《中值定理与洛必达》PPT课件

1、 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称统称微分学中值定理微分学中值定理，它们在理论上和应它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。究函数性质的理论依据。学习时，可借助于几何图形来帮助理学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路，并解定理的条件，结论以及证明的思路，并初步掌握应用微分学中值定理进行论证的初步掌握应用微分学中值定理进行论

2、证的思想方法。思想方法。本章重点本章重点： 利用导数研究函数以及曲线的性态利用导数研究函数以及曲线的性态（如单调性、凹凸性、渐进线等）（如单调性、凹凸性、渐进线等） 微分学中值定理微分学中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理）（罗尔定理、拉格朗日中值定理） 洛必达法则洛必达法则 计算不定型极限计算不定型极限 利用导数证明不等式利用导数证明不等式整理课件31. 中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理( Rolle 1652 1719 法国法国 )满满足足如如果果函函数数)(xf上上连连续续，在在,)1(ba内可导，内可导，在在),()2(ba,)()()3(bfaf ，内至少存在一点内至少存在一

3、点在在那么那么)(),(baba .0)( f使使整理课件4几何意义：几何意义： AB 为为 a , b 上连续曲线，且除上连续曲线，且除a, b 两点外都有切线存在，两端点纵标相等，两点外都有切线存在，两端点纵标相等，则在则在 (a , b) 中至少能找到一点，使这点对应中至少能找到一点，使这点对应曲线上的点处的曲线上的点处的切线平行于切线平行于 x 轴轴。AB 1 xy08整理课件5证：证： f (x) 在在 闭区间闭区间 a, b 上连续，上连续，f (x) 在在 a, b 必有最大值必有最大值 M 及最小值及最小值 m,有两种情况有两种情况: (1) M = m ;(2) M m .(

4、1) 若若 M = m ，则则 m = f (x) = M ,f (x) 为常数，即有为常数，即有 ,0)( xf那么那么 ( a, b ) 内任一点都可取作内任一点都可取作 ， M = m 时，定理必成立。时，定理必成立。整理课件6(2) 若若 M m ， f (a) = f (b) ,M , m 中至少有一个不等于中至少有一个不等于 f (a) 或或 f (b),不妨设不妨设 M f (a) , (设设 m f (a) 同样可证）同样可证）又设又设 有有 f () = M, . 0)(),( fba要证要证 f (x) 在在( a, b ) 可导，可导，存存在在，xfxffx )()(li

5、m)(0 xfxfx )()(lim0 即即xfxfx )()(lim0 都都有有或或且且无无论论,00 xx).()(xff 整理课件7由极限的保号性：由极限的保号性：,0)()(, 0 xfxfx 则当则当)()(xff ;0)()(lim0 xfxfx ,0)()(, 0 xfxfx 当当;0)()(lim0 xfxfx .0)()( ff只能只能存在，存在，要使要使可见在函数取到最大值与最小值的点处，可见在函数取到最大值与最小值的点处，其导数等于其导数等于 0 。例：例：说明：说明：1. 罗尔定理的条件是充分的，但非必要的。罗尔定理的条件是充分的，但非必要的。2 yxO1 .。,0,1

6、0,sin)( xxxxf 虽不满足条件虽不满足条件 (1)、(3)但仍存在但仍存在.0)(,2 f使使但若条件都不满足，则但若条件都不满足，则一定找不到定理中的一定找不到定理中的 。整理课件92.特别，当特别，当 f (a) = f (b) = 0 时，时，Rolle 定理定理 可简述为：可简述为：若若 f (x) 在在 a, b 连续，在连续，在 ( a, b ) 可导，可导，则在函数的则在函数的两个零点两个零点之间，它的之间，它的一阶导数一阶导数至少有一个至少有一个零点零点（或一个（或一个根根）。）。例题讨论例题讨论例例1： 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数 f (x) = sin

7、x在在 0， 上的正确性，并求出上的正确性，并求出 。证：证：可可导导，在在连连续续，在在), 0(,0sin)( xxf 0)()0( ff满足罗尔定理条件，满足罗尔定理条件，,cos)(xxf ,cos)( f2, 0cos)( 有有要要使使 f 罗尔定理成立。罗尔定理成立。), 0( 例例2：，设设xxxxfn 2122)(中中至至少少有有一一个个根根。在在证证明明0, 10)( xf可可导导，在在连连续续，在在)01(,01)( xf证：证：由由Rolle定理，至少存在定理，至少存在)1( f)0, 1( 即即得得证证。，使使0)( f，若若设设14)12()(2 xxnxfn中至少有

8、一个根。中至少有一个根。在在证明方程证明方程0, 10)( xf，0)0( f整理课件12，设设14)12()(2 xxnxfn中至少有一个根。中至少有一个根。在在证明方程证明方程0, 10)( xf例例3：证：证：，作作xxxxn 2122)( 可可导导，在在连连续续，在在则则) , 01(,01)( x ，0)0()1( 由由Rolle定理，至少存在定理，至少存在)0, 1( ，使使0)( 14)12()(2 xxnxn 即即得得证证。中中至至少少有有一一个个根根在在 ,0, 1 0)( xf设)(xf在0， 1上可微， 对0,1上的每个x，有1)(0 xf，且1)( xf，证明方程xxf

9、 )( 在（0，1）内有且只有一个根。 xxfxF )()(上连续，上连续，在在且由条件，且由条件，10)(xF, 0)0()0( fF，)1 , 0( ，使使0)( F内有根。内有根。至少在至少在即即)1, 0()(xxf 证：先证根的存在性：令证：先证根的存在性：令01)1()1( fF由零点定理，必有由零点定理，必有例例4：)(0)()(2121xxxFxF ，),(21xx ，使使01)()( fF，1)( xf再证唯一性：再证唯一性：有两个根有两个根 x1 与与 x2 , 即即设设 F (x) = 0 在在 (0, 1)又又F(x) 在在 0, 1 上连续，在上连续，在 (0, 1)

10、 内可导，内可导，由罗尔定理，必存在由罗尔定理，必存在但已知但已知 F (x) = 0 只有一个小于只有一个小于1的正根。的正根。矛盾矛盾 !反证：反证：，有有若若0)()(21 xFxF；0)( F，若若0)()(21 xFxF0)( F由上述即知，由上述即知，则在则在 x1, x2 间有间有 ，使，使则在则在 x1, x2 间有间有 ，使，使以此类推。以此类推。 若若 f (x) 在在0, 1上有二阶导数，且上有二阶导数，且 f (1) = 0，设设 F (x) = x2 f (x)，试证在（，试证在（0, 1）内至少存）内至少存在一点在一点 ，使，使, )()(2)(2xfxxxfxF

11、.0)( F可可导导，在在连连续续在在), 0(, 0)(11 xF 0)0( F使使, )1 , 0(1 ；0)(1 F例例5：证：证：F (x) 在在0,1连续连续, 在在(0, 1)可导可导(由题意由题意),)1()1(fF 则由罗尔定理，则由罗尔定理，,0)0( F显然显然又由罗尔定理，又由罗尔定理，), 0(1 , )1, 0( .0)( F使使这条件很特殊，若取消这条件，这条件很特殊，若取消这条件，AB 弦就不弦就不一定平行于一定平行于 x 轴，此时结论又如何？轴，此时结论又如何？)()(bfaf三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理（Lagrange 1736 - 1813 法

12、国）法国）罗尔定理中：罗尔定理中：拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理： 若函数若函数 f (x)（1）在）在 a, b 上连续，上连续， （2）在（）在（a, b）内可导，）内可导， 则在（则在（a, b）内至少存在一点）内至少存在一点 ，使得：，使得： 而右端正是而右端正是AB弦的斜率弦的斜率 . abafbff )()()(abfafbf xAByOab12几何意义：几何意义：式式 可写成可写成:ABxyOab12在上述条件下，曲线在上述条件下，曲线AB上至少有一点上至少有一点，使使 ( , f () 处的切线平行于处的切线平行于 AB 弦。弦。ABxyOab12显然，罗尔定理显然，罗尔定理

13、 是是 L 定理定理 的特殊情况的特殊情况 ：弦弦 AB 平行于平行于 x 轴。轴。曲线曲线AB与弦与弦AB交于交于A、B点，此处它们的点，此处它们的 ,ba axabafbfafy ，若取若取yxfx .0 ba （1）分析：）分析：这样就要使两端点函数值相等，为此引进这样就要使两端点函数值相等，为此引进希望能用罗尔定理来证，希望能用罗尔定理来证，辅助函数辅助函数 (x) , 且要满足且要满足注意，弦注意，弦AB的方程：的方程：f (x) 为为曲线曲线AB上纵坐标，上纵坐标，y 为为弦弦AB上的纵坐标。上的纵坐标。差即为差即为0，即，即证：证：至少存在一点至少存在一点 axabafbfafx

14、fx 0 a 且且 使使,ba ,0 ,abafbfxfx （2）证：）证：作辅助函数：作辅助函数： f (x) 在在 a, b 连续，在（连续，在（a, b）可导，）可导， (x) 在在 a, b 连续，在（连续，在（a, b）可导，）可导， ,b 则由罗尔定理，则由罗尔定理， ,0 abafbff 即即须掌握这种引进辅助函数来证明须掌握这种引进辅助函数来证明一些等式的方法。一些等式的方法。 ,0 abafbff 即即 ,abafbff )()()(abfafbf ,ba ,0 bfaf且且 ,ba . ff 使使例：例： 设设 f (x) 在在 a, b 连续，在（连续，在（a, b）可导

15、，）可导，证明存在一点证明存在一点分析：分析：由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在 ，作作xexfxF , 0 aeafaF 使使,ba , 0 F证明：证明：由条件知由条件知F(x) 在在a, b上连续，在上连续，在(a, b)内可导，且内可导，且 , 0)( bebfbF, )()(bFaF 0 ff即即 ,)(xxexfexfxF ，有有0)( efefF . ff 得证。得证。整理课件25此类问题的关键是构造合理的辅助函数，可此类问题的关键是构造合理的辅助函数，可采用采用反向演绎反向演绎的思维方式，多掌握一些函数的思维方式，多掌握一些函数的导数形式，如的导数形式，如 ,)(lnxfxfxf

16、 ,xfxxfxfx 以以下下对对拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理（L L- -定定理理）作作说说明明，并并导导出出它它的的其其它它一一些些形形式式。 bafbfaf 为为： ,ab 1.说明：说明：),(),)()()(baabfafbf 定定理理中中又称为又称为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式。 若若 a b , 即在即在 b, a 中，中，L 定理仍成立，定理仍成立，2.注意：此式并不是注意：此式并不是 式的反向，式的反向， 的范围不同。的范围不同。 10 aba ,aba 10 ba, 表表示示 ，或或ab, ba 由由aba 0ab 由由0 aab Lagrange中值定理的另一些形

17、式：中值定理的另一些形式：3.(1)aba 令令则有则有)()()()(ababafafbf ).10( ),00( xx或或,xaxxb .)(xxaba 则则(2)设设 x, x + x 为（为（a, b）内任意两点）内任意两点,则则 f (x) 在在 x, x + x 或或 x + x, x 上上仍满足仍满足L 定理，定理，在在中令：中令： xxxfxfxxf )()()( ,)(xxxfy 即即).10( 式即称为式即称为有限增量公式有限增量公式。由此。由此 L 定理定理也称为也称为有限增量定理有限增量定理，或，或微分中值定理微分中值定理。xxxfxfxxf )()()( ,)(xxx

18、fy 即即).10( 曾知曾知)(,)(xoxxxfy 从从L 定理可得以下推论：定理可得以下推论： )( ,很很小小时时当当而而xyxxfdy xxf 即即 xxxf 而而只是只是y 的近似式，的近似式，是是y 的精确表达式，的精确表达式，它明确表达了函数增量与函数在某点它明确表达了函数增量与函数在某点导数的关系。导数的关系。 IxCxf )(常数常数，任任取取Ixx 21,，设设21xx 连连续续，在在则则21,)(xxxf 可导，可导，在在21,xx定理：定理： Ixxf 0(原已知常数的的导数为原已知常数的的导数为0，现逆命题也成立，现逆命题也成立)证：证：由由L 定理：定理：Ixxf

19、 , 0)( .,)(Ixcxf 21,xx )(1212xxfxfxf ,0)( f0 )()(12xfxf 由由 x1, x2 的任意性，的任意性，（P. 129）（说明若两个函数在某一区间内具有相同的（说明若两个函数在某一区间内具有相同的导数，则这两个函数仅差一个常数）导数，则这两个函数仅差一个常数）, )()(xgxf 为常数。为常数。CCxgxf,)()( 推论推论 ：若若 f (x) , g (x) 在在 (a, b) 内成立内成立则在则在 (a, b) 内内证：证：),()()(xgxfxF 令令)()()(xgxfxF , 0 由定理由定理: F (x) = C,.)()(Cx

20、gxf即即 整理课件32例题讨论例题讨论证：证： .,1 , 0arctan)( 并并求求出出上上的的正正确确性性在在xxf ,10,1, 0)(可导可导，在在连续连续在在xf例例1：验证拉格朗日中值定理对验证拉格朗日中值定理对 满足满足 L 定理定理 的条件，的条件， ).01)( )0()1(,10 fff使使，)01)()0()1( fff由由2114 )01(110arctan1arctan2 14142 1 , 0 利用利用L 定理证明一些不等式：定理证明一些不等式：.sinsinyxyx 例例2：证明不等式证明不等式证：证：)(yx 即即,sin)(yxuuuf ，设设则则 f (

21、u) 在在 x, y 连续，在连续，在( x, y ) 可导，可导，由由L 定理：定理： yx, ),()()()(xyfxfyf 使使; )(cossinsinxyxy 即即,xyu 即即);,(),(cossinsinyxxyxy 同理，同理，x y,),(xy )(cossinsinyxyx ,cossinsinyxyx , 1cos .sinsinyxyx ).0(1arctanarctan122baaababbab ,arctan)(baxxxf 可可导导，连连续续，在在在在则则babaxf,)(例例3：证明：证明：分析：分析：出现函数出现函数 arctan x 在在a, b上的增量

22、上的增量,用用 L定理定理 。由由L 定理：定理：使使),(ba , )()()(abfafbf , )(11arctanarctan2abab 即即令令证证 ：, )(11arctanarctan2abab ,111111222ba ,0ba ,111222ba 21bab, 0 ab又又21 ab21aab ).0(1arctanarctan122baaababbab 可可导导，连连续续，在在在在设设bxbxxf,)(00存存在在，又又设设)0()(lim00 xfxfxx)0()(00 xfxf例例4:则则 f (x) 在在 x0 处右导数存在处右导数存在, 且且)(lim0 xfxx

23、（即导函数在左端点处的右极限值（即导函数在左端点处的右极限值该点右导数值）该点右导数值）整理课件38定理。定理。上满足上满足在在则则Lxxxf,)(0 )10( ,)()()(0000 xxxfxxxfxf证：证： ，任任取取bxx,0 )0()(00 xfxf)(lim0 xfxx 要证：要证： )(lim)()(lim000000 xxxfxxxfxfxxxx )(0 xf )0(0 xf)0( 0得证。得证。=整理课件39课外作业课外作业习题习题 3-1 （A）1, 2, 4, 6, 8, 10习题习题 3-1 （B）2, 3, 5, 6, 9, 10, 12而而弦弦AB的的斜斜率率为为

24、 )()()()(agbgafbf ABCYXf(b)f(a)g(a)g(b)g()四、柯西中值定理四、柯西中值定理 (Cauchy 1789-1857 法国法国)若曲线若曲线AB: Y = f (X) 用参数方程表示：用参数方程表示：,)()(xgxfdXdY 则曲线斜率则曲线斜率 ,)()(bxaxfYxgX若曲线上某点若曲线上某点 c c（对应于参数（对应于参数 x）的）的切线切线欲平行于弦欲平行于弦AB，则有，则有 与这一事实相应的就是与这一事实相应的就是柯西中值定理柯西中值定理： )()()()()( )( agbgafbfgfdXdYx ABCYXf(b)f(a)g(a)g(b)g

25、(),)()(xgxfdXdY 曲曲线线斜斜率率而而弦弦AB的的斜斜率率为为 )()()()(agbgafbf 柯柯西西中中值值定定理理：( ( P P. .1 13 31 1 ) ) 若若两两函函数数f f( (x x) )，g g( (x x) ) 满满足足： ( (1 1) )在在 a a, ,b b 上上连连续续； ( (2 2) )在在（a a, ,b b）内内可可导导，且且 ;0)( xg 则则在在( (a a, ,b b) )内内至至少少存存在在一一点点，使使得得 )()()()()()( gfagbgafbf 成成立立。 注意注意：柯西中值定理并不是分子分母分别：柯西中值定理并

26、不是分子分母分别利用拉格朗日中值定理而得，如这样，则利用拉格朗日中值定理而得，如这样，则不不会是一个会是一个，但柯西中值定理中的，但柯西中值定理中的是同一个是同一个。).10( , xx时时，当当xxg )(，1)(,)()( xgabagbg说明：说明： (1) 当当 b a 时定理同样成立，并仍有时定理同样成立，并仍有(2)()()()()()( gfagbgafbf ),(ba 柯西中值定理主要用于证明计算极限的柯西中值定理主要用于证明计算极限的一个非常重要的法则一个非常重要的法则洛必达法则洛必达法则。 此时即为此时即为 Lagrange 中值定理。中值定理。整理课件442. 洛必达法则

27、洛必达法则型不定式型不定式”“”及”及“一、一、 00满满足足设设)(),(xgxf定理：定理：;0)(, 0)()1(0 xgxfxx时时，当当,)()(),()2(0都都存存在在与与内内，在在xgxfxU ;0)( xg且且;)()()(lim)3(0 或或Axgxfxx.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 则则证：证：,0)(, 0)(0 xgxfxx时，时，当当则则 x 0 至多是至多是 f (x), g (x) 的可去间断点的可去间断点 设设 f (x0) = 0, g (x0) = 0,那么那么 f (x), g (x) 在在 x0 的某个邻域内连续的某个邻

28、域内连续, 且且除除 x0 外外 f (x), g (x) 可导，可导，由柯西中值定理由柯西中值定理)()(xgxf)()()()(00 xgxgxfxf )()( gf 之间，之间，与与在在xx0 ,00 xxx 时，时，且且. x0. x. x0. . )()(lim0 xgxfxx)()(lim0 gfxx )()(lim0 gfx .)()(lim0 xgxfxx ( 或连续点或连续点 )，.)()(lim)()(lim0000 xgxfxgxfxxxx ”“说明：说明：),()()(lim)1(0 或或若若Axgxfxx；或或则则)()()(lim0 Axgxfxx处处连连续续，在在

29、若若0)(),()2(xxgxf .)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 则则, 0)(, 0)()3(0 xgxfxx时时，若若)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 则则 )()(lim0 xgxfxx”“00, 0)(0 xg满满足足洛洛必必达达法法则则条条件件，)()(xgxf 同理同理,定理相仿。定理相仿。时，时，,0)(, 0)( xgxfx定定理理相相仿仿。时时，,)(,)(0 xgxfxx定定理理相相仿仿。时时，,)(,)( xgxfx)()(lim)(0 xgxfxxx 即即对对”，”，“00”“ )()(lim)(0 xgxfxxx整理课件

30、48例题讨论例题讨论求下列极限:axaxax sinsinlim. 11coslimxax ”“00acos .lnlnlnbaba xbaxxx 0lim. 2”“001lnlnlim0bbaaxxx .201120sin6lim0 xxx420536cos6lim. 3xxxx 0030206sin6limxxxx 20606cos6limxxx 20cos1101limxxx =xxxcotlnlim. 40 xxx20csc1lim 整理整理 xxx20sinlim . 0 0000axxln1lim )1, 0,(lim. 6 axaxx )1, 0(loglim. 5 axxax

31、1ln1lim xaxx 22)1()ln(lim xaaxx1lnlim xaaxx !)()( x!)ln(lim xxaa = 0.)1, 0(loglim. 5 axxax )1, 0,(lim. 6 axaxx 0 由例由例5、6 可见，三个函数可见，三个函数 a x , x , log a x当当 x + 时都是时都是无穷大量无穷大量, 但它们趋于无但它们趋于无穷大的快慢程度不同。穷大的快慢程度不同。以以指数函数指数函数 a x 的速度最快，的速度最快，幂函数幂函数 x 次之，次之，对数函数对数函数 log a x 最慢。最慢。可见一味用洛必达法则，则永远无结果。可见一味用洛必达法

32、则，则永远无结果。 洛必达法则并不是万能的，一旦做不下洛必达法则并不是万能的，一旦做不下去必须改用其它方法。去必须改用其它方法。xxaxlnlim= 0，xxnxlnlim, xexxlim. shxchxx limchxshxxlim. 7 chxshxxlim若用若用消去无穷因子消去无穷因子法：法：. 111limlim22 xxxxxxxxeeeeee原原式式 原定理只说原定理只说存在等于存在等于A或或，则，则显然极限不存在，显然极限不存在，用洛必达法则无意义。用洛必达法则无意义。xxxxxcossinlim. 8 ?)( ,)()(lim 或或存存在在也也等等于于Axgxf)()(li

33、mxgxf 问题：问题：也不存在吗？也不存在吗？不存在时不存在时)()(lim,)()(limxgxfxgxf 答：答：否否 ！xxxsin1cos1lim 0 0 极限不存在时只能说明洛必达法极限不存在时只能说明洛必达法则则失效失效，应改用以前学的方法求极限。，应改用以前学的方法求极限。xxxxxcossinlim. 8 xxxxxcos1sin1lim = 1 .整理课件55xexx10lim. 9 001lim10 xxe 21x? xxex101lim yyey lim)(1yx yye1lim = 0. 整理课件56xxxxxx20sin)arcsin(cos2lim.10 30ar

34、csinlim2xxxx 002203111lim2xxx 22201311lim2xxxx 1xxxx612/2lim220 2016lim2xxxx .31 先适当先适当利用利用无穷小代换无穷小代换整理整理212lim11lim. 1121 xxxxx问题：问题：下列计算是否正确？应如何计算？下列计算是否正确？应如何计算？错错,法则法则非不定型不可用洛必达非不定型不可用洛必达3162lim622lim1332lim. 222 nnnnnnnn数列极限不能直接使用洛必达法则，数列极限不能直接使用洛必达法则，.3131lim22132 nnnn原原式式. 11111 原原式式非连续变量非连续变

35、量不可求导不可求导 ！每次使用洛必达法则前，应把函数尽每次使用洛必达法则前，应把函数尽量化简或进行整理：量化简或进行整理：（1）恒等式化简）恒等式化简 （2）约去零）约去零(无穷无穷)因子因子（3）提出非零因子（）提出非零因子（4）等价无穷小代换）等价无穷小代换 随时检验极限的类型，直至求出极限值。随时检验极限的类型，直至求出极限值。注意注意：1.2.整理课件59课外作业课外作业习题习题 3-2 （A）1, 2”型型“”“”“”“”二二、“00,1,0,0 ,)(lim, 0)(lim xgxf:0. 1”“ fggfgf1lim1lim)lim(或或则则 )000( 或或然后利用洛必达法则然

36、后利用洛必达法则.0lim0 nxnx例例1：)0(lnlim0 nxxnxnxxx lnlim0 101lim nxxnx?ln1lim0 xxnx若若第第一一步步”“00一般，把求导后函数形式简单的因子一般，把求导后函数形式简单的因子放分母上。放分母上。”“ 0.11lim22 xxx例例2：xxx1arctan2lim )arctan2(limxxx ”“0 ”“0022111limxxx )lim()11lim(gffggf :.2”“ , 0)(lim, 0)(lim xgxf)00000( 例例3： xxx11ln1lim0 xxxxx 1ln1lnlim0 201lnlimxxxx ”“00”“00 xxx2111lim0 .21