实数与向量的积

1、5.3 实数与向量的积实数与向量的积(第一课时第一课时)aAOaBaCMaNaQPa()()()PNPQQMMNaaa 由上图可知：由上图可知： OC OA AB BCa a a 记作记作3a记作记作3 a3a从上图中我们可以直观的看出：从上图中我们可以直观的看出：（1） 与与 方向方向_，且，且3aa|3 |_ |aa（2） 与与 方向方向_，且，且3aa| 3 |_ |aa如图，已知非零向量如图，已知非零向量 。求作向量求作向量 及及aaa()()()aaa aa33相反相反相同相同 一般地，实数 与向量 的积仍然是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下： aa 2 2）方向： 当 时，

2、 与 的方向_ 当 时， 与 的方向_ 当 时， （可为任意方向）0aaa00aa0一）一） 实数与向量的积实数与向量的积的的定义定义| _ |aa1）长度： 思考题 ：在实数 与向量 的积中，实数 起的作用是什么？a答：1） 的绝对值决定着 与向量 的长度之间的倍数关系 2） 的符号决定着 与向量 是同向还是反向 （若 ， 的方向是任意的） aaaa0a相同相反|提示提示 1）这个运算律与代数运算中实数乘法的运算律很相似，只是以上两个分配律中，由于乘积因子不同，可分为第一分配律、第二分配律 2）我们可以应用这个运算律，对向量代数式进行化简,如：例题1二）实数与向量的积满足的二）实数与向量的积

3、满足的运算律运算律 设 、 是实数，根据实数与向量的积的定义根据实数与向量的积的定义，那么有m()abab（第二分配律）3）()()aa mm1）（结合律）()aaamm2）（第一分配律）典例精析与规律、方法、技巧总结 题型一 关于实数与向量积的运算 例1 计算： 1） 2）( 3) 4a3()2()ababa解：1）原式( 3 4)a 【点评点评】实数与向量的积的运算法则类似于实数与向量的积的运算法则类似于整式的加减法运算法则整式的加减法运算法则 化简化简向量代数式向量代数式就像是计算多项式一样去就像是计算多项式一样去“合并同类项合并同类项”3322ababa2）原式5b12a 对于向量 、

4、 ，如果有一个实数 ， 使 ，b(0)a a ba那么由实数与向量的积的定义实数与向量的积的定义知， 与 共线。ab定理定理 向量 与非零非零向量 共线的充要条件充要条件是有且只有且只 有一个有一个实数 ，使得 baba已知向量 与 共线。b(0)a a 当 与 反方向时，有bam ab那么么当 与 同方向时，有 abbam设向量 的长度是向量 的长度的 倍，即 ba|:|bamm三）向量共线的三）向量共线的充要条件充要条件 （也叫（也叫向量共线定理向量共线定理）充分性充分性:必要性必要性：提示提示：（1）要证明向量 、 共线，只须证明存在实数 使得 即可（2）如果 ，则实数 仍然存在，但不唯

5、一， 它可以是任意实数（3）应用此定理，可以证明三点共线、两直线三点共线、两直线平行平行的问题abba0ab注意：注意：向量平行向量平行与与直线平行直线平行是有区别的，直线平行是有区别的，直线平行 不包括重合的情况。不包括重合的情况。典例精析与规律、方法、技巧总结 题型二 有关向量共线问题有关向量共线问题 例例2 已知两个非零向量 和 不共线 ，且 ， 。求证：、 三点共线1e2e 1223ABee 12623BCee 1248CDee 分析：要证、三点共线，只须证与共线， 也就是需要求证AB ADADAB AB AD所以，向量和共线例例2 已知两个非零向量 和 不共线 ,且 ， 。 求证求证

6、： A、B、D三点共线1e2e 1223ABee 12623BCee 1248CDee ADABBCCD 证明证明121212(23 )(623 )(48)eeeeee 121218ee 6AB 又和有共同的起点共同的起点A A、B、D三点共线AB AD126(23 )ee 另外，本题也可以先计算另外，本题也可以先计算 然后与然后与 相比较相比较AB BD 例例已知非零向量 和不共线，要使 和 共线。试确定实数 的值。1e2e 12kee k12eke 分析分析：若 与 共线共线， 则一定存在 ， 使得 1212()keeeke 12kee 12eke 所以只能有0110kkk 解解： 与 共

7、线12kee 12eke 由于由于 与与 不共线不共线1e2e 即12()(1)keke 1212()keeeke 存在实数 使小结小结：以上两个例题分别从正反两个方面运用了 向量共线的充要条件： 与 共线 存在 使abba知识结构图知识结构图实数与向量的积实数与向量的积 定定 义：义：1)大小；大小；2)方向方向运算律（运算律（3条）条）向量共线充要条件向量共线充要条件 1 掌握好实数与向量的积这一运算的关键在于明确掌握好实数与向量的积这一运算的关键在于明确这一运算的结果仍然是向量，要按这一运算的结果仍然是向量，要按大小和方向大小和方向两个要素两个要素去理解及应用。去理解及应用。 2向量共线充要条件实际上是由实数与向量的积的向量共线充要条件实际上是由实数与向量的积的定义得到的，利