函数的定义域值域及解析式

1、函数的定义域值域及解析式函数的定义域【教学目标】值域及解析式1 .通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。2 .了解对应关系在刻画函数概念中的作用。3 .了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。【教学内容】1.定义高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于 集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f： A 一B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x), xEA .如：f(x)=x3 f(x)=2x+2 等(1)其中，X叫做自变量，X

2、的取值范围A叫做函数的定义域；(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xEA叫做函数的值 域.注意：如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.2 .构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域常见函数的定义域与值域函数解析式定义域值域一次函数y=ax+b(a#O)二次函数y=ax2+bx+c(a # 0)反比例函数y =-九(k为常数，k#0)注意：1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定 的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一

3、致，即称这两个函数相等(或为同 一函数)2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值 的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)例.判断下列函数f (x)与g (x)是否表示同一个函数，说明理由？(1) f(x) = (x-l)°； g(x)=l(2) f(x) = x ； g(x)= (Vx) 2 f(x) = x2；g(x) = (x+l)2(4) f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+23 .区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；"8”读作“无

4、穷大”，读作“负无穷大”，“+8”读作“正无穷大二(3)区间的表示：(1)满足不等式atxwb的实数的X集合叫做闭区间，表示为a,b；(2)满足不等式avxvb的实数的x集合叫做开区间，表示为(a,b);(3)满足不等式a<xvb的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为a, b)；(4)满足不等式a vx<b的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b；(5)实数集R也可以用区间表示为(-00, +8),还可以把满足xNa, x>a, x<b, xb的实数x的集合分别表示为a,+8、(a,+8)、(-8,b)、(-8,b)。注意：对于集合“1。vx<与区间(&

5、quot;/),前者4可以大于或等于，而后者必须a <b .练习、请用区间表示x 104 x 4 1 =, xl2vxW3 =x I x>a=,(1) xll<x<2 =, xIxvO=(2) x I xa=,x I x <,b =,x I x <b =.定义域能使函数式有意义的实数X的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的X的值组成的集合.实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义公分式的麻：在求含

6、分式的函数的定义域时，要注意两点：(1)分式的分母一定不能为。；(2)绝对不能先化简后求函数定义域。题型一：常规函数型例：求函数/“)=而1+，.的定义域2 - x例：求函数+霖的定义域.练习 求下列函数的定义域。d)y=fM =J- - 3x-4|x + l|-2题型二:抽象函数型（一）、已知/的定义域，求力式用的定义域，其解法是：若/的定义域为则列冢幻中口工观幻从中解得人的取 值范围即为力冢力的定义域。例.设函数/的定义域为°，"，则（1）函数了（铲）的定义域为 o（2）函数了（石一2）的定义域为。练习1已知f（x）的定义域为1,3,求f（x-l）的定义域.2已知函数f

7、（x）的定义域为（0, 1）,则函数fx-1）的定义域是0（二）、已知力式用的定义域，求,5）的定义域。其解法是:若力虱切的定义域为湘4工4邦，则由湘4工4邦确定虱无）的范围即为/的定义域。例.已知函数沙=/S+D的定义域为0W/W9,则V=/S）的定义域。练习、已知函数f（2x + 4）的定义域为（0, 1）,求函数f（x）的定义域。（三）、已知、虱力的定义域,求丁尼（幻的定义域。其解法是：可先山，也5）定义域求得了的定义域，再由的定义域求得/历5）的 定义域。例.函数 + 定义域是【2,引，则> =1）的定义域是（）A. 0, Mb.【1, 4c.一5, 5d> -3, 7练习

8、1.函数f （2x7）的定义域为1, 3,求函数f （x'l）的定义域.运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的 定义域，再求交集。例.已知函数/的定义域是（°，1求29的定义域。练习 若函数产小）的定义域为口 口，求函数，=心）外-的定义域。逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例已知函数丫 二的定义域为R求实数m的取值范围。蜂）= 练习.已知函数kz +70？+4人+ 3的定义域是尺求实数k的取值范围。求函数的值域或最值求函数最值的常

9、用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值.求函数值域与用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值.配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和. 然后根据变处的取值范 国确定函数的值域或最值.判别式法： 若函数)，=/(X)可以化成一个系数含有y的关于 x的二次方程 a(y)x2 +b(y)x + c(y) = O ,贝!在 4(y)wO 时， 由于 为实数， 故必须有S = h2(y)-4a(y)-c(y) > 0, 从而确定函数的值域或垠值.不等式法：利用基本不等式确定函数

10、的值域或最值.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最 值问题转化为三角函数的最值问题.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最 值.数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.函数的单调性法.例题求函数值域1)观察法 2)图象法3)分式分离常数法4)换元法5)判别式法6)配方法7)函数单调性法8)反函数法(1) y = y = yl-x2 +x+2x-32厂 + 2x + 3x2 +X + 1(4) y = 4x-Jl-3x(6)函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种- 解析法：就是用数学

11、表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.例题求函数解析式（1）配凑法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）方程组法. 已知 / （%<） = -V3 H,求 /（X）；XX'(2)已知 f (x-l)=3x-l,求/(X)；(3)已知/&)是一次函数，且满足 3/(x + l) 2/(x l) = 2x + 17,求/(x)；（4）已知小）满足2/+= 求心）【课后作业】1、设X取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是A、f(x) = xtg(x) = Vx7D 、(VX)-/、 XB、 f(x) =. g(x) = X(4)2g(x) = (x-l)°D、f(x) = -g(x) = x-3x + 32、函数户不的定义域是（）(A) xlx>4 (B)xl2<x<3)(C)xlxv2 或 x>3 (D) x £ RI x W 2且x H 33、集合&I2W5可以写成（）C .(2,5)D2,5）4、求下列函数的定义域:(2)/(x) = V2IT3- -5、求下列函数的值域（用区间表示）（1） y = x2-2