D.-2答案答案 A直线x-y+2=0的斜率为1,因为两条直线平行,所以-=1,解得a=4.31aA2-2 (2016北京东城一模)已知直线ax+3y-1=0与直线3x-y+2=0互相垂直,则a=()A.-3 B.-1 C.1 D.3答案答案 C直线ax+3y-1=0可化为y=-x+,直线

12、3x-y+2=0可化为y=3x+2.两直线互相垂直,-3=-1,a=1.3a133aC典例典例3(1)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程;(2)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程;(3)求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程.13考点三考点三求直线方程求直线方程解析解析(1)设所求直线的斜率为k,依题意k=-4=-.又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1(a0),将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,所以直线方程为x+2y+

13、1=0;当直线过原点时,设所求直线方程为y=kx(k0),则-5k=2,解得k=-,所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.(3)当m=2时,直线l的方程为x=2;1343432xaya122525当m2时,直线l的方程为=,即2x-(m-2)y+m-6=0.将m=2代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,得x=2,所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.13 1y 22xm易错警示易错警示(1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先

14、考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).3-1根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5.1010解析解析(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为,则sin =(00,b0),因为直线l经过点P(4,1),所以+=1.(1)+=12=,所以ab16,当且仅当a=8,b=2时等号成立,所以当a=8,b=2时,AOB的面积最小,此时直线l的方程为+=1,即x+4y-8=0.(2)因为+=1,a0,b0,所以|OA|+|O

15、B|=a+b=(a+b)=5+9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,xayb4a1b4a1b4 1a b4ab8x2y4a1b41abab4ba所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+2y-6=0.1.给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况.(2)在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方程.(3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.方法技巧方法技巧2.与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程,用y表示x(或用x表示y).(2)将问题转化成关于x(或y)的函数.(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.4-1已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)证明:直线l过定点;(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.解析解析(1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,令解得无论k取何值,直线l必经过定点(